Exercices: Représentation de fonctions

Un chauffeur de taxi facture une prise en charge de $3$ € et $1,5$ € par kilomètre parcouru. Écrire l'expression de la fonction qui relie le coût de la course au nombre de kilomètres parcourus.

Déterminer les coordonnées du sommet et l'équation de l'axe de symétrie de la parabole $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Indiquer quelles sont les asymptotes verticale et horizontale de la fonction inverse $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.

Dans un jeu-concours de questions, les points accumulés sont doublés à chaque manche réussie. Si l'on commence avec $100$ points, écrire la fonction exponentielle $P(r)$ qui donne les points en fonction du nombre $r$ de manches réussies.

Soit la fonction définie par morceaux $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$. Calculer les valeurs numériques de $f(-2)$, $f(0)$ et $f(3)$.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction racine $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Une droite passe par les points $(-3 ; -4)$ et $(0 ; 4)$. Déterminer son coefficient directeur, son ordonnée à l'origine et son équation réduite.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction logarithme $f(x) = \log_3(x - 5)$.

Marc doit représenter la fonction rationnelle $f(x) = \dfrac{3}{x-2} + 4$. Dans son cahier de travail, il écrit : « Comme le dénominateur s'annule en $x = 2$, l'asymptote horizontale est $x = 2$. Et comme la constante ajoutée à la fin est $4$, l'asymptote verticale est $y = 4$. Par conséquent, la courbe ne peut couper aucun des deux axes de coordonnées ». Repérer les deux erreurs conceptuelles commises par Marc, expliquer avec vos mots pourquoi il confond le comportement des asymptotes et corriger son analyse en déterminant les équations correctes des deux asymptotes et les coordonnées du point d'intersection avec l'axe $Y$.

Déterminer l'expression d'une fonction du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ vérifiant simultanément ces trois conditions géométriques : son sommet est le point $V(3 ; 4)$, elle coupe l'axe des ordonnées (axe $Y$) au point $(0 ; -5)$ et ses branches sont tournées vers le bas. Expliquer pas à pas comment vous déduisez les coefficients $a$, $b$ et $c$ à partir de la symétrie de la parabole et des propriétés du sommet, sans vous limiter à résoudre mécaniquement un système de trois équations à trois inconnues.

Le bénéfice de la vente de t-shirts de la fête de fin d'année, en euros, est donné par la fonction $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$, où $x$ est le nombre de t-shirts vendus en centaines. Combien de t-shirts faut-il vendre pour maximiser le bénéfice et quel est ce bénéfice maximal ?

Le graphique suivant montre la vitesse d'un cycliste en fonction du temps. Déterminer l'expression de la fonction définie par morceaux qui la représente.

La location d'un autocar pour une sortie scolaire coûte $600$ €. Écrire la fonction $C(x)$ qui donne le coût par élève en fonction du nombre d'élèves $x$ participants. Si au dernier moment $5$ élèves se désistent, écrire la nouvelle fonction de coût par élève et déterminer combien paiera chacun si $30$ élèves devaient initialement partir.

On place $5000$ € sur un dépôt bancaire qui offre un intérêt composé annuel de $4\%$. Écrire la fonction exponentielle qui modélise le capital accumulé au bout de $t$ années et calculer le capital disponible après $5$ ans.

Le temps $t$ (en secondes) que met un objet lâché d'une hauteur $h$ (en mètres) à tomber au sol est approché par la fonction racine $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction dans ce contexte et calculer le temps que met à tomber un objet lâché de $4,9$ mètres de hauteur.

À partir de la parabole de base $y = x^2$ (en pointillés), on a effectué une translation pour obtenir la parabole en trait continu. Écrire l'expression de la nouvelle parabole et indiquer le vecteur de la translation appliquée.

Le niveau d'intensité sonore $L$, en décibels (dB), se calcule à l'aide de la fonction logarithme $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, où $I$ est l'intensité du son et $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ le seuil d'audition. Calculer le niveau d'intensité sonore d'une conversation normale dont l'intensité est $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.

La hauteur $h(t)$ en mètres d'une nacelle de grande roue de fête foraine par rapport au sol en fonction du temps $t$ en minutes est donnée par $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Quelles sont la hauteur maximale et la hauteur minimale atteintes par la grande roue ? Combien de temps met-elle à faire un tour complet ?

Lors d'une épreuve d'athlétisme scolaire, le lancer du poids d'une sportive décrit une trajectoire parabolique donnée par la fonction $h(x) = -0,05x^2 + 0,6x + 1,8$, où $x$ est la distance horizontale parcourue en mètres et $h(x)$ la hauteur de l'engin au-dessus du sol en mètres.

1. a) Avant de calculer avec des formules, estimer de façon raisonnée entre quelles valeurs entières se situera la distance à laquelle la hauteur maximale est atteinte et si la performance finale dépassera $14\text{ m}$, en s'appuyant sur la signification de l'ordonnée à l'origine et sur la rapidité de variation de la trajectoire.
2. b) Calculer exactement les coordonnées du sommet et la portée totale du lancer (intersection avec le sol, $h(x) = 0$). Comparer les valeurs numériques obtenues avec vos estimations précédentes et apprécier si le modèle mathématique est cohérent avec la réalité de ce sport.

Une entreprise publique de distribution d'eau facture la consommation domestique bimestrielle afin d'encourager une économie responsable, au moyen d'un tarif par tranches. L'abonnement fixe du service est de $12$ € par bimestre. La consommation d'eau est facturée selon les règles suivantes :

• Les $20\text{ m}^3$ premiers consommés ont un prix réduit de $0,50$ € par $\text{m}^3$.

