Exercices: Augmentations et diminutions en pourcentage

Le prix d'une place pour le festival de musique « Tecno-Vibes » est de $55\text{ €}$. Si l'organisation décide d'augmenter son prix de $12\text{ \%}$ en raison de la forte demande, quel sera le nouveau prix de la place ? Indiquer aussi quel est le coefficient multiplicateur appliqué.

Un magasin de vêtements de sport annonce une liquidation de saison avec une réduction de $25\text{ \%}$ sur toutes ses chaussures. Si une paire de chaussures de running était affichée à l'origine à $110\text{ €}$, combien paierons-nous après la réduction ? Calculer le coefficient multiplicateur correspondant.

En 2022, un abonnement mensuel à une plateforme de streaming coûtait $12,50\text{ €}$. En 2023, le prix est passé à $14,75\text{ €}$. Calculer le coefficient multiplicateur et le pourcentage d'augmentation subi par l'abonnement.

Après application d'une réduction de $15\text{ \%}$, un ordinateur portable coûte $680\text{ €}$. Quel était le prix d'origine de l'ordinateur avant la promotion ? Utiliser la notion de coefficient multiplicateur pour le déterminer.

Le salaire d'un jeune programmeur augmente de $5\text{ \%}$ à la fin de sa première année de contrat. Cependant, la deuxième année, à cause d'une crise dans l'entreprise, son salaire est réduit de $5\text{ \%}$. Pensez-vous que son salaire final soit le même que le salaire initial ? Justifier la réponse en calculant le coefficient multiplicateur global.

Un composant électronique a un prix de vente au public de $242\text{ €}$, avec une TVA de $21\text{ \%}$ déjà incluse. Déterminer le prix du produit avant taxes (montant hors taxes).

Un centre commercial organise la « Journée sans TVA ». Cela signifie que du prix de vente final (qui inclut déjà $21\text{ \%}$ de TVA) on déduit la valeur équivalente à la taxe.

Si un téléviseur est affiché à $484\text{ €}$ (TVA incluse), quel sera son prix pendant la promotion ? Vérifier si cette promotion équivaut à une réduction de $21\text{ \%}$ sur le prix final.

Une place de cinéma coûte $9\text{ €}$. Si vous payez avec la carte jeune, une réduction de $20\text{ \%}$ est appliquée. Mais si c'est en plus le « mercredi du spectateur », le prix déjà réduit baisse encore de $10\text{ \%}$ supplémentaires.

1. a) Calculer le prix final de la place un mercredi pour un utilisateur ayant la carte jeune.
2. b) Calculer le coefficient multiplicateur total et le pourcentage de réduction réel par rapport au prix initial.

Un magasin de technologie annonce ses soldes de saison. Des écouteurs sans fil qui coûtaient $120$ € bénéficient d'une réduction de $15 \%$. Après application de la réduction, à l'achat sur le site web, une majoration de $5 \%$ pour frais de gestion de l'envoi est appliquée sur le prix soldé. Le schéma résume le processus.

1. a) Calculer le prix final des écouteurs.

1. b) Quel est le coefficient multiplicateur global de cette opération ?

Lucie achète un ordinateur portable pour ses études, dont la facture finale, avec $21\,\%$ de TVA incluse, s'élève à $847\text{ €}$. Pour trouver le prix de l'appareil avant taxes, elle calcule les $21\,\%$ de $847\text{ €}$ et obtient $177,87\text{ €}$, puis soustrait cette somme : $847 - 177,87 = 669,13\text{ €}$. Identifier et expliquer de façon argumentée l'erreur conceptuelle commise par Lucie, définir le coefficient multiplicateur adéquat pour annuler ce pourcentage et calculer le prix réel de l'ordinateur avant application de la taxe.

L'abonnement jeune de transport public d'une région avait un tarif mensuel de $40\text{ €}$. Au début de l'année, il a subi une hausse de $15\,\%$ sur son montant et, six mois plus tard, pour compenser la dépense des familles, une réduction de $15\,\%$ a été appliquée sur le prix déjà augmenté.\na) Avant tout calcul numérique sur papier, estimer de façon justifiée si le prix final obtenu sera exactement $40\text{ €}$, supérieur à $40\text{ €}$ ou inférieur à $40\text{ €}$.\nb) Effectuer le calcul mathématique formel à l'aide des coefficients multiplicateurs pour vérifier l'estimation, indiquer le coefficient multiplicateur global et déterminer la variation en pourcentage effective par rapport au prix d'origine de $40\text{ €}$.

