Exercices: Équation de la droite sous la forme point-coefficient directeur

Écrire l'équation, sous la forme point-coefficient directeur, de la droite passant par le point $P(3 ; -2)$ et de coefficient directeur $m = 4$.

Calculer le coefficient directeur de la droite passant par les points $A(-1 ; 5)$ et $B(2 ; 11)$. Puis écrire son équation sous la forme point-coefficient directeur en utilisant le point $A$.

Étant donnée la droite d'équation $y - 5 = -2(x + 1)$, indiquer son coefficient directeur et obtenir directement à partir de la formule les coordonnées d'un point par lequel elle passe.

Transformer l'équation point-coefficient directeur $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ en sa forme réduite $y = mx + n$.

Écrire l'équation, sous la forme point-coefficient directeur, de la droite parallèle à $y = 3x - 7$ passant par le point $Q(-4 ; 1)$.

Un plombier facture $30$ € de déplacement à domicile et $20$ € par heure de travail. Sachant que pour un travail de $2$ heures il a facturé un total de $70$ €, écrire l'équation point-coefficient directeur qui relie le coût total aux heures travaillées, en prenant ce point connu comme référence.

Sur la représentation graphique d'une droite, les points $(0 ; 0)$ et $P(2 ; 3)$ sont mis en évidence. À partir de ces points, calculer le coefficient directeur de la droite et écrire son équation sous la forme point-coefficient directeur en prenant comme référence le point $P$.

Écrire l'équation, sous la forme point-coefficient directeur, de la droite bissectrice du premier et du troisième quadrant. Puis écrire l'équation, sous la même forme, de la droite bissectrice du deuxième et du quatrième quadrant, en utilisant dans les deux cas l'origine du repère.

Alexandre doit déterminer l'équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $r: 3x - 6y + 2 = 0$ passant par le point $A(1\,;\,-2)$. Dans sa copie, il écrit :

« Étape 1 : Le coefficient directeur de la droite $r$ est $m_1 = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{3}{-6} = \dfrac{1}{2}$.

Étape 2 : Comme des droites perpendiculaires ont des coefficients directeurs opposés, le coefficient directeur de la droite cherchée doit être $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.

Étape 3 : J'applique la forme point-coefficient directeur : $y - (-2) = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$, ce qui donne $y + 2 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$, et sous forme cartésienne : $x + 2y + 3 = 0$ ».

1. a) Identifier précisément à quelle étape se situe l'erreur et expliquer l'erreur de raisonnement d'Alexandre sur la condition de perpendicularité.
2. b) Corriger l'exercice à partir de cette étape et écrire l'équation cartésienne ($Ax + By + C = 0$) correcte de la droite perpendiculaire.

Construire les équations cartésiennes ($Ax + By + C = 0$) de deux droites distinctes, $r$ et $s$, vérifiant simultanément les conditions suivantes :

1. Elles sont toutes deux perpendiculaires à la droite donnée $t: 2x + 5y - 10 = 0$.

2. La droite $r$ doit couper l'axe des ordonnées ($Y$) en un point d'ordonnée $y$ négative (choisir cette valeur et la justifier).

3. La droite $s$ doit passer exactement par le point $P(4 ; 1)$.

Montrer, en justifiant, comment on déduit le coefficient directeur commun de $r$ et $s$ à partir de la droite $t$, et obtenir l'équation cartésienne de chacune.

Une société de location de vélos facture un montant fixe pour le service plus un prix constant par heure d'utilisation. On sait que pour une location de $3$ heures on paie $14$ € et pour une location de $5$ heures on paie $20$ €. Déterminer le coefficient directeur de la fonction affine de coût et écrire son équation sous la forme point-coefficient directeur en prenant les données du premier client.

Déterminer l'équation, sous la forme point-coefficient directeur, de la droite perpendiculaire à la droite $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ et passant par l'origine du repère.

