Exercices: Mesures de dispersion

Les températures maximales relevées dans une ville pendant une semaine d'hiver ont été : $12$, $14$, $9$, $11$, $15$, $10$ et $13$ degrés Celsius. Calculer l'étendue de ces températures.

Les notes d'un élève à cinq contrôles de mathématiques sont $5$, $6$, $7$, $8$ et $9$. Sachant que la moyenne est $7$, calculer la variance et l'écart type de ses notes.

La masse moyenne d'un modèle de vis fabriqué industriellement est de $15$ grammes, avec un écart type de $0,45$ grammes. Calculer le coefficient de variation et l'exprimer en pourcentage.

Dans une forêt de pins, la hauteur moyenne est de $12$ mètres avec un écart type de $1,5$ mètres. Dans une forêt de chênes, la hauteur moyenne est de $8$ mètres avec un écart type de $1,2$ mètres. Quelle espèce d'arbre présente la plus grande dispersion relative de sa hauteur ?

Dans une étude statistique sur les salaires mensuels d'une entreprise, on a déterminé que le premier quartile est $1200$ euros et le troisième quartile est $1800$ euros. Quel est l'écart interquartile des salaires ?

Dans une étude statistique portant sur $20$ données, on sait que la somme de toutes les valeurs est $\sum x_i = 100$ et que la somme de leurs carrés est $\sum x_i^2 = 580$. Calculer la variance de la série.

L'écart type des âges d'un groupe d'amis est actuellement de $2,5$ ans. Si, dans $4$ ans, on recalcule l'écart type de leurs âges, quelle sera la nouvelle valeur ? Justifier la réponse.

Un tableau d'effectifs regroupe le temps d'utilisation quotidienne du téléphone portable dans les classes suivantes : $[0\,;1[$, $[1\,;2[$, $[2\,;3[$ et $[3\,;4[$ heures. Déterminer l'étendue maximale possible des données d'origine regroupées dans ce tableau.

Lucie et Marc analysent les résultats d'un contrôle de mathématiques dans leur classe de seconde. La moyenne des notes a été de $6,5$ et l'écart type de $1,2$. Pour récompenser le rendu d'un projet facultatif, le professeur décide d'ajouter $0,8$ points à la note finale de chaque élève de la classe.

Marc affirme : « Comme on nous ajoute $0,8$ à tous, la nouvelle moyenne sera $7,3$ et le nouvel écart type sera $1,2 + 0,8 = 2,0$, parce que toutes les notes sont maintenant plus grandes ».

1. a) Identifier l'erreur commise par Marc et expliquer pourquoi la dispersion ne change pas quand on ajoute une constante à toutes les données.
2. b) Que se passerait-il pour l'écart type si le professeur, au lieu d'ajouter des points, décidait de multiplier toutes les notes d'origine par $1,1$ (une augmentation de $10\,\%$) ? Justifier la réponse en calculant la nouvelle valeur de $\sigma$.

On considère deux groupes de cinq élèves, $A$ et $B$, qui ont obtenu les notes suivantes à un contrôle noté de $0$ à $10$ points :

• Groupe $A$ : $0$, $5$, $5$, $5$, $10$

• Groupe $B$ : $0$, $1$, $5$, $9$, $10$

On observe que les deux groupes ont la même moyenne ($\bar{x} = 5$) et la même étendue ($10 - 0 = 10$).

1. a) Avant de calculer la moindre variance, estimer en justifiant lequel des deux groupes aura le plus grand écart type. Appuyer la prédiction sur la signification de l'écart type comme moyenne des distances des données à la moyenne.
2. b) Calculer la variance et l'écart type de chaque groupe à l'aide de la formule des écarts $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}}$ et vérifier si l'estimation initiale était juste.

Dans une équipe de football, le nombre de buts marqués par match au cours d'une saison est résumé dans la répartition suivante :

• $0$ buts : $5$ matchs

• $1$ but : $8$ matchs

• $2$ buts : $4$ matchs

• $3$ buts : $3$ matchs

Calculer la variance et l'écart type du nombre de buts par match.

Le temps, en minutes, mis par plusieurs clients pour être servis à la caisse d'un supermarché est regroupé dans les classes suivantes :

• $[0 ; 5[$ : $4$ clients

• $[5 ; 10[$ : $10$ clients

• $[10 ; 15[$ : $6$ clients

Déterminer la variance et l'écart type du temps d'attente.

