Exercices: Équations et graphes du mouvement

Le graphe $x$-$t$ d'un mobile est une droite horizontale en $x = 5\ \text{m}$ pendant $10\ \text{s}$. Il est représenté sur la figure.

1. a) Dans quel état se trouve le mobile pendant ce temps ?
2. b) Quelle est la valeur de sa vitesse ? Justifier à partir de la pente du graphe.

Le graphe $x$-$t$ d'un piéton est une droite passant par les points $(0\ ;\ 2)$ et $(4\ ;\ 10)$, avec $x$ en mètres et $t$ en secondes. Il est représenté sur la figure.

1. a) Calculer la pente de la droite et indiquer quelle grandeur elle représente.
2. b) Écrire l'équation de position du piéton.

Le graphe $v$-$t$ d'un cycliste est une droite horizontale en $v = 6\ \text{m/s}$ de $t = 0$ à $t = 5\ \text{s}$. Il est représenté sur la figure.

1. a) Quel type de mouvement décrit-il ?
2. b) Calculer la distance parcourue à l'aide de l'aire sous la courbe.

Le graphe $v$-$t$ d'une voiture est une droite qui relie les points $(0 ; 0)$ et $(4 ; 12)$, avec $v$ en $\text{m/s}$ et $t$ en secondes. Il est représenté sur la figure.

1. a) Calculer la pente de la droite et indiquer quelle grandeur elle représente.
2. b) Quelle est sa valeur avec son unité ?

Compléter les phrases suivantes sur les graphes du mouvement :

1. a) La pente d'un graphe $x$-$t$ représente la $\dots$
2. b) La pente d'un graphe $v$-$t$ représente la $\dots$
3. c) L'aire sous un graphe $v$-$t$ représente la $\dots$ parcourue.

Le graphe $a$-$t$ d'un mobile est une droite horizontale en $a = 2\ \text{m/s}^2$ de $t = 0$ à $t = 6\ \text{s}$, comme représenté sur la figure.

Si le mobile part du repos, calculer sa vitesse au bout de $6\ \text{s}$ en utilisant l'aire sous le graphe $a$-$t$.

Un camarade vous montre deux graphes $x$-$t$ : sur le premier, la position croît selon une droite inclinée ; sur le second, la position croît selon une courbe de plus en plus raide. Ils sont représentés sur la figure.

1. a) Lequel correspond à un mouvement uniforme et lequel à un mouvement accéléré ?
2. b) Expliquer, dans chaque cas, ce qui arrive à la vitesse.

Le graphe $v$-$t$ d'une voiture est une droite qui relie les points $(0 ; 20)$ et $(5 ; 0)$, avec $v$ en $\text{m/s}$ et $t$ en secondes. Il est représenté sur la figure.

1. a) La voiture accélère-t-elle ou freine-t-elle ? Justifier.
2. b) Calculer son accélération à partir de la pente.

Le graphe $x$-$t$ d'une randonnée à pied comporte trois segments rectilignes : de $(0 ; 0)$ à $(10 ; 50)$, de $(10 ; 50)$ à $(15 ; 50)$ et de $(15 ; 50)$ à $(25 ; 0)$, avec $x$ en mètres et $t$ en secondes. Il est représenté sur la figure.

1. a) Calculer la vitesse de chaque segment.
2. b) Interpréter chaque segment : que font les randonneurs dans chacun ?
3. c) Combien de temps dure la randonnée complète ?

Le graphe $v$-$t$ d'une voiture comporte trois segments : de $(0 ; 0)$ à $(10 ; 20)$, de $(10 ; 20)$ à $(30 ; 20)$ et de $(30 ; 20)$ à $(40 ; 0)$, avec $v$ en $\text{m/s}$ et $t$ en secondes. Il est représenté sur la figure.

1. a) Calculer l'accélération de chaque segment.
2. b) Calculer la distance parcourue sur chaque segment à l'aide des aires (triangles et rectangle) sous la courbe.
3. c) Quelle est la distance totale ?

En mesurant la position d'un chariot de laboratoire, on obtient les données suivantes : à $t = 0\ \text{s}$, $x = 3\ \text{m}$ ; à $t = 1\ \text{s}$, $x = 5\ \text{m}$ ; à $t = 2\ \text{s}$, $x = 7\ \text{m}$ ; à $t = 3\ \text{s}$, $x = 9\ \text{m}$.

1. a) Représenter les points sur un graphe $x$-$t$ dans votre cahier et vérifier qu'ils sont alignés.
2. b) Déduire l'équation de position du chariot.
3. c) Prévoir sa position lorsque $t = 10\ \text{s}$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

La position d'un mobile, en unités du Système international, est $x = 10 - 3 \cdot t$.

