Exercices: Diagrammes en boîte

On a relevé les âges de 7 élèves d'un atelier théâtre : $12, 14, 15, 18, 20, 22, 25$.

Déterminer le minimum, le premier quartile ($Q_1$), la médiane ($Me$), le troisième quartile ($Q_3$) et le maximum. Déterminer également l'écart interquartile ($IQR$).

Observer le diagramme en boîte suivant, qui représente les points marqués par un basketteur au cours de plusieurs matchs.

Identifier les valeurs du résumé à cinq nombres (minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum) et calculer la largeur de la boîte (écart interquartile).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une étude sur le poids des cartables, on a obtenu un premier quartile de $Q_1 = 4,5$ kg et un troisième quartile de $Q_3 = 7,2$ kg.

Calculer l'écart interquartile ($IQR$). Si le poids minimal relevé est de $2$ kg, quelle est la longueur de la moustache gauche du diagramme en boîte ?

On dispose de la liste suivante de températures en degrés Celsius relevées pendant 8 jours, non ordonnées : $15, 12, 19, 14, 18, 10, 21, 16$.

Ranger les données par ordre croissant et calculer le résumé à cinq nombres nécessaire pour dessiner un diagramme en boîte.

Répondre aux questions suivantes sur un diagramme en boîte :

• Quel pourcentage approximatif des données se trouve dans la boîte (entre $Q_1$ et $Q_3$) ?

• Quel pourcentage des données se trouve dans chacune des moustaches (en supposant qu'il n'y a pas de valeurs aberrantes) ?

• Si la boîte est très étroite, que cela indique-t-il sur la dispersion des données centrales ?

Un groupe de chercheurs a résumé la hauteur (en cm) d'une population de plantes par les cinq nombres suivants : Minimum = $110$, $Q_1 = 125$, $Me = 135$, $Q_3 = 142$, Maximum = $160$.

Dessiner le diagramme en boîte correspondant sur votre cahier en indiquant clairement l'échelle utilisée sur l'axe horizontal.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On a mesuré le temps (en minutes) que mettent 9 personnes à résoudre un casse-tête : $10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 25, 30$.

Calculer la médiane et les quartiles $Q_1$ et $Q_3$. La valeur $30$ est-elle considérée comme une valeur aberrante d'après la règle de $1,5 \cdot IQR$ ?

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant chaque réponse :

• Le trait qui marque la médiane se trouve toujours exactement au centre géométrique de la boîte.

• Les deux moustaches d'un diagramme en boîte ont toujours la même longueur.

• L'écart interquartile n'est pas affecté par les valeurs extrêmes (maximum et minimum).

Marc étudie les âges des membres d'un club d'échecs pour jeunes. Après avoir rangé les données, il obtient le résumé à cinq nombres suivant : $\text{Minimum} = 8$ ans, $Q_1 = 12$ ans, $\text{Médiane} = 15$ ans, $Q_3 = 18$ ans et $\text{Maximum} = 30$ ans.

Pour vérifier si la personne de $30$ ans doit être considérée comme une valeur aberrante (outlier), Marc écrit dans son cahier :

« Écart interquartile : $EI = 18 - 12 = 6$. Comme la médiane est $15$, la limite à partir de laquelle une donnée est aberrante est $\text{Médiane} + 1{,}5 \cdot EI = 15 + 1{,}5 \cdot 6 = 15 + 9 = 24$. Comme $30 > 24$, l'âge de $30$ ans est une valeur aberrante. »

1. a) Repérer et expliquer l'erreur conceptuelle commise par Marc dans la formule de la limite supérieure.
2. b) Corriger le calcul en appliquant le critère adéquat et déterminer la véritable limite supérieure à partir de laquelle un âge est considéré comme aberrant dans ce groupe. $30$ est-il encore considéré comme une valeur aberrante après la correction ?

Lors d'un contrôle de vitesse dans une traversée d'agglomération limitée à $50\text{ km/h}$, la police municipale note les vitesses (en $\text{km/h}$) de $9$ véhicules en infraction :

$$52,\; 53,\; 54,\; 55,\; 56,\; 58,\; 60,\; 85,\; 95$$

1. a) Estimer sans calculer la moyenne : observer la position de la donnée centrale et la distance à laquelle se situent les extrêmes par rapport à elle. Le diagramme en boîte vous semble-t-il symétrique ou asymétrique ? D'après cette forme, justifier si vous estimez que la moyenne sera nettement supérieure, inférieure ou égale à la médiane.
2. b) Vérifier par le calcul : déterminer les cinq nombres du résumé (minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum) et l'écart interquartile ($Q_3 - Q_1$). Calculer ensuite la moyenne exacte et vérifier si elle confirme votre estimation précédente sur l'asymétrie.