Deux cyclistes, Léa et Charles, ont relevé leurs temps (en minutes) sur cinq étapes d'entraînement identiques :

• Temps de Léa : $45$, $48$, $50$, $46$, $47$

• Temps de Charles : $40$, $55$, $42$, $58$, $41$

Calculer le coefficient de variation de chacun et déterminer lequel est le plus régulier dans ses temps.

Déterminer l'étendue et l'écart interquartile de la série de scores représentée dans le diagramme en boîte suivant.

Les prix d'un produit technologique dans plusieurs magasins des États-Unis ont un écart type de $15$ dollars. Si, pour une étude économique, on convertit tous les prix en euros en appliquant un taux de change fixe de $0,90$ euros par dollar, quelles seront la variance et l'écart type des prix exprimés en euros ?

Dans un échantillon de trois données, on sait que deux d'entre elles sont $4$ et $8$. Sachant que la moyenne des trois données est $6$, déterminer la valeur de la troisième donnée et calculer la variance de l'échantillon.

Calculer la variance et l'écart type des données représentées dans l'histogramme suivant, sachant que l'axe horizontal représente l'âge en années et l'axe vertical le nombre de personnes. Utiliser les centres de classe pour les calculs.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Une machine de conditionnement A produit des paquets de riz d'une masse moyenne de $500$ grammes et d'un écart type de $5$ grammes. Une autre machine B produit des paquets de lentilles d'une masse moyenne de $1000$ grammes et d'un écart type de $8$ grammes. À l'aide du coefficient de variation, déterminer quelle machine est comparativement la plus précise dans son processus de conditionnement.

À partir des données publiées par l'INSEE, on étudie les salaires mensuels nets de deux secteurs professionnels en France :

• Secteur de l'hôtellerie-restauration : salaire moyen de $1250$ € avec un écart type de $200$ €.

• Secteur de la programmation et du conseil informatique : salaire moyen de $2600$ € avec un écart type de $390$ €.

1. a) Indiquer dans lequel des deux secteurs les salaires présentent la plus grande dispersion absolue et quel paramètre statistique permet de l'affirmer directement.
2. b) Une analyste du travail affirme : « Les salaires dans le secteur informatique sont beaucoup plus inégaux que dans l'hôtellerie-restauration parce que leur écart type est presque le double ». Utiliser le coefficient de variation ($CV$) pour déterminer si cette affirmation est correcte et expliquer dans lequel des deux secteurs la dispersion relative par rapport au niveau salarial moyen est la plus grande.

On souhaite construire un échantillon de quatre notes entières (valeurs de $1$ à $10$) correspondant à quatre élèves d'un groupe de travail, de sorte qu'il vérifie simultanément les conditions suivantes :

1. La moyenne doit être exactement $6$.

2. L'étendue doit être exactement $4$.

3. La variance doit être la plus petite possible parmi toutes les combinaisons qui vérifient les deux conditions précédentes.

1. a) Trouver, en justifiant, les quatre notes qui forment cet échantillon, en expliquant pourquoi les valeurs centrales doivent être aussi proches que possible de la moyenne.
2. b) Calculer la variance et l'écart type de l'échantillon proposé.
3. c) Proposer un autre échantillon de quatre notes entières ayant toujours pour moyenne $6$ et pour étendue $4$, mais dont la variance soit strictement supérieure à celle obtenue à la question précédente, en calculant sa nouvelle valeur pour le justifier.

Une série statistique de $10$ données a pour moyenne $5$ et pour variance $2$. On ajoute à cette série une nouvelle donnée de valeur $16$. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle variance des $11$ données obtenues.

Dans un lycée, la classe de 2de A compte $20$ élèves avec une note moyenne en statistiques de $6$ et une variance de $1,5$. La classe de 2de B compte $30$ élèves avec une note moyenne également de $6$ et une variance de $2$. Si l'on regroupe les élèves des deux classes en un seul ensemble, quelle sera la variance globale des $50$ élèves ?

La température dans une ville a été mesurée chaque jour en degrés Celsius ($C$), avec un écart type de $5^\circ C$. Sachant que la relation permettant de convertir les degrés Celsius en degrés Fahrenheit ($F$) est $F = \frac{9}{5}C + 32$, démontrer algébriquement quelle sera la variance des températures si toutes les mesures sont exprimées en degrés Fahrenheit et calculer sa valeur finale.

