Exercices: Ondes et signaux

Une enceinte, assimilée à une source sonore ponctuelle qui émet uniformément dans toutes les directions, est placée en plein air. À la distance $d_1 = 2{,}0~\text{m}$ de l'enceinte, un sonomètre indique un niveau d'intensité sonore $L_1 = 72~\text{dB}$.

Données : intensité sonore de référence $I_0 = 1{,}0\times10^{-12}~\text{W·m}^{-2}$ ; niveau d'intensité sonore $L = 10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$.

1. Calculer l'intensité sonore $I_1$ à la distance $d_1$.

2. Rappeler la loi d'atténuation géométrique de l'intensité sonore avec la distance, en la justifiant par la conservation de la puissance émise.

3. Calculer l'intensité sonore $I_2$, puis le niveau d'intensité sonore $L_2$, à la distance $d_2 = 8{,}0~\text{m}$. L'absorption par l'air est négligée.

4. Calculer de combien de décibels le niveau sonore diminue lorsque la distance est multipliée par 4.

Au laboratoire d'un lycée de Grenoble, un faisceau laser de longueur d'onde dans le vide $\lambda = 633~\text{nm}$ éclaire une fente fine verticale de largeur $a = 0{,}10~\text{mm}$. On observe la figure de diffraction sur un écran placé à la distance $D = 2{,}50~\text{m}$ de la fente. On note $\theta$ l'écart angulaire entre le centre de la tache centrale et sa première extinction, supposé petit.

1. Décrire la figure observée sur l'écran. Préciser l'orientation de la tache centrale par rapport à la fente.

2. Rappeler l'expression de $\theta$ en fonction de $\lambda$ et $a$, puis calculer sa valeur en radian.

3. Montrer que la largeur $\ell$ de la tache centrale est donnée par $\ell = \dfrac{2\lambda D}{a}$, puis la calculer.

4. Indiquer, en justifiant, comment évolue la largeur de la tache centrale si l'on remplace la fente par une fente de largeur $a' = 0{,}20~\text{mm}$.

Une ambulance, dont la sirène émet un son de fréquence $f_E = 700~\text{Hz}$, se déplace en ligne droite à la vitesse constante $v_E = 25~\text{m·s}^{-1}$ ($90~\text{km·h}^{-1}$). Un piéton immobile se trouve sur le bord de la route, dans l'alignement de la trajectoire. La célérité du son dans l'air est $v = 340~\text{m·s}^{-1}$.

On rappelle que, pour un émetteur mobile et un observateur fixe, la fréquence perçue est $f_R = f_E\dfrac{v}{v \mp v_E}$, le signe $-$ correspondant à un émetteur qui se rapproche de l'observateur.

1. Décrire qualitativement l'effet Doppler et indiquer ce que perçoit le piéton lorsque l'ambulance s'approche, puis lorsqu'elle s'éloigne.

2. Calculer la fréquence $f_R$ perçue par le piéton lorsque l'ambulance s'approche.

3. Calculer la fréquence perçue lorsque l'ambulance s'éloigne.

4. Calculer le décalage Doppler $\Delta f = f_R - f_E$ dans chacun des deux cas.

Dans une séance de travaux pratiques, on réalise un dispositif de trous d'Young. Une lumière laser monochromatique de longueur d'onde $\lambda = 650~\text{nm}$ éclaire deux trous fins distants de $b$ (sources secondaires S₁ et S₂ en phase). L'écran est situé à la distance $D = 1{,}50~\text{m}$ du plan des trous. On observe des franges rectilignes. Sur l'écran, la distance entre le centre de la première frange brillante et le centre de la huitième frange brillante consécutive vaut $17{,}5~\text{mm}$.

Pour un point M de l'écran d'abscisse $x$ (origine sur l'axe de symétrie), la différence de chemin optique est $\delta = \dfrac{b\,x}{D}$ (approximation fournie).

1. Rappeler les conditions sur $\delta$ pour que les interférences soient constructives, puis destructives.

2. Établir l'expression de l'interfrange $i = \dfrac{\lambda D}{b}$.

3. Déterminer la valeur de l'interfrange à partir de la mesure, puis calculer la distance $b$ entre les deux trous.

4. Un point P de l'écran est situé à $x_P = 3{,}75~\text{mm}$ de l'axe de symétrie. Déterminer, par un calcul, si ce point est sur une frange brillante ou sur une frange sombre.

5. On remplace le laser rouge par un laser vert de longueur d'onde $532~\text{nm}$, sans modifier le reste du montage. Calculer la nouvelle valeur de l'interfrange.

