Exercices: Fréquences et probabilités en génétique des populations

Dans une population de $2\,000$ individus, $320$ possèdent un allèle $a$ à l'état homozygote.

1. a) Calculer la fréquence de ce génotype.
2. b) Calculer la fréquence du génotype dans une population de $5\,000$ individus où $800$ sont dans ce cas.
3. c) Les deux populations ont-elles la même fréquence ?

Dans une population, la fréquence de l'allèle $A$ est $p=0{,}7$ et celle de l'allèle $a$ est $q$.

1. a) Calculer $q$.
2. b) En supposant l'équilibre de Hardy-Weinberg, calculer la fréquence des génotypes $AA$, $Aa$ et $aa$.
3. c) Vérifier que la somme vaut $1$.

Un parent hétérozygote $Aa$ transmet l'allèle $A$ ou $a$ avec la même probabilité à chaque gamète.

1. a) Donner la probabilité qu'un enfant de deux parents $Aa$ soit $aa$.
2. b) Donner la probabilité qu'il soit $Aa$.

Une maladie génétique récessive touche $1$ personne sur $2\,500$ en France, soit $q^2=\dfrac{1}{2\,500}$ en supposant l'équilibre de Hardy-Weinberg.

1. a) Calculer $q$ puis $p=1-q$.
2. b) Calculer la fréquence des porteurs sains $2pq$.
3. c) Calculer le nombre attendu de porteurs sains pour $1\,000\,000$ de personnes.

Une population de $50$ individus a pour fréquence de l'allèle $A$ égale à $0{,}6$. À chaque génération, les $50$ individus sont tirés au hasard dans une population très grande où la fréquence de $A$ vaut $0{,}6$. On s'intéresse à cet effet d'échantillonnage aléatoire, qui est à l'origine de la dérive génétique.

1. a) Expliquer pourquoi la fréquence dans la population de $50$ individus ne vaut pas exactement $0{,}6$ à chaque génération.
2. b) Expliquer pourquoi la dérive est plus forte dans les petites populations.
3. c) Donner la fréquence attendue en moyenne.

Un allèle $a$ confère un avantage sélectif : la fréquence $p_n$ de $a$ à la génération $n$ vérifie $p_{n+1}=\dfrac{1{,}1\,p_n}{1+0{,}1\,p_n}$, avec $p_0=0{,}1$.

1. a) Calculer $p_1$ et $p_2$ (arrondis au millième).
2. b) Montrer que $p_{n+1}>p_n$ tant que $0
3. c) Interpréter ce résultat en termes de sélection naturelle.

Dans une population, la fréquence de l'allèle $a$ est $q=0{,}2$.

1. a) Calculer, sous l'équilibre de Hardy-Weinberg, les fréquences des trois génotypes à la génération suivante.
2. b) Un individu $AA$ est choisi au hasard dans la population. Il s'apparie avec un individu choisi au hasard. Calculer la probabilité que leur premier enfant soit $aa$.
3. c) Calculer la probabilité qu'un couple formé de deux individus choisis au hasard ait un enfant $aa$.
4. d) Justifier que la fréquence de $a$ reste $0{,}2$ à la génération suivante.

Un allèle récessif délétère $a$ est entièrement létal à l'état homozygote : les individus $aa$ ne se reproduisent pas. La fréquence de $a$ à la génération $n$ est $q_n$, et on admet que $q_{n+1}=\dfrac{q_n}{1+q_n}$ avec $q_0=0{,}1$.

1. a) Calculer $q_1$, $q_2$ et $q_3$.
2. b) On pose $w_n=\dfrac{1}{q_n}$. Montrer que $(w_n)$ est arithmétique et exprimer $q_n$ en fonction de $n$.
3. c) Déterminer le nombre de générations nécessaire pour que $q_n$ passe sous $0{,}01$.
4. d) Expliquer pourquoi l'allèle disparaît très lentement.

Dans une population de $N$ individus diploïdes, un nouvel allèle apparaît par mutation en un seul exemplaire. En l'absence de sélection, sa fréquence initiale est $\dfrac{1}{2N}$.

1. a) Calculer cette fréquence pour $N=100$ puis $N=10\,000$.
2. b) Expliquer pourquoi, sans sélection, la probabilité que cet allèle finisse par être fixé vaut sa fréquence initiale.
3. c) Calculer cette probabilité pour $N=100$.
4. d) Comparer avec la probabilité de fixation d'un allèle légèrement avantageux et expliquer le rôle du hasard.