Un magasin de technologie lance un nouveau modèle d'écouteurs sans fil au prix de $120$ €. En raison de la forte demande, le mois suivant, il décide d'augmenter son prix de $15$ %. Cependant, à l'arrivée de la semaine du « Black Friday », il applique une réduction de $20$ % sur le prix augmenté. Calculer le prix final des écouteurs et déterminer le coefficient multiplicateur global du prix.

Une jeune influenceuse spécialisée dans le design durable avait $15\,400$ abonnés sur son compte au début de l'année. Après une campagne de sensibilisation au recyclage, son nombre d'abonnés est passé à $19\,096$. Quel est le pourcentage d'augmentation de sa communauté ? Si elle s'attend à une croissance de $8$ % le trimestre prochain par rapport au chiffre actuel, combien d'abonnés aura-t-elle alors ?

Pendant les soldes de janvier, une paire de baskets bénéficie d'une réduction de $35$ %. Si le prix soldé indiqué sur l'étiquette est de $57,20$ €, quel était le prix des baskets avant le début des soldes ? Indiquer aussi l'économie totale réalisée en euros.

Le prix d'un abonnement premium à une plateforme de streaming est de $15,99$ € par mois, TVA incluse. Sachant que le taux de TVA appliqué à ces services numériques est de $21$ %, calculer :

1. a) Le montant hors taxes de la facture (le prix avant taxes).
2. b) Le montant exact de TVA payé.
3. c) Si la plateforme annonce une hausse du montant hors taxes de $5$ % pour l'année prochaine, quel sera le nouveau prix mensuel TVA incluse ?

Un petit commerce de quartier décide de mettre à jour les prix de ses produits en fonction du coût de la vie. Au début de l'année, il augmente tous les prix de $4$ %. En été, à l'occasion d'une promotion spéciale, il applique une réduction de $10$ % sur les prix déjà mis à jour.

1. a) Calculer le coefficient multiplicateur global.
2. b) Quelle a été la variation totale en pourcentage par rapport au prix d'origine de la fin de l'année dernière ?
3. c) Si un produit coûtait à l'origine $25$ €, quel est son prix après les deux changements ?

Grâce à l'amélioration des infrastructures de transport, le temps de trajet entre deux villes a diminué de $18$ % cette année. Si le trajet s'effectue actuellement en $82$ minutes, combien de temps durait-il l'année dernière ? Exprimer le résultat en heures et minutes.

Le salaire brut annuel d'un salarié a connu les changements suivants sur trois ans : la première année il a augmenté de $2$ %, la deuxième année il est resté gelé ($0$ % de variation) et la troisième année il a baissé de $3$ % à cause d'une restructuration de l'entreprise.

1. a) Calculer le coefficient multiplicateur global à la fin des trois ans.
2. b) Si le salaire initial était de $24\,500$ €, quel est son salaire après la troisième année ?
3. c) De quel pourcentage le salaire devrait-il augmenter la quatrième année pour retrouver exactement le pouvoir d'achat initial de $24\,500$ € ?

Un investisseur achète des actions d'une entreprise technologique. Pendant le premier mois, la valeur des actions augmente de $20$ %. Pendant le deuxième mois, la valeur chute de $20$ %. L'investisseur affirme : « Je suis revenu à ma situation de départ, je n'ai ni gagné ni perdu ».

1. a) Démontrer mathématiquement si l'investisseur a raison ou non, à l'aide de coefficients multiplicateurs.

1. b) S'il a investi initialement $5\,000$ €, quelle est la valeur de son investissement après les deux mois ?

1. c) Calculer le pourcentage de variation global de l'investissement.