Une cellule photoélectrique contient une cathode recouverte de sodium, dont le travail d'extraction vaut $W = 2{,}28~\text{eV}$. On l'éclaire avec une lumière monochromatique de longueur d'onde $\lambda = 450~\text{nm}$.

Données :

• constante de Planck : $h = 6{,}63\times10^{-34}~\text{J·s}$ ;

• célérité de la lumière dans le vide : $c = 3{,}00\times10^{8}~\text{m·s}^{-1}$ ;

• $1~\text{eV} = 1{,}60\times10^{-19}~\text{J}$ ;

• masse de l'électron : $m_e = 9{,}11\times10^{-31}~\text{kg}$.

• Décrire le modèle particulaire de la lumière et donner l'expression de l'énergie d'un photon en fonction de $\lambda$. Calculer cette énergie en joule, puis en électronvolt, pour $\lambda = 450~\text{nm}$.

• Établir, par un bilan d'énergie, l'expression de l'énergie cinétique maximale $E_c$ d'un électron arraché de la cathode. Calculer sa valeur en électronvolt.

• Calculer la vitesse maximale de ces électrons à la sortie de la cathode.

• Déterminer la fréquence seuil $\nu_0$ et la longueur d'onde seuil $\lambda_0$ de ce métal. Indiquer si une lumière rouge de longueur d'onde $650~\text{nm}$ provoque l'effet photoélectrique, même avec une grande intensité lumineuse. Justifier.

• La puissance lumineuse reçue par la cathode est $P = 2{,}0~\text{mW}$ à $450~\text{nm}$. Calculer le nombre de photons reçus par seconde.

On étudie la charge d'un condensateur de capacité $C = 47~\mu\text{F}$ à travers un conducteur ohmique de résistance $R = 10~\text{k}\Omega$. Le condensateur, initialement déchargé, est relié à un générateur idéal de tension continue $E = 6{,}0~\text{V}$ à l'instant $t = 0$. On enregistre la tension $u_C$ aux bornes du condensateur.

1. Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ lors de la charge.

2. Vérifier que $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ est solution de cette équation, avec $\tau = RC$. Calculer la valeur attendue de $\tau$.

3. Déterminer la durée au bout de laquelle la tension aux bornes du condensateur atteint 95 % de la valeur $E$.

4. On teste la loi exponentielle avec Python : si le modèle est correct, $\ln\left(1 - u_C/E\right)$ est une fonction affine de $t$ de pente $-1/\tau$. Compléter les deux lignes repérées par # À COMPLÉTER.

import numpy as np

E = 6.0

t = np.array([0, 0.25, 0.50, 1.00, 1.50])

u = np.array([0, 2.48, 3.93, 5.29, 5.75])

y = ...                          # À COMPLÉTER : ln(1 - u/E)

pente, ordonnee = np.polyfit(t, y, 1)

tau = ...                        # À COMPLÉTER : déduire tau de la pente

print(f"tau = {tau:.2f} s")

1. Calculer l'énergie emmagasinée par le condensateur à la fin de la charge, en utilisant $\mathcal{E} = \dfrac{1}{2}CE^2$.

Un club d'astronomie du Cantal observe le ciel avec une lunette afocale constituée de deux lentilles minces convergentes : un objectif de distance focale $f_1 = 1\,000~\text{mm}$ et de diamètre $D_o = 100~\text{mm}$, et un oculaire de distance focale $f_2 = 25~\text{mm}$. Le foyer image de l'objectif coïncide avec le foyer objet de l'oculaire.

Données : pouvoir séparateur de l'œil, $\theta_{\text{œil}} = 3{,}0\times10^{-4}~\text{rad}$ ; longueur d'onde moyenne de la lumière visible, $\lambda = 550~\text{nm}$ ; diamètre angulaire de la Lune, $\theta_L = 9{,}0\times10^{-3}~\text{rad}$.

1. Réaliser un schéma de la lunette (sans souci d'échelle) et tracer la marche d'un faisceau lumineux issu d'un point d'un objet très éloigné, faisant un angle $\theta$ avec l'axe optique. Justifier que l'image finale est rejetée à l'infini.

2. Établir, dans l'approximation des petits angles, l'expression du grossissement $G = \dfrac{\theta'}{\theta} = \dfrac{f_1}{f_2}$, puis calculer sa valeur.

3. Calculer le diamètre angulaire $\theta'$ sous lequel la Lune est observée à travers la lunette, et la longueur de la lunette.

