Exercices: Mesures de position

Le nombre de buts marqués par une équipe de handball lors de ses 9 derniers matchs a été : $24, 28, 21, 30, 25, 28, 22, 27, 26$. Calculer le premier quartile ($Q_1$), la médiane ($Me$) et le troisième quartile ($Q_3$) de ces données.

L'autonomie de la batterie, en heures, de 10 téléphones portables après une charge complète est : $14, 18, 12, 15, 19, 11, 16, 15, 13, 17$. Déterminer la médiane et les quartiles $Q_1$ et $Q_3$ de l'autonomie des batteries.

Le diagramme en boîte suivant représente les prix, en euros, des billets de différents concerts dans une ville pendant l'été. Identifier le prix minimum, le prix maximum, la médiane et les quartiles $Q_1$ et $Q_3$.

Le nombre de pages lues en une journée par un groupe de 15 élèves est : $12, 20, 8, 15, 30, 25, 10, 18, 22, 14, 35, 28, 16, 24, 19$. Déterminer le centile $60$ ($P_{60}$) et interpréter sa signification dans le contexte du problème.

Lors d'une enquête réalisée auprès de 20 familles sur le nombre d'animaux de compagnie qu'elles ont à la maison, on a obtenu les résultats suivants :

• 0 animal : 6 familles

• 1 animal : 8 familles

• 2 animaux : 4 familles

• 3 animaux : 2 familles

Calculer la médiane du nombre d'animaux de compagnie.

On a demandé aux 25 élèves d'une classe combien de jours par semaine ils pratiquent un sport. Les résultats figurent dans le tableau :

Déterminer le premier et le troisième quartile de cette série.

Lors du bilan de santé annuel, le pédiatre dit aux parents d'un enfant que sa taille se situe au centile $85$ ($P_{85}$) pour son âge. Expliquer en détail ce que signifie cette donnée statistique par rapport aux autres enfants du même âge.

Les températures maximales relevées dans une ville pendant 12 jours consécutifs de printemps ont été, en degrés Celsius : $18, 20, 22, 19, 21, 24, 25, 23, 20, 19, 26, 22$. Calculer l'écart interquartile (différence entre le troisième et le premier quartile) des températures.

Marc a relevé les notes obtenues par 8 élèves à un contrôle : $4, 8, 3, 9, 6, 5, 7, 2$. Pour trouver les quartiles, il fait le raisonnement suivant : « Comme il y a 8 données, pour le premier quartile je calcule la position $\dfrac{1 \cdot 8}{4} = 2$, donc $Q_1$ est la donnée qui est en deuxième position, c'est-à-dire $Q_1 = 8$. Pour le troisième quartile je calcule la position $\dfrac{3 \cdot 8}{4} = 6$, et comme la sixième donnée de la liste est un 5, alors $Q_3 = 5$ ».

1. a) Relever l'erreur conceptuelle fondamentale commise par Marc dans le traitement des données. Expliquer pourquoi sa conclusion finale ($Q_1 = 8$ et $Q_3 = 5$) est mathématiquement absurde au regard de la définition du quartile.
2. b) Corriger la démarche : ordonner la série et calculer, en justifiant, les valeurs réelles de $Q_1$, de la médiane ($Me$) et de $Q_3$.

On souhaite concevoir un échantillon hypothétique de $N = 7$ notes entières (de 1 à 10) d'un petit groupe d'élèves qui vérifie simultanément ces quatre conditions :

• La note minimale est 2 et la note maximale est 9.

• La médiane de l'échantillon est exactement 6.

• Le premier quartile est $Q_1 = 4$.

• Le troisième quartile est $Q_3 = 8$.

1. a) Proposer une liste ordonnée de 7 notes qui vérifie toutes les conditions, en justifiant la position occupée par chaque mesure.
2. b) L'échantillon possible est-il unique ou peut-il exister plusieurs combinaisons valides ? Justifier la réponse en indiquant quels éléments ont une liberté de variation et entre quelles limites ils peuvent varier.

Le temps, en minutes, que passe chaque jour un groupe de 40 adolescents sur les réseaux sociaux a été regroupé dans le tableau suivant :

Identifier la classe médiane et calculer la valeur exacte de la médiane en utilisant la formule d'interpolation linéaire.

Le polygone des effectifs cumulés suivant montre la répartition des salaires mensuels, en euros, des 50 employés d'une entreprise technologique. À partir du graphique, estimer de façon approchée la valeur de la médiane ($Me$), du premier quartile ($Q_1$) et du troisième quartile ($Q_3$).

Les pointures des 30 joueurs d'un club de basket-ball se répartissent selon le tableau suivant :

Calculer les percentiles $P_{20}$ et $P_{80}$ de la série et interpréter les résultats obtenus dans le contexte du problème.