Pendant les soldes, un magasin de sport propose trois façons de liquider des articles de saison dont le prix initial est $P$ euros :\n- Méthode 1 : appliquer une réduction directe et unique de $25\,\%$.\n- Méthode 2 : appliquer d'abord une réduction de $15\,\%$, puis une réduction supplémentaire de $10\,\%$ sur le prix soldé.\n- Méthode 3 : appliquer d'abord la réduction de $10\,\%$, puis, sur ce montant, celle de $15\,\%$.\na) Exprimer le prix final obtenu avec chaque méthode en fonction du prix initial $P$ à l'aide de coefficients multiplicateurs.\nb) Analyser de façon argumentée si la méthode 2 et la méthode 3 aboutissent au même prix final et expliquer à quelle propriété mathématique cela est dû.\nc) Justifier laquelle des trois méthodes est la plus avantageuse pour le client et calculer le pourcentage de réduction équivalent effectivement appliqué dans la méthode 2.

D'après les données de l'INSEE sur le marché locatif d'un chef-lieu de département, le prix moyen du mètre carré a évolué comme suit sur trois années consécutives : en 2021 il a augmenté de $6\,\%$ ; en 2022 il a connu une nouvelle hausse de $8\,\%$ ; et en 2023 il a baissé de $5\,\%$.\na) Modéliser l'évolution du prix en calculant le coefficient multiplicateur de chaque année et le coefficient multiplicateur global correspondant aux trois années.\nb) Déterminer la variation en pourcentage cumulée subie par le prix du loyer entre le début de 2021 et la fin de 2023.\nc) Si le loyer mensuel d'un appartement coûtait $750\text{ €}$ au début de 2021, calculer sa mensualité à la fin de 2023. De même, si un locataire payait $870\text{ €}$ par mois à la fin de 2023, en déduire combien il payait au début de 2021.

Une entreprise de composants technologiques pour smartphones a subi une série de variations de ses coûts de production sur trois trimestres. Au premier trimestre, le coût a augmenté de $12\%$. Au deuxième trimestre, grâce à une optimisation des processus, le coût a diminué de $8\%$. Pour le troisième trimestre, la direction s'est fixé pour objectif que le coût final soit exactement inférieur de $5\%$ au coût initial avant le début du premier trimestre. Calculer le pourcentage exact de diminution à appliquer au troisième trimestre pour atteindre cet objectif.

Un jeune programmeur freelance a perçu pour un projet un total de $2\,450$ € après application d'une augmentation de $21\%$ de TVA, puis d'une retenue de $15\%$ d'impôt sur le revenu sur la somme déjà majorée de la TVA. Cependant, le client a commis une erreur et aurait dû appliquer la retenue d'impôt sur le revenu uniquement sur le montant hors taxes (avant impôts). Calculer :

1. Le montant hors taxes initial du projet.

2. La somme d'argent que le programmeur devrait réclamer ou rembourser pour corriger l'erreur.

Dans une boutique de mode urbaine, des remises successives sont appliquées. D'abord, une réduction générale de $20\%$ est annoncée sur tous les articles. Pendant la « semaine de liquidation », une réduction supplémentaire de $30\%$ est appliquée sur le prix déjà soldé. Un client possède un coupon VIP qui donne droit à une réduction supplémentaire de $10\%$ sur le dernier prix obtenu.

Ce processus de trois réductions est-il équivalent à une unique réduction de $60\%$ ? Justifier la réponse en calculant le coefficient multiplicateur global et déterminer le prix initial d'un sweat qui finit par coûter $39,20$ € après les trois réductions.

L'indice des prix des loyers dans une grande ville a augmenté de $15\%$ l'an dernier et devrait augmenter encore de $8\%$ cette année. Parallèlement, le salaire moyen des jeunes de la ville a augmenté de $2\%$ l'an dernier et une hausse de $5\%$ est prévue pour cette année.

Le schéma résume les données : il part d'un indice $100$ à l'année 0 et montre la hausse de chaque année.

Calculer le coefficient multiplicateur global des loyers et des salaires au bout des deux ans. À partir de ces données, déterminer de quel pourcentage le pouvoir d'achat d'un jeune qui consacre tout son salaire uniquement au paiement du loyer a réellement varié.

Une chaîne de supermarchés annonce une offre « 3 pour le prix de 2 » sur des bidons de lessive. Au même moment, le concurrent direct propose la deuxième unité à moitié prix ($50\%$ de réduction sur la deuxième unité).