4. On souhaite séparer deux étoiles d'une étoile double dont l'écart angulaire est $\theta_E = 1{,}0\times10^{-5}~\text{rad}$. En assimilant l'objectif à une ouverture de largeur $D_o$, la diffraction limite l'écart angulaire minimal résolu à $\theta_d = \lambda/D_o$. Déterminer si la lunette permet effectivement d'observer séparément les deux étoiles. Justifier en comparant des écarts angulaires.

5. On remplace l'oculaire par un oculaire de focale $f_2' = 10~\text{mm}$. Expliquer si cela améliore la séparation des deux étoiles par rapport à la question précédente.

Une voiture de course dont le moteur émet un son de fréquence propre $f_E$ passe à vitesse constante $v_E$ devant un microphone immobile, au bord de la piste, dans le prolongement de sa trajectoire rectiligne. La célérité du son dans l'air est $v = 340~\text{m·s}^{-1}$.

1. Un émetteur mobile émet un signal de période $T_E$. Établir, en considérant les positions de l'émetteur à deux émissions consécutives, l'expression de la période perçue $T_R$ par un observateur fixe vers lequel l'émetteur se rapproche, puis celle de la fréquence $f_R = f_E\dfrac{v}{v - v_E}$. Donner sans démonstration l'expression correspondant à un émetteur qui s'éloigne.

2. L'analyse spectrale de l'enregistrement fournit deux fréquences fondamentales : $f_1 = 1\,120~\text{Hz}$ lorsque la voiture approche, et $f_2 = 960~\text{Hz}$ lorsqu'elle s'éloigne. Établir l'expression de $f_1/f_2$ en fonction de $v$ et $v_E$, puis calculer la vitesse de la voiture, en $\text{m·s}^{-1}$ et en $\text{km·h}^{-1}$.

3. Calculer la fréquence propre $f_E$ du moteur.

4. Le même raisonnement s'applique aux ondes électromagnétiques. Pour une source qui s'éloigne à la vitesse $v_s \ll c$, on admet que le décalage de longueur d'onde vérifie $\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \dfrac{v_s}{c}$. Dans le spectre d'une étoile, la raie $H_\alpha$ de longueur d'onde au repos $\lambda_0 = 656{,}28~\text{nm}$ est observée à $\lambda = 656{,}52~\text{nm}$. Déterminer la vitesse de l'étoile le long de la ligne de visée, avec $c = 3{,}00\times10^{8}~\text{m·s}^{-1}$, et préciser si elle s'éloigne ou se rapproche. Justifier.

Deux haut-parleurs A et B, distants de $d = 3{,}0~\text{m}$, sont alimentés par le même générateur de signaux sinusoïdaux. Ils émettent, en phase, des ondes sonores de fréquence $f = 850~\text{Hz}$ et de même amplitude $A$. La célérité du son est $v = 340~\text{m·s}^{-1}$. Un microphone est déplacé le long du segment AB. On note $x$ la distance du microphone au haut-parleur A, avec $0 < x < d$. On néglige les différences d'atténuation entre les deux ondes.

1. Calculer la longueur d'onde $\lambda$ des ondes sonores.

2. Exprimer la différence de chemin $\delta = \left| d_A - d_B \right|$ en un point M du segment AB d'abscisse $x$, où $d_A$ et $d_B$ sont les distances de M à A et B. Établir la condition sur $\delta$ pour que les interférences soient destructives lorsque les sources sont en phase.

3. Déterminer le nombre de positions du microphone sur le segment AB, sans compter les positions des haut-parleurs, pour lesquelles l'intensité sonore est minimale, et donner les valeurs de $x$ des deux positions les plus proches du centre du segment.

4. Le déphasage entre les deux ondes au niveau du microphone est $\varphi = \dfrac{2\pi\delta}{\lambda}$, et l'amplitude de l'onde résultante est $A_{\text{tot}} = \sqrt{2A^2(1+\cos\varphi)}$. Compléter les trois lignes repérées par # À COMPLÉTER du programme qui calcule l'amplitude $A_{\text{tot}}$ le long du segment.

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

A = 1.0

lam = 0.40

d = 3.0

x = np.linspace(0.05, 2.95, 600)

delta = ...                       # À COMPLÉTER : différence de chemin

phi = ...                         # À COMPLÉTER : déphasage

A_tot = ...                       # À COMPLÉTER : amplitude résultante

plt.plot(x, A_tot)

plt.xlabel("x (m)")

plt.ylabel("Amplitude résultante")

plt.show()

1. On inverse les fils du haut-parleur B, ce qui revient à ajouter un déphasage de $\pi$ entre les deux sources. Indiquer, sans calcul complet, ce qui est observé au milieu du segment AB, puis comparer à la situation initiale.