Vérifier par le calcul si les points $A(-2 ; 4)$, $B(1 ; -2)$ et $C(5 ; -10)$ sont alignés. Pour cela, déterminer d'abord l'équation, sous la forme point-coefficient directeur, de la droite passant par $A$ et $B$, puis vérifier si les coordonnées de $C$ satisfont cette équation.

Une voiture circule sur une route rectiligne à vitesse constante. À $10:00$ heures, elle se trouve au kilomètre $45$ et à $12:30$ heures, elle passe au kilomètre $245$. Écrire l'équation point-coefficient directeur qui modélise la position de la voiture en fonction du temps écoulé depuis $10:00$ heures, le temps étant exprimé en heures.

À partir de l'équation cartésienne de la droite $3x - 5y + 15 = 0$, déterminer un point de cette droite dont l'abscisse $x$ est entière, calculer son coefficient directeur et écrire l'équation correspondante sous la forme point-coefficient directeur.

Le graphique suivant montre le profil de descente à vitesse constante d'un sous-marin. À partir des points indiqués, déterminer l'équation, sous la forme point-coefficient directeur, de sa trajectoire.

La valeur d'un équipement informatique se déprécie de façon affine avec le temps. S'il a été acheté $1200$ € et que, au bout de $4$ ans, sa valeur comptable est de $400$ €, écrire l'équation point-coefficient directeur qui relie la valeur de l'équipement aux années écoulées, en utilisant le point correspondant à la quatrième année.

Déterminer l'équation, sous la forme point-coefficient directeur, de la droite passant par le point $P(-3 ; 5)$ et parallèle à la droite qui joint les points $M(1 ; -2)$ et $N(4 ; 7)$.

Dans un canton de la région Centre-Val de Loire, deux communes sont situées sur une carte aux coordonnées $A(1 ; 2)$ et $B(7 ; 4)$ (mesurées en kilomètres). Un opérateur de télécommunications doit installer une antenne relais équidistante des deux communes, ce qui impose de la placer sur la médiatrice du segment $AB$.

1. a) Modéliser la situation en calculant pas à pas l'équation cartésienne de cette médiatrice.
2. b) Une route départementale suit le tracé rectiligne de la droite $r: x - y + 1 = 0$. Si l'entreprise décide d'installer l'antenne en bordure de cette route pour faciliter l'accès, calculer les coordonnées exactes du point où elle doit être placée.
3. c) Analyser les coefficients directeurs de la route $r$ et du segment $AB$ pour justifier mathématiquement si la route coupe perpendiculairement, obliquement ou si elle est parallèle à la droite qui joint directement les deux villages.

On considère les trois points du plan $P(-3 ; 8)$, $Q(1 ; 0)$ et $R(4 ; -6)$. Pour savoir si les trois points sont alignés, on propose deux procédures différentes :

• Méthode 1 : déterminer l'équation réduite de la droite passant par $P$ et $Q$, puis vérifier si les coordonnées de $R$ satisfont cette équation.

• Méthode 2 : calculer directement le coefficient directeur du segment $PQ$ ($m_{PQ}$) et celui du segment $QR$ ($m_{QR}$), puis comparer si les deux valeurs coïncident.

1. a) Expliquer laquelle des deux méthodes est la plus directe et la plus efficace, en indiquant ses avantages quant au nombre d'opérations et au risque d'erreur algébrique.
2. b) Appliquer la méthode choisie pour justifier si $P$, $Q$ et $R$ sont alignés ou non.
3. c) Utiliser l'approche par les coefficients directeurs pour déterminer la valeur de la coordonnée inconnue $k$ de sorte que le point $S(k ; -10)$ soit lui aussi aligné avec eux.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la droite d'équation $y - 3 = k(x + 2)$ passe par le point d'intersection des droites $r: 2x + y - 8 = 0$ et $s: x - 3y + 3 = 0$.

Déterminer l'équation, sous la forme point-coefficient directeur, de la médiatrice du segment d'extrémités $A(-4 ; 2)$ et $B(2 ; 6)$. Rappel : la médiatrice est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.