1. a) Calculer sa position à $t = 0\ \text{s}$, $t = 1\ \text{s}$ et $t = 2\ \text{s}$.
2. b) Décrire le graphe $x$-$t$ : est-il croissant ou décroissant ? Que indique la pente négative ?
3. c) Calculer à quel instant il passe par l'origine, en arrondissant au dixième.

Le graphe $v$-$t$ d'une voiture est une droite qui relie les points $(0 ; 5)$ et $(6 ; 17)$, avec $v$ en $\text{m/s}$ et $t$ en secondes. Il est représenté sur la figure.

1. a) Calculer l'accélération.
2. b) Écrire l'équation de la vitesse et calculer $v$ lorsque $t = 3\ \text{s}$.
3. c) Calculer la distance parcourue pendant les $6\ \text{s}$ en décomposant l'aire sous la courbe en un rectangle et un triangle.

Sur un même graphique $x$-$t$, le mobile A suit la droite $x_A = 4 \cdot t$ et le mobile B la droite $x_B = 20 + t$, en unités du Système international.

1. a) Tracer les deux droites dans votre cahier.
2. b) Que signifie le point d'intersection ?
3. c) Calculer l'instant et la position de l'intersection, arrondis au dixième.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le graphique $a$-$t$ d'un mobile qui part du repos est : $a = 3\ \text{m/s}^2$ de $t = 0$ à $t = 4\ \text{s}$, et $a = 0$ de $t = 4\ \text{s}$ à $t = 10\ \text{s}$. Il est représenté sur la figure.

1. a) Calculer la vitesse à $4\ \text{s}$ en utilisant l'aire sous la courbe $a$-$t$.
2. b) Quelle est la vitesse à $10\ \text{s}$ ? Justifier.
3. c) Tracer dans votre cahier le graphique $v$-$t$ correspondant.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le graphique $v$-$t$ d'une cycliste comporte trois segments de droite reliant les points $(0 ; 0)$, $(5 ; 10)$, $(15 ; 10)$ et $(20 ; 0)$, avec $v$ en $\text{m/s}$ et $t$ en secondes.

1. a) Décrire avec des mots ce que fait la cycliste sur chaque segment.
2. b) Calculer la distance totale parcourue à l'aide des aires sous la courbe.

Le graphique $v$-$t$ d'une rame de métro entre deux stations est : elle accélère de $0$ à $15\ \text{m/s}$ en $30\ \text{s}$, maintient $15\ \text{m/s}$ pendant $60\ \text{s}$ puis freine jusqu'à l'arrêt en $15\ \text{s}$. Il est représenté sur la figure.

1. a) Calculer l'accélération sur chaque phase.
2. b) Calculer la distance parcourue sur chaque phase et la distance totale entre les stations.
3. c) Calculer la vitesse moyenne du trajet, arrondie au dixième.

En mesurant la position d'un chariot qui descend un plan incliné, on obtient : à $t = 0\ \text{s}$, $x = 0\ \text{m}$ ; à $t = 1\ \text{s}$, $x = 1\ \text{m}$ ; à $t = 2\ \text{s}$, $x = 4\ \text{m}$ ; à $t = 3\ \text{s}$, $x = 9\ \text{m}$.

1. a) Vérifier que les données satisfont la relation $x = t^2$ et, en la comparant à $x = \frac{1}{2} a \cdot t^2$, en déduire l'accélération du chariot.
2. b) Prévoir sa position lorsque $t = 5\ \text{s}$.
3. c) Calculer la distance qu'il parcourt chaque seconde ($0$-$1\ \text{s}$, $1$-$2\ \text{s}$, $2$-$3\ \text{s}$) et expliquer, à partir de ces valeurs, pourquoi la courbe $x$-$t$ est une courbe et non une droite.

Sur un même graphique $v$-$t$, la voiture A est une droite horizontale en $v = 20\ \text{m/s}$ et la voiture B est une droite qui part de l'origine avec une accélération $a = 4\ \text{m/s}^2$, comme le montre la figure. Les deux partent du même point en même temps.

1. a) Calculer l'instant où les deux courbes du graphique se croisent.
2. b) Calculer la distance parcourue par chaque voiture jusqu'à cet instant, à l'aide des aires. Sont-elles au même endroit ?
3. c) Calculer l'instant où B rattrape réellement A en égalant les équations de position.
4. d) Expliquer la différence entre « croisement des courbes $v$-$t$ » et « rattrapage » : qu'est-ce qui est égal dans chaque cas ?

Le graphique $v$-$t$ d'un mobile comporte deux phases : une droite de $(0\ ;\ 0)$ à $(4\ ;\ 8)$ et une horizontale en $v = 8\ \text{m/s}$ de $t = 4\ \text{s}$ à $t = 10\ \text{s}$, avec $v$ en $\text{m/s}$.