Une variable statistique discrète prend les valeurs $0$, $1$ et $2$ avec les effectifs $2$, $k$ et $2$, respectivement. Sachant que la moyenne de la série est $1$, poser une équation permettant de déterminer la valeur de l'effectif $k$ afin que la variance de la série soit exactement $0,5$.

On a réalisé une étude statistique sur une variable et l'on sait que la taille de l'échantillon est $N$. De plus, on a obtenu les valeurs agrégées suivantes : $\sum x_i f_i = 40$ et $\sum x_i^2 f_i = 200$. Si la variance de la série est $4$, déterminer la taille de l'échantillon $N$.

Observer les polygones des effectifs des distributions A et B représentées sur le graphique suivant. Les deux distributions ont la même moyenne. Laquelle des deux distributions présente le plus grand écart type ? Justifier la réponse en analysant la concentration des données autour de la moyenne, sans effectuer de calculs numériques.

En calculant la variance d'une série de $10$ données, on a obtenu la valeur $4$, la moyenne étant égale à $5$. Par la suite, en vérifiant les relevés, on a découvert qu'une donnée dont la valeur réelle était $3$ avait été notée par erreur $8$. Calculer la variance correcte de la série après correction de l'erreur.

Un investisseur analyse le risque de deux fonds de placement. Le fonds Alpha a obtenu des rendements annuels de $2\%$, $4\%$, $6\%$ et $8\%$, tous avec le même effectif. Le fonds Bêta a obtenu des rendements de $4\%$, $5\%$, $5\%$ et $6\%$. Calculer l'écart type de chaque fonds et expliquer, à l'aide du coefficient de variation, lequel des deux supporte le plus grand risque relatif par unité de rendement obtenue.

Pour calculer la variance d'une série statistique, il existe deux expressions algébriquement équivalentes :

• Méthode 1 (définition) : $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 f_i}{N}$

• Méthode 2 (formule développée) : $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 f_i}{N} - \bar{x}^2$

Imaginez que vous deviez résoudre à la main et sans calculatrice les deux cas suivants :

• Cas $A$ : Cinq mesures de très haute précision effectuées dans un laboratoire : $1002$, $1003$, $1005$, $1006$ et $1009$ mm.

• Cas $B$ : Une série d'effectifs dont la moyenne est fractionnaire, $\bar{x} = \frac{10}{3} = 3,333\dots$, avec $N = 12$ observations, et pour laquelle on dispose déjà du calcul cumulé $\sum x_i^2 f_i = 150$.

1. a) Expliquer quelle méthode est la plus efficace et la plus sûre pour le cas $A$. Quelles difficultés numériques l'utilisation de l'autre méthode à la main entraînerait-elle ?
2. b) Justifier quelle méthode est la mieux adaptée au cas $B$ et quel inconvénient d'arrondi vous éviteriez.
3. c) Appliquer la méthode choisie à la question a) pour calculer la moyenne, la variance et l'écart type du cas $A$.

Dans un lycée, les deux classes de seconde passent le même devoir commun de mathématiques :

• Classe de $2^{\text{de}}\text{ A}$ ($N_A = 20$ élèves) : moyenne $\bar{x}_A = 6,0$ et écart type $\sigma_A = 1,0$.

• Classe de $2^{\text{de}}\text{ B}$ ($N_B = 30$ élèves) : moyenne $\bar{x}_B = 8,0$ et écart type $\sigma_B = 1,0$.

L'équipe pédagogique souhaite déterminer la moyenne et l'écart type globaux de l'ensemble des $50$ élèves.

1. a) Une élève affirme : « Comme les deux classes ont le même écart type ($\sigma = 1,0$), l'écart type de l'ensemble des $50$ élèves est nécessairement encore $1,0$ ». Expliquer pourquoi cette conclusion est incorrecte, en identifiant le facteur de dispersion, que l'élève n'a pas pris en compte, qui apparaît lorsqu'on réunit deux groupes de moyennes différentes.
2. b) À partir des formules de la moyenne et de la variance, reconstituer la somme des notes $\sum x_i$ et la somme des carrés des notes $\sum x_i^2$ de chaque classe.
3. c) Calculer la moyenne et l'écart type de l'ensemble des $50$ élèves. Comparer le résultat obtenu avec la prévision de l'élève à la question a).