Le graphique suivant montre les diagrammes en boîte des pulsations par minute au repos de deux groupes d'athlètes, A (coureurs de fond) et B (haltérophiles).

À partir de l'observation des graphiques, répondre :

• Quel groupe a la plus petite médiane ?

• Quel groupe présente la plus grande dispersion dans les $50\%$ centraux de ses données ?

• Calculer l'écart interquartile des deux groupes et les comparer.

On a demandé à un groupe de familles combien d'animaux de compagnie elles ont, ce qui a donné le tableau d'effectifs suivant :

• $0$ animaux : $8$ familles

• $1$ animal : $12$ familles

• $2$ animaux : $10$ familles

• $3$ animaux : $6$ familles

• $4$ animaux : $4$ familles

Calculer les quartiles $Q_1$, $Me$ et $Q_3$ à partir des effectifs cumulés et décrire en détail le diagramme en boîte correspondant.

Dans une série statistique, le premier quartile est $Q_1 = 40$ et le troisième quartile est $Q_3 = 64$.

Calculer l'écart interquartile ($IQR$). Déterminer ensuite les limites inférieure et supérieure permettant d'identifier les valeurs aberrantes (en utilisant la règle de $1,5 \cdot IQR$). La valeur $105$ serait-elle considérée comme aberrante ? Et la valeur $3$ ?

Dans une classe de 32 élèves, le diagramme en boîte des notes de l'examen final montre que $Q_1 = 4$, $Me = 6$ et $Q_3 = 7,5$.

Sachant qu'il n'y a pas de notes répétées coïncidant exactement avec les quartiles, combien d'élèves environ ont obtenu une note inférieure ou égale à $4$ ? Combien d'élèves ont obtenu une note comprise entre $4$ et $7,5$ ?

Le tableau suivant indique le temps (en heures) que consacre par semaine un groupe de jeunes aux jeux vidéo, regroupé en classes :

• $[0\,;\,5[$ : $10$ jeunes

• $[5\,;\,10[$ : $25$ jeunes

• $[10\,;\,15[$ : $30$ jeunes

• $[15\,;\,20[$ : $15$ jeunes

Calculer la position des quartiles $Q_1$, $Me$ et $Q_3$ en interpolant dans les classes correspondantes.

Les salaires (en euros) de 5 employés d'une petite entreprise sont : $1100, 1200, 1300, 1500, 2500$.

Calculer le résumé à cinq nombres. Si l'employé qui gagne $2500$ € reçoit une augmentation de $500$ € (il gagne alors $3000$ €), quel est l'effet sur la médiane et sur l'écart interquartile ? Quel avantage le diagramme en boîte présente-t-il par rapport à la moyenne dans ce cas ?

Un diagramme en boîte présente les valeurs suivantes : Minimum = $10$, $Q_1 = 15$, $Me = 18$, $Q_3 = 35$, Maximum = $40$.

Analyser l'asymétrie de la distribution. Est-elle étalée vers la droite ou vers la gauche ? Justifier en comparant les distances entre les quartiles et la médiane.

Les notes d'un examen sur 10 points ont le résumé suivant : Minimum = $3$, $Q_1 = 5$, $Me = 6$, $Q_3 = 8$, Maximum = $10$.

Le professeur décide de transformer les notes en les multipliant par $0,8$ puis en leur ajoutant $2$ points. Calculer le nouveau résumé à cinq nombres et le nouvel écart interquartile.

Le service client d'un opérateur de télécommunications relève le temps d'attente (en minutes) de $100$ utilisateurs sur deux canaux différents :

• Canal téléphonique : $\text{Minimum} = 1$, $Q_1 = 3$, $\text{Médiane} = 4$, $Q_3 = 5$, $\text{Maximum} = 45$. Moyenne $= 5{,}8\text{ min}$ ; étendue $= 44\text{ min}$ ; écart interquartile $= 2\text{ min}$. (Le maximum de $45$ est dû à une panne ponctuelle du système informatique un jour précis.)

