Exercices: Simulation de tirages et loi des grands nombres

On simule $10$ lancers d'une pièce équilibrée et on obtient $6$ « pile ».

1. a) Calculer la fréquence de « pile ».

1. b) Quelle valeur attend-on pour la fréquence sur un très grand nombre de lancers ?

Dans un tableur, la formule =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) simule un lancer de dé.

1. a) Quelles valeurs peut-elle prendre ?

1. b) Comment simuler $100$ lancers ?

1. c) Quelle formule compte le nombre de « 6 » dans les cellules A1 à A100 ?

Une urne contient $3$ boules rouges et $7$ boules vertes. On tire une boule au hasard.

1. a) Donner la probabilité d'obtenir une boule rouge.

1. b) Sur $1\,000$ tirages avec remise, combien de boules rouges attend-on environ ?

Au jeu de « croix ou pile », on lance une pièce équilibrée trois fois de suite.

1. a) Dresser la liste des issues possibles.

1. b) Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux « pile ».

1. c) Une simulation de $500$ séries de trois lancers donne $182$ séries avec exactement deux « pile ». Comparer à la valeur théorique.

Au jeu de « passe-dix », on lance trois dés et on gagne si la somme est strictement supérieure à $10$.

1. a) Combien d'issues possibles y a-t-il ?

1. b) Par symétrie ($s \mapsto 21-s$), montrer que la probabilité de gagner est égale à celle d'obtenir une somme strictement inférieure à $11$. En déduire la probabilité de gagner. Sachant que $P(\text{somme}=10)=P(\text{somme}=11)=\dfrac{27}{216}$, calculer ensuite la probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à $12$.

1. c) Le jeu est-il favorable au joueur ?

Un script Python simule $n$ lancers d'un dé et affiche la fréquence du « 6 » :

from random import randint

def freq(n):

    c = 0

    for i in range(n):

        if randint(1,6) == 6:

            c += 1

    return c/n

1. a) Que renvoie freq(60) en moyenne ?

1. b) On obtient freq(100) = 0.19 et freq(10000) = 0.1668. Quelle valeur est la plus fiable ? Justifier avec la loi des grands nombres.

1. c) Modifier le script pour estimer la probabilité d'obtenir un nombre pair.

Problème de Monty Hall : un candidat choisit une porte parmi trois, derrière l'une se trouve une voiture. Le présentateur, qui sait où elle est, ouvre une porte vide parmi les deux non choisies, puis propose au candidat de changer de porte.

1. a) Calculer la probabilité de gagner si le candidat garde son choix.

1. b) Calculer la probabilité de gagner s'il change, en raisonnant sur l'événement « le premier choix était mauvais ».

1. c) Une simulation de $3\,000$ parties avec changement donne $1\,986$ victoires. Cette valeur est-elle cohérente avec le résultat de b) ?

On lance $n$ fois une pièce équilibrée. On admet que, pour $n$ grand, la fréquence $f$ de « pile » appartient à l'intervalle $\left[0,5-\dfrac{1}{\sqrt n};\,0,5+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$ avec une probabilité d'au moins $95\%$.

1. a) Calculer l'intervalle pour $n=100$ puis $n=10\,000$.

1. b) Une pièce lancée $400$ fois donne $232$ « pile ». Peut-on, au seuil de $95\%$, rejeter l'hypothèse d'une pièce équilibrée ?

1. c) Quel nombre minimal de lancers garantit une amplitude de l'intervalle inférieure à $0,02$ ?

Un joueur lance deux dés équilibrés et gagne si la somme est $7$. Il mise $1$ € et reçoit $5$ € (mise comprise) en cas de gain.

1. a) Calculer la probabilité de gagner.

1. b) Calculer le gain algébrique moyen par partie.

1. c) Après $10\,000$ parties, quel bilan global peut-on prévoir ? Expliquer en quoi la loi des grands nombres justifie cette prévision, et pourquoi elle ne permet pas de prédire une partie isolée.