Étant donné le triangle de sommets $A(1 ; 1)$, $B(7 ; 4)$ et $C(3 ; 7)$, déterminer l'équation, sous la forme point-coefficient directeur, de la hauteur issue du sommet $C$.

Les échelles de température Celsius ($^\circ C$) et Fahrenheit ($^\circ F$) sont reliées par une relation affine. Sachant que l'eau gèle à $0^\circ C$ ($32^\circ F$) et bout à $100^\circ C$ ($212^\circ F$), déduire l'équation point-coefficient directeur qui permet de convertir les degrés Celsius en degrés Fahrenheit, en utilisant le point de congélation. Puis l'utiliser pour calculer la température en Fahrenheit équivalente à la température normale du corps humain de $37^\circ C$.

Calculer l'aire du triangle formé par la droite d'équation $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ et les axes du repère. Pour cela, déterminer d'abord les points d'intersection de la droite avec les axes.

Dans un modèle économique simple, la quantité demandée d'un produit diminue de façon affine lorsque son prix augmente. À un prix de $20$ €, la demande est de $500$ unités, et l'on a observé que pour chaque augmentation de $2$ € du prix, la demande baisse de $50$ unités. Écrire l'équation point-coefficient directeur de la demande en prenant la première donnée comme référence, et calculer à quel prix la demande sera nulle.

Un rayon lumineux suit une trajectoire rectiligne d'équation $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. En arrivant sur l'axe des abscisses (qui joue le rôle d'un miroir plan parfait), le rayon se réfléchit. Sachant que l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion, déterminer l'équation du rayon réfléchi sous la forme point-coefficient directeur, en prenant comme référence le point d'impact sur le miroir.

Écrire l'équation, sous la forme point-coefficient directeur, de la droite qui passe par le point $P(2 ; -1)$ et qui, en coupant les demi-axes de coordonnées (demi-axe des abscisses positif et demi-axe des ordonnées négatif), forme un triangle rectangle d'aire $4$ unités d'aire.

Lors d'une opération en mer, au large de la Bretagne, le CROSS détecte deux embarcations à la dérive aux positions $A(-6 ; -2)$ et $B(2 ; 4)$ (en milles marins par rapport au centre de contrôle situé en $(0 ; 0)$). Un hélicoptère de secours doit patrouiller le long de la médiatrice du segment $AB$ pour rester toujours à égale distance des deux signaux.

1. a) Avant de faire des calculs, effectuer une estimation raisonnée : déterminer quel doit être le signe du coefficient directeur de la médiatrice et si son ordonnée à l'origine sera positive ou négative, en justifiant la prédiction à partir des positions de $A$, $B$ et de leur milieu dans le plan muni d'un repère.
2. b) Calculer l'équation réduite ($y = mx + n$) de la médiatrice et vérifier si les valeurs obtenues de $m$ et $n$ confirment précisément les déductions de la question précédente.
3. c) La base côtière de l'hélicoptère se situe en $C(6 ; -8)$. Si l'appareil décolle en suivant la trajectoire rectiligne d'équation $4x + 3y = 0$, justifier, à l'aide des coefficients directeurs, la relation géométrique entre cette trajectoire de départ, la droite qui relie directement les deux embarcations ($AB$) et la ligne de patrouille (la médiatrice).

On considère la droite fixe $s: 4x - 6y + 5 = 0$ et une famille de droites dépendant d'un paramètre réel $k$, définies par $r_k: (k - 1)x + 2y - 4 = 0$.

1. a) Déterminer, en justifiant, la valeur de $k$ pour laquelle la droite $r_k$ est parallèle à $s$.
2. b) Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle la droite $r_k$ est perpendiculaire à $s$.
3. c) Un camarade de classe affirme : « Si une troisième droite $t$ quelconque est perpendiculaire à $s$, alors $t$ est forcément sécante à $r_k$ quelle que soit la valeur du paramètre $k$ ». Justifier géométriquement et algébriquement si l'affirmation de votre camarade est vraie ou fausse, en analysant ce qui se passe pour le coefficient directeur de $t$ par rapport aux cas calculés aux questions a) et b).