• Canal chat en ligne : $\text{Minimum} = 3$, $Q_1 = 6$, $\text{Médiane} = 8$, $Q_3 = 10$, $\text{Maximum} = 12$. Moyenne $= 7{,}9\text{ min}$ ; étendue $= 9\text{ min}$ ; écart interquartile $= 4\text{ min}$.

La direction s'interroge sur la méthode à employer pour comparer la régularité et la qualité du service :

• Méthode 1 : comparer la dispersion à l'aide de l'étendue ($\text{Maximum} - \text{Minimum}$).

• Méthode 2 : comparer la dispersion à l'aide de l'écart interquartile ($Q_3 - Q_1$) et de la médiane.

1. a) Si l'entreprise utilisait la méthode 1, quel canal paraîtrait beaucoup plus dispersé et imprévisible ? Cette conclusion reflète-t-elle l'expérience habituelle des $50\,\%$ centraux des utilisateurs ?
2. b) Choisir en justifiant laquelle des deux méthodes statistiques est la plus représentative pour évaluer la qualité quotidienne du service, et expliquer pourquoi l'écart interquartile est plus robuste face à des incidents techniques isolés.

Météo-France relève pendant $15$ jours de janvier les températures minimales suivantes (en degrés Celsius) dans une station de haute montagne :

$$-12,\; -10,\; -9,\; -8,\; -6,\; -5,\; -4,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 2,\; 3,\; 4,\; 18$$

1. a) Modéliser la distribution de ces températures en calculant le résumé à cinq nombres (minimum, $Q_1$, $\text{Médiane}$, $Q_3$, maximum) et l'écart interquartile ($Q_3 - Q_1$).
2. b) Déterminer à l'aide du critère de Tukey si le relevé de $18\;^\circ\text{C}$ (dû à un épisode exceptionnel de vent chaud) doit être classé comme valeur aberrante. Au vu du résultat, jusqu'à quelle valeur numérique serait tracée la moustache droite du diagramme en boîte ?
3. c) Si l'on convertit toutes les températures en degrés Fahrenheit à l'aide de la fonction affine $F = 1{,}8 \cdot C + 32$, calculer la nouvelle médiane et le nouvel écart interquartile en appliquant les propriétés des transformations affines, sans convertir les $15$ données une à une.

Ingénierie inverse. Construire une série de 7 nombres entiers vérifiant simultanément les conditions suivantes pour son diagramme en boîte :

• Minimum = $2$

• $Q_1 = 4$

• Médiane = $7$

• $Q_3 = 10$

• Maximum = $15$

Démontrer pas à pas que votre série vérifie les valeurs demandées.

L'histogramme suivant montre la répartition des âges des visiteurs d'un musée durant un après-midi.

À partir des effectifs représentés dans l'histogramme, déterminer les classes dans lesquelles se trouvent le premier quartile ($Q_1$), la médiane ($Me$) et le troisième quartile ($Q_3$). Justifier vos calculs à l'aide des effectifs cumulés.

Dans une série statistique, les quartiles sont donnés par des expressions algébriques en fonction d'un paramètre $x > 0$ :

• $Q_1 = x$

• $Me = 2x + 1$

• $Q_3 = x^2 - 2$

Sachant que l'écart interquartile ($IQR$) est égal à $10$, poser une équation, la résoudre pour trouver la valeur de $x$, puis calculer les valeurs numériques de $Q_1$, $Me$ et $Q_3$.

Dans un diagramme en boîte, la moustache droite est extrêmement longue par rapport à la moustache gauche et à la boîte. Par exemple : Minimum = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Maximum = $120$.

Raisonner et justifier mathématiquement si la moyenne de cette distribution sera supérieure, inférieure ou à peu près égale à la médiane. Pourquoi en est-il ainsi ?

On dispose d'une série de 6 nombres : $4, 8, 10, 15, 20, y$.

Sachant que la médiane de cette série est $12$, déterminer la valeur inconnue de $y$. Une fois celle-ci trouvée, calculer le premier et le troisième quartile, et déterminer s'il existe une valeur aberrante.

Montrer par un contre-exemple qu'un diagramme en boîte ne suffit pas pour identifier si une distribution est bimodale (c'est-à-dire si elle a deux modes ou pics d'effectif).