Le diagramme en boîte ci-joint représente la durée de vie, en heures, d'un échantillon de 200 ampoules LED d'une certaine marque. Répondre aux questions suivantes en justifiant les réponses :

1. a) Quel pourcentage des ampoules dure plus de $1500$ heures ?
2. b) Entre quelles valeurs se situent les $50\%$ centraux de la série ?
3. c) Combien d'ampoules exactement ont duré moins de $1200$ heures ?

Les diagrammes en boîte suivants montrent les notes obtenues à un contrôle de sciences par deux classes différentes, A et B.

1. a) Quelle classe présente la plus grande dispersion dans les $50\%$ centraux de ses notes ?
2. b) Dans quelle classe la note qui délimite les $75\%$ des notes les plus basses est-elle la plus élevée ?
3. c) Laquelle des deux classes a, selon vous, eu des résultats globalement plus homogènes ? Justifier la réponse.

La distance, en kilomètres, parcourue chaque jour par 50 employés pour se rendre à leur lieu de travail est répartie de la façon suivante :

Calculer le percentile $90$ ($P_{90}$) à l'aide de la formule d'interpolation linéaire et expliquer quelle information cette valeur apporte à l'entreprise pour planifier les places de parking ou les aides au transport.

La masse, en grammes, de 60 pommes récoltées dans un verger a été regroupée en classes :

Calculer l'écart interquartile des masses des pommes en utilisant l'interpolation linéaire pour déterminer au préalable $Q_1$ et $Q_3$.

Les âges d'un groupe de 6 amis sont : $14, 15, 15, 16, 17, 18$. Un nouvel ami rejoint le groupe. Déterminer quel âge doit avoir ce nouveau membre pour que la médiane des âges de tout le groupe soit exactement égale à $16$ ans.

Le temps de trajet quotidien (en minutes) d'un échantillon de 50 élèves de seconde pour se rendre à leur établissement a été regroupé de la façon suivante :

1. a) Estimer : Déterminer dans quelle classe se trouve le percentile 60 ($P_{60}$). Sans effectuer encore de calcul algébrique complexe, expliquer si la valeur de $P_{60}$ devrait être plus proche de 30, du milieu (37,5) ou de 45. Donner une estimation intuitive de sa valeur.
2. b) Vérifier : Calculer précisément la valeur de $P_{60}$ à l'aide de la formule d'interpolation linéaire. Comparer la valeur obtenue avec l'estimation précédente et expliquer la signification du résultat dans le contexte des trajets des élèves.

Lors d'une enquête de qualité menée auprès de 200 utilisateurs d'une application mobile, la note est donnée en étoiles discrètes de 1 à 5. Les résultats sont les suivants : 20 personnes ont donné 1 étoile ; 45 ont donné 2 étoiles ; 75 ont donné 3 étoiles ; 40 ont donné 4 étoiles ; et 20 ont donné 5 étoiles.

Trois élèves débattent de la façon de calculer les quartiles de cette série :

• Sergio propose de lister les 200 données une à une sur une feuille et de les barrer des extrémités vers le centre.

• Lucie propose de traiter les données comme si elles étaient continues en créant des classes $[0{,}5\,;\,1{,}5[$, $[1{,}5\,;\,2{,}5[$, $\dots$ et d'appliquer la formule d'interpolation linéaire continue.

• Léa propose de calculer les effectifs cumulés ($F_i$) directement sur le tableau discret et de chercher la première valeur pour laquelle $F_i \ge \dfrac{k \cdot N}{4}$.

1. a) Comparer les trois approches : expliquer quel problème pratique évident présente la méthode de Sergio et quelle erreur conceptuelle commet Lucie en appliquant une interpolation continue à une variable discrète de valeurs entières isolées.
2. b) Appliquer la méthode de Léa pour calculer, en justifiant, $Q_1$, la médiane ($Me$) et $Q_3$. Interpréter le niveau de satisfaction des utilisateurs à partir de la médiane obtenue.

Dans une application de musique, les notes (de 1 à 5 étoiles) données par un groupe d'utilisateurs ont la répartition suivante :

On sait que la médiane des notes est $3,5$ étoiles. Déterminer la valeur de l'effectif inconnu $x$ en justifiant la réponse, puis calculer le premier quartile ($Q_1$) de la série.

La quantité de pluie mensuelle, en mm, relevée dans une région pendant plusieurs années est regroupée dans le tableau suivant :

Déterminer la valeur de $k$ telle que le percentile $P_k$ soit exactement égal à $65$ mm. Quel pourcentage de mois a connu moins de pluie que cette quantité ?