1. Calculer le pourcentage de réduction réel que représente chacune des offres en achetant le nombre minimal de bidons nécessaire pour profiter de la promotion.

2. Si le prix d'origine d'un bidon dans les deux magasins est de $12$ €, quelle offre est la plus avantageuse et quelle est l'économie en pourcentage de la meilleure par rapport à la moins bonne ?

En raison de l'inflation, le prix d'un modèle de console de jeux vidéo a augmenté de $25\%$ depuis son lancement. Pour promouvoir les ventes lors du Black Friday, le magasin veut appliquer une réduction telle que le prix final soit exactement le même que le prix initial de lancement.

1. Quel pourcentage de réduction le magasin doit-il appliquer sur le prix augmenté ?

2. Si après cette réduction le prix est de $450$ €, quel était le prix de la console avant la hausse due à l'inflation ?

Un investisseur répartit ses économies entre deux produits financiers. Dans le produit A, il investit $60\%$ de son capital et obtient un bénéfice de $15\%$. Dans le produit B, il investit le reste et subit une perte de $8\%$.

Calculer le coefficient multiplicateur global de son capital total et le pourcentage de gain ou de perte net. Si à la fin de l'année son capital total s'élève à $53\,100$ €, quel était son capital initial et combien d'argent a-t-il perdu précisément dans le produit B ?

Une population de bactéries diminue de $20\%$ chaque heure sous l'effet d'un antibiotique. Cependant, toutes les 3 heures, les bactéries survivantes développent une résistance qui fait augmenter brusquement leur nombre de $10\%$. Si au début de l'expérience il y avait une culture de $500\,000$ bactéries, calculer combien de bactéries il y aura au bout de 6 heures et quel est le coefficient multiplicateur global de la population sur cette période.

Une coopérative agricole d'huile d'olive vierge extra a augmenté le prix de départ de son produit de $30\,\%$ durant le premier semestre en raison de la sécheresse. Pour le second semestre, afin de relancer les ventes sur le marché national, le conseil d'administration doit appliquer une variation en pourcentage $x\,\%$ sur le prix augmenté, de sorte que le prix final corresponde exactement à une augmentation globale de $10,5\,\%$ par rapport au prix de l'huile avant le début de l'année.\na) Poser une équation, à partir des coefficients multiplicateurs, reliant la hausse initiale, la variation inconnue $x$ et le coefficient global fixé.\nb) Résoudre l'équation, préciser si la variation $x$ correspond à une augmentation ou à une baisse et déterminer son pourcentage exact.\nc) Généraliser le raisonnement : si une grandeur subit une augmentation de $r\,\%$ ($r > 0$), déduire algébriquement l'expression du pourcentage de baisse $d\,\%$ à appliquer ensuite sur la quantité obtenue pour retrouver exactement la quantité initiale.

Sur deux ans, l'inflation annuelle en France (mesurée par l'indice des prix à la consommation) a enregistré une hausse de $5,7\,\%$ la première année et de $3,1\,\%$ la seconde année. Sur la même période, la convention collective d'une entreprise de transport a appliqué à ses employés une augmentation de salaire de $4\,\%$ la première année et de $2,5\,\%$ la seconde année.\na) Modéliser mathématiquement, à l'aide de coefficients multiplicateurs, l'évolution cumulée du coût de la vie (indice des prix) ainsi que l'évolution cumulée des salaires.\nb) Le pouvoir d'achat salarial se modélise par le quotient du coefficient multiplicateur du salaire par celui de l'indice des prix : $I_p = \frac{I_v^{\text{salaire}}}{I_v^{\text{IPC}}}$. Justifier formellement si les salariés ont gagné ou perdu du pouvoir d'achat au bout des deux ans et calculer le pourcentage exact de ce gain ou de cette perte.\nc) Si un employé percevait un salaire mensuel net de $1\,700\text{ €}$ avant le début de ces deux ans, calculer quel devrait être son salaire à la fin de la troisième année pour retrouver exactement le pouvoir d'achat initial, en supposant que l'inflation prévue pour la troisième année est de $2\,\%$.