Pour cela, inventer deux séries de 8 valeurs chacune : l'une clairement unimodale et l'autre clairement bimodale, mais telles que les deux aient exactement le même résumé à cinq nombres (Minimum, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Maximum).

Une entreprise analyse la durée de vie (en heures) de deux marques d'ampoules, A et B. Les deux marques ont la même médiane ($Me = 1000$ h) et le même écart interquartile ($IQR = 200$ h). Cependant, l'étendue de la marque A est de $400$ h, tandis que celle de la marque B est de $1200$ h.

Que nous apprend cette différence d'étendue sur la fiabilité et la présence de valeurs aberrantes dans les deux marques ? Laquelle des deux marques jugeriez-vous la plus prévisible, et pourquoi ?

On a relevé le nombre de pulsations par minute de 11 athlètes après une course : $110, 115, 120, 122, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 200$.

Calculer le résumé à cinq nombres et identifier si la valeur $200$ est une valeur aberrante en utilisant le critère de $1,5 \cdot IQR$. Si l'on supprime cette valeur aberrante de la série, comment varient la moyenne et la médiane ? Quelle mesure de tendance centrale est la plus robuste face à ce changement ?

Ingénierie inverse d'une distribution de salaires. Dans une étude sociologique, on recueille les salaires nets mensuels de $N = 10$ employés d'une coopérative, exprimés en centaines d'euros et rangés par ordre croissant : $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{10}$.

Construire une série de $10$ valeurs entières vérifiant simultanément toutes les conditions suivantes pour son diagramme en boîte :

1. $\text{Minimum} = 10$ ($1000\text{ \euro}$).

2. $Q_1 = 13$ et $Q_3 = 19$. (Pour un échantillon de $10$ données rangées, prendre comme quartiles les médianes de chaque moitié : $Q_1 = x_3$ et $Q_3 = x_8$.)

3. La médiane de l'échantillon est exactement $16$ ($1600\text{ \euro}$), mais aucun employé des positions centrales ne gagne exactement ce montant ($x_5 \ne x_6$).

4. Dans la distribution, il y a exactement une valeur aberrante supérieure et aucune valeur aberrante inférieure.

Calculer explicitement les bornes qui délimitent les valeurs aberrantes, proposer les $10$ valeurs numériques $\{x_1, x_2, \dots, x_{10}\}$ et justifier pas à pas pourquoi votre série vérifie chacune des conditions.

Deux lignes de bus urbains (ligne A et ligne B) relient la gare à un campus universitaire. À partir du relevé des temps de trajet (en minutes) tout au long de l'année scolaire, on a tracé leurs diagrammes en boîte, dont les caractéristiques sont :

• Ligne A : $\text{Minimum} = 12$, $Q_1 = 18$, $\text{Médiane} = 25$, $Q_3 = 28$, $\text{Maximum} = 34$ (sans valeur aberrante).

• Ligne B : $\text{Minimum} = 15$, $Q_1 = 20$, $\text{Médiane} = 22$, $Q_3 = 24$, $\text{Maximum} = 42$ (avec une seule valeur aberrante en $42$ ; la dernière valeur non aberrante, où s'arrête la moustache, est $29$).

1. a) Un étudiant arrive à la gare à $8:30$ et son examen commence à $9:00$ (il dispose de $30$ minutes de marge). Déduire des quartiles quel pourcentage des trajets dure $28$ minutes ou moins sur la ligne A et quel pourcentage dure $24$ minutes ou moins sur la ligne B. Quelle ligne lui offre la plus grande garantie d'arriver à l'heure au moins $75\,\%$ des fois ?
2. b) Analyser l'asymétrie de chaque ligne en comparant les distances $(Me - Q_1)$ et $(Q_3 - Me)$ ainsi que la longueur des moustaches. Justifier sur laquelle des deux lignes la moyenne est prévisiblement nettement inférieure à la médiane.
3. c) Pour fluidifier le trafic, on aménage une voie réservée qui réduit le temps de trajet selon la relation $t' = 0{,}8 \cdot t - 1$. Démontrer de façon algébrique générale que si une donnée quelconque $x$ était une valeur aberrante supérieure pour la variable initiale $t$, sa valeur transformée $x'$ restera obligatoirement une valeur aberrante supérieure pour la variable $t'$.