Le graphique suivant représente le polygone des effectifs cumulés du temps de charge, en minutes, de la batterie de 40 véhicules électriques. À partir du graphique, reconstituer le tableau des effectifs par classes et calculer de façon analytique le troisième quartile ($Q_3$). Comparer le résultat analytique avec la valeur lue directement sur le graphique.

Un magasin d'électronique dispose d'une liste de prix pour 20 modèles d'écouteurs. On sait que le premier quartile des prix est $30$ €, la médiane est $45$ € et le troisième quartile est $60$ €. Pour la semaine du « Black Friday », le magasin applique une réduction de $20\%$ sur tous les écouteurs et déduit en plus $5$ € supplémentaires en caisse. Déterminer les nouvelles valeurs de $Q_1$, $Me$ et $Q_3$ après application de la promotion, en justifiant mathématiquement la réponse.

Les temps de réaction, en millisecondes, de 15 joueurs professionnels à un jeu vidéo sont : $210, 245, 215, 230, 220, 250, 215, 225, 240, 235, 218, 222, 260, 228, 232$.

Calculer les cinq valeurs résumées (minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum) de ce groupe. Si un joueur amateur a un diagramme en boîte dont les quartiles sont $Q_1 = 240$ et $Q_3 = 280$, déterminer par un raisonnement statistique s'il est possible d'affirmer que plus de $25\%$ des joueurs professionnels ont des temps de réaction moins bons (plus grands) que ceux des $25\%$ des joueurs amateurs les plus rapides.

Les notes d'un contrôle de 6 élèves sont des nombres entiers de 1 à 10. On sait que la moyenne est $6,5$, la médiane est $6,5$, le mode est $7$ (et il est unique), et le premier quartile ($Q_1$) est $5$. Reconstituer les notes exactes des 6 élèves en expliquant pas à pas le raisonnement suivi.

On a étudié la durée de vie, en milliers de kilomètres, de deux marques de pneus, X et Y.

Pour la marque X :

Pour la marque Y :

Calculer l'écart interquartile des deux marques et déterminer laquelle des deux offre une durée de vie plus régulière (moins dispersée dans les $50\%$ centraux).

La répartition des revenus mensuels, en centaines d'euros, d'un quartier résidentiel est regroupée dans le tableau suivant :

Calculer le premier décile ($D_1$) et le neuvième décile ($D_9$). Déterminer ensuite le rapport $\frac{D_9}{D_1}$ et expliquer ce que ce quotient indique sur les inégalités économiques dans le quartier.

À partir d'un échantillon de 120 salariés d'un secteur industriel en France (avec des données inspirées de l'enquête sur la structure des salaires de l'INSEE), le salaire mensuel brut (en euros) a été relevé dans le tableau suivant :

1. a) Calculer par interpolation linéaire la médiane ($Me$) et le percentile 80 ($P_{80}$) de la distribution des salaires.
2. b) La collectivité locale affirme : « Puisque le salaire moyen de ce groupe avoisine 1850 €, la grande majorité du personnel gagne plus de 1800 € ». Utiliser les mesures de position calculées et l'analyse du tableau pour réfuter rigoureusement cette affirmation, en expliquant pourquoi, pour des variables économiques asymétriques, la médiane représente mieux la réalité que la moyenne.
3. c) On envisage une aide au transport pour les $20\,\%$ des salariés aux salaires les plus bas. Déduire le seuil salarial maximal pour bénéficier de l'aide et indiquer à quelle mesure de position il correspond exactement.

Dans une copropriété de 80 logements, on analyse la consommation électrique mensuelle en kilowattheures (kWh). Les consommations ont été regroupées en 4 classes de même amplitude ($c = 50$) : $[100 ; 150[$, $[150 ; 200[$, $[200 ; 250[$ et $[250 ; 300[$.

À cause d'une panne informatique, les données du tableau ont été effacées, mais le gestionnaire se souvient avec certitude de trois informations clés :

1. Dans la première classe, $[100 ; 150[$, il y a exactement 12 logements.

2. Le premier quartile, obtenu par la formule d'interpolation linéaire, était exactement $Q_1 = 170$ kWh.

3. Le percentile 90 de la copropriété était de $P_{90} = 275$ kWh.

1. a) Poser les équations correspondantes à partir des formules d'interpolation et déterminer, en justifiant, les effectifs ($f_1, f_2, f_3, f_4$) des quatre classes du tableau.
2. b) Le tableau étant reconstitué, calculer la consommation médiane ($Me$) de la copropriété.
3. c) Quel pourcentage exact des logements de cette copropriété a une consommation comprise entre $Q_1$ et la médiane ? Expliquer si la réponse dépend des données numériques particulières de ce problème ou s'il s'agit d'une propriété générale pour toute distribution statistique continue.