1. a) Calculer la distance parcourue sur chaque phase.
2. b) Calculer la position en $t = 2\ \text{s}$, $t = 4\ \text{s}$ et $t = 10\ \text{s}$ (prendre l'origine comme position initiale).
3. c) À partir de ces valeurs, décrire l'allure du graphique $x$-$t$ : quelle phase est courbe et quelle phase est rectiligne ? Justifier.

Le graphique $x$-$t$ d'un mobile est une droite reliant les points $(0\ ;\ 50)$ et $(10\ ;\ 0)$, avec $x$ en mètres et $t$ en secondes. Il est représenté sur la figure.

1. a) Écrire son équation de position.
2. b) Expliquer ce que signifient la position initiale et le signe de la pente.
3. c) Calculer la position lorsque $t = 14\ \text{s}$ et expliquer la signification physique du fait qu'elle soit négative.
4. d) À quel instant se trouve-t-il en $x = -50\ \text{m}$ ?

Le graphique $x$-$t$ d'une promenade est : une droite de $(0\,;\,0)$ à $(4\,;\,40)$ et une autre de $(4\,;\,40)$ à $(8\,;\,0)$, avec $x$ en mètres et $t$ en secondes. Il est représenté sur la figure.

1. a) Calculer la vitesse sur chaque phase.
2. b) Calculer la distance totale parcourue et le déplacement total.
3. c) Calculer la vitesse moyenne (déplacement divisé par la durée) et la vitesse moyenne scalaire (distance divisée par la durée).
4. d) Expliquer pourquoi l'une des deux est nulle et l'autre non.

Un mobile part du repos. Son graphique $a$-$t$ est : $a = 4\ \text{m/s}^2$ de $t = 0$ à $t = 5\ \text{s}$, et $a = -2\ \text{m/s}^2$ de $t = 5\ \text{s}$ à $t = 15\ \text{s}$. Il est représenté sur la figure.

1. a) Calculer la vitesse maximale atteinte et l'instant correspondant.
2. b) Calculer la vitesse à $15\ \text{s}$.
3. c) Tracer dans votre cahier le graphique $v$-$t$ et calculer la distance totale parcourue à l'aide de son aire.
4. d) Décrire avec des mots le mouvement complet.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un camarade trace un graphique $x$-$t$ dans lequel une portion est une droite verticale et affirme qu'elle représente un changement de position instantané.

1. a) Expliquer pourquoi un graphique $x$-$t$ ne peut pas comporter de portion verticale : qu'est-ce que cela impliquerait pour la position du mobile à un même instant et pour sa vitesse ?
2. b) Pour la même raison, expliquer si le graphique $x$-$t$ peut « revenir en arrière » vers la gauche sur l'axe du temps.
3. c) Tracer dans votre cahier un graphique $x$-$t$ correct pour cette situation : une personne sort de chez elle, s'arrête un moment pour parler à un voisin et rentre chez elle. Justifier l'allure de chaque phase.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Défi du thème. Concevoir un compte rendu de cinématique intégrant des mouvements de votre quotidien :

1. Chute libre : Mesurer une hauteur fixe ($h \approx 2,00 \pm 0,01\text{ m}$) et chronométrer $5$ chutes d'un petit objet. Présenter les durées dans un tableau, déterminer la moyenne et l'incertitude ($\bar{t} \pm \Delta t$), calculer expérimentalement la valeur de $g$ à l'aide de $h = \frac{1}{2}gt^2$ et représenter le graphique $y-t$ prévu par le modèle $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ avec votre valeur de $g$.

2. Mouvement rectiligne uniforme et freinage (mouvement rectiligne uniformément varié) : Mesurer sur Google Maps la distance d'un trajet que vous faites habituellement à vélo ou en trottinette. Modéliser une partie intermédiaire à vitesse constante $v$ (mouvement rectiligne uniforme) et une décélération finale jusqu'à l'arrêt avec une accélération $a$ (mouvement rectiligne uniformément varié). Écrire les équations du mouvement $x(t)$ et $v(t)$.

3. Rotation (mouvement circulaire uniforme) : Pour les roues ($R = 0,32\text{ m}$) tournant à cette vitesse $v$, déterminer la vitesse angulaire $\omega$, la période $T$ et l'accélération centripète $a_c$.

Présenter les résultats dans un bref compte rendu avec vos données, vos calculs et vos graphiques.

Seront évalués :

• La rigueur dans la prise de mesures « maison », l'estimation de l'incertitude et le tracé des graphiques.

• L'exactitude de la mise en équation et des unités du SI pour le mouvement rectiligne uniforme, le mouvement rectiligne uniformément varié, la chute libre et le mouvement circulaire uniforme.

• L'analyse critique des sources d'erreur possibles et la clarté des conclusions.