• Pour une consommation supérieure à $20\text{ m}^3$ et jusqu'à un maximum de $50\text{ m}^3$, les $20\text{ m}^3$ premiers sont facturés au tarif réduit et chaque mètre cube supplémentaire au-delà de $20$ coûte $1,20$ €.

• Toute consommation dépassant $50\text{ m}^3$ est facturée en ajoutant aux tranches précédentes $2,00$ € par mètre cube dépassant $50\text{ m}^3$.

Écrire l'expression de la fonction définie par morceaux $C(x)$ qui relie le coût total de la facture (en euros) aux mètres cubes $x$ consommés. Expliquer comment vous calculez les termes constants de chaque tranche pour garantir que la fonction soit continue et qu'aucun saut injustifié n'apparaisse dans le montant.

Exprimer la fonction $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ comme une fonction définie par morceaux sans utiliser la valeur absolue. Indiquer sur quels intervalles la fonction du second degré d'origine était négative avant l'application de la valeur absolue.

La trajectoire d'un projectile décrit une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$. Sachant que le projectile est lancé depuis le point $(0\,;\,3)$, atteint sa hauteur maximale au point $(2\,;\,7)$ et retombe au sol, déterminer l'expression de la parabole et calculer à quelle distance horizontale du point de lancement il touchera le sol.

Le graphique montre l'intersection entre la droite $y = -x + 5$ et l'hyperbole $y = \frac{4}{x}$. Calculer de façon analytique les coordonnées exactes des points d'intersection $A$ et $B$.

La quantité de carbone 14 dans un reste fossile diminue de façon exponentielle selon la fonction $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, où $N_0$ est la quantité initiale et $t$ le temps en années. Si un os ne conserve que $12,5\%$ de son carbone 14 d'origine, combien d'années se sont écoulées ?

Un agriculteur dispose de $120$ mètres de clôture pour enclore un terrain rectangulaire adjacent à une rivière rectiligne. Sachant qu'il n'a pas besoin de clôturer le côté qui longe la rivière, écrire la fonction qui donne l'aire du terrain en fonction de la largeur $x$ perpendiculaire à la rivière. Quelles dimensions maximisent l'aire et quelle est l'aire maximale ?

Soit la fonction inverse $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, déterminer l'expression de sa fonction réciproque $f^{-1}(x)$. Vérifier analytiquement que les asymptotes verticales et horizontales sont échangées entre $f(x)$ et $f^{-1}(x)$.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$, $b$ et $c$ de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sachant qu'elle admet une asymptote verticale en $x = 1$, une asymptote horizontale en $y = 3$ et passe par le point $(2\ ;\ 8)$.

Le coût mensuel de la facture d'eau dans une commune se calcule au moyen d'une fonction définie par morceaux : un abonnement fixe de $10$ € qui comprend les $15 \text{ m}^3$ premiers, un coût de $0,5$ € par $\text{m}^3$ supplémentaire pour la consommation comprise entre $15 \text{ m}^3$ et $30 \text{ m}^3$, et un coût de $1,2$ € par $\text{m}^3$ au-delà de $30 \text{ m}^3$. Écrire l'expression de la fonction coût $C(x)$ en fonction du nombre total de mètres cubes consommés $x$.

Pour représenter précisément la fonction du second degré $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$ et déterminer son axe de symétrie et son sommet, deux élèves défendent des stratégies différentes :

• Irène propose de transformer l'expression en complétant le carré jusqu'à obtenir la forme canonique $f(x) = a(x - p)^2 + q$.

• Serge propose de résoudre d'abord l'équation $2x^2 - 12x + 10 = 0$ avec la formule générale, de faire la moyenne des deux racines pour situer l'axe de symétrie au milieu, puis de substituer cette abscisse dans la fonction pour trouver le sommet.

1. a) Appliquer pas à pas les deux méthodes pour trouver les coordonnées du sommet et l'axe de symétrie.
2. b) Comparer les deux démarches : quels avantages et inconvénients présente chacune ? Justifier dans quelle situation concrète (par exemple selon le signe du discriminant de l'équation) la méthode de Serge cesse d'être directement applicable dans l'ensemble des nombres réels, alors que la démarche d'Irène continue de fonctionner sans aucun obstacle.

Une bouée océanographique installée au large des côtes de Bretagne surveille les oscillations des marées. La hauteur du niveau de la mer $h(t)$ (en mètres) par rapport à un fond de référence suit un comportement périodique de période $T = 12\text{ h}$. Pendant un cycle de base $t \in [0 ; 12]$, la hauteur est modélisée par deux morceaux paraboliques :

• Morceau de basse mer (autour du niveau minimal), pour $t \in [0 ; 6]$ : $h(t) = a(t - 3)^2 + 1$.

• Morceau de pleine mer (autour du niveau maximal), pour $t \in [6 ; 12]$ : $h(t) = -a(t - 9)^2 + k$.

On sait, d'après les relevés du port, que le niveau de la mer varie de façon continue (sans sauts brusques), que la basse mer minimale est de $1\text{ m}$ et que la pleine mer maximale est de $5\text{ m}$.

1. a) Déduire les valeurs exactes des paramètres $a$ et $k$. Justifier votre raisonnement à partir des coordonnées des sommets et de la condition de continuité à l'instant de changement de morceau ($t = 6\text{ h}$).
2. b) Sans définir de nouvelles formules pour les instants ultérieurs, déterminer par un raisonnement la hauteur de la mer aux instants $t = 27\text{ h}$ et $t = 66\text{ h}$ en se fondant exclusivement sur la propriété formelle de périodicité $h(t + T) = h(t)$.