Exercices: Événements simples

Écrire l'univers associé à l'expérience aléatoire consistant à tirer une boule dans une urne contenant $5$ boules numérotées de $1$ à $5$.

Dans une boîte à outils, il y a $12$ vis, $8$ écrous et $5$ clous. On tire une pièce au hasard. Calculer la probabilité que ce soit un écrou.

On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. Déterminer les éléments qui forment l'événement contraire de « obtenir un nombre inférieur à $3$ » et calculer sa probabilité.

On tire une carte au hasard dans un jeu de cartes espagnol de $40$ cartes (quatre couleurs de $10$ cartes chacune : as, $2$ à $7$, valet, cavalier et roi). Calculer la probabilité d'obtenir un cavalier.

Dans l'expérience consistant à lancer un dé à $6$ faces, classer les événements suivants en élémentaires, composés, certains ou impossibles :

• $A = $ « obtenir un $4$ »

• $B = $ « obtenir un nombre supérieur à $6$ »

• $C = $ « obtenir un nombre pair »

• $D = $ « obtenir un nombre inférieur à $10$ »

On considère l'expérience consistant à tirer une carte dans un jeu de cartes espagnol de $40$ cartes. Indiquer si les événements $A = $ « obtenir une figure » et $B = $ « obtenir un denier » (couleur oros du jeu espagnol) sont compatibles ou incompatibles. Justifier la réponse.

Étant donné l'univers $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ et les événements $A = \{2, 4, 6, 8\}$ et $B = \{1, 2, 3, 4\}$, déterminer les éléments qui forment les événements $A \cup B$ et $A \cap B$.

Une roue de fête foraine est divisée en $8$ secteurs circulaires égaux, numérotés de $1$ à $8$. Calculer la probabilité que, lorsqu'on la fait tourner, la flèche s'arrête sur un nombre multiple de $3$.

Mathis lance simultanément deux pièces équilibrées de $1$ euro et affirme : « L'univers de cette expérience est $E = \{ \text{deux faces}, \text{un pile et un face}, \text{deux piles} \}$. Comme il y a $3$ cas possibles et qu'un seul d'entre eux est "obtenir un pile et un face", la situation d'équiprobabilité indique que la probabilité d'obtenir un pile et un face est $\frac{1}{3}$ ». a) Expliquer en justifiant quelle est l'erreur conceptuelle de Mathis et pourquoi il n'est pas licite d'appliquer l'équiprobabilité sur l'univers qu'il a proposé. b) Écrire l'univers correct formé d'événements élémentaires équiprobables et calculer la probabilité réelle de l'événement étudié par Mathis.

Dans un jeu de $40$ cartes (divisé en $4$ couleurs de $10$ cartes chacune : deniers, coupes, épées et bâtons, numérotées de $1$ à $7$ plus valet, cavalier et roi), on tire une carte au hasard. On considère l'événement $A$ : « tirer une carte qui soit une figure (valet, cavalier ou roi) ou qui porte un nombre premier ($2$, $3$, $5$ ou $7$) ». a) Avant de calculer, estimer en justifiant si $P(A)$ sera supérieure, inférieure ou égale à $0,5$, en analysant combien de cartes d'une seule couleur vérifient au moins l'une des deux conditions. b) Vérifier votre estimation en calculant la valeur exacte de $P(A)$ dans une situation d'équiprobabilité (exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible et de nombre décimal) et déterminer si votre prévision initiale était correcte.

On lance simultanément deux dés cubiques équilibrés et on note la somme des points obtenus sur les faces supérieures. Calculer la probabilité que la somme soit exactement $8$.

Dans une usine de composants électroniques, un contrôle qualité inspecte un lot de $500$ pièces. Après vérification, on a trouvé $15$ pièces défectueuses. Si un client choisit une pièce au hasard dans ce lot, quelle est la probabilité qu'elle fonctionne correctement ?

Sachant que la probabilité qu'un événement $A$ se réalise est $P(A) = \frac{9}{20}$, que la probabilité qu'un événement $B$ se réalise est $P(B) = \frac{3}{10}$ et que la probabilité qu'ils se réalisent tous les deux est $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$, calculer la probabilité qu'au moins l'un des deux événements se réalise.

On met dans une urne des jetons portant chacune des lettres du mot $ESPECTACULO$. On tire un jeton au hasard. Calculer la probabilité que la lettre tirée soit une voyelle ou la lettre $C$.

Un joueur de basket a tenté $80$ lancers francs pendant la saison et en a réussi $64$. En utilisant la fréquence comme estimation de la probabilité, quelle est la probabilité qu'il rate son prochain lancer franc ?

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ pratiquent la natation, $15$ pratiquent le tennis et $5$ ne pratiquent aucun des deux sports. On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité qu'il pratique les deux sports à la fois.

Dans un refuge pour animaux, $40\%$ des chiens sont de grande taille, $35\%$ sont de taille moyenne et les autres sont de petite taille. On choisit un chien au hasard pour une promenade. Calculer la probabilité qu'il ne soit pas de taille moyenne.

On lance en l'air trois pièces équilibrées simultanément. Décrire l'univers et calculer la probabilité d'obtenir exactement deux faces.

Vous concevez une roue circulaire pour une kermesse scolaire, divisée en secteurs contigus de trois couleurs : rouge, bleu et vert. Pour ajuster les lots du jeu, la conception doit vérifier les conditions suivantes : 1) La probabilité que la roue ne s'arrête pas sur le vert est exactement $\frac{7}{10}$. 2) L'événement « obtenir rouge » a une probabilité qui dépasse de $0,1$ celle de l'événement « obtenir bleu ». Déterminer la probabilité de chacune des trois couleurs (événements élémentaires) et calculer l'angle en degrés que doit couvrir le secteur de chaque couleur dans le cercle complet de $360^\circ$. Justifier les étapes en utilisant la propriété de l'événement contraire et celle de la réunion d'événements incompatibles.

Dans un lycée, la direction analyse les inscriptions des $120$ élèves de première dans les enseignements de spécialité. Les données officielles indiquent que $72$ élèves suivent SVT, $48$ suivent physique-chimie, et $24$ suivent les deux enseignements simultanément. On choisit au hasard un élève de première de cet établissement : a) Modéliser la situation en définissant les événements élémentaires et calculer les probabilités $P(B)$, $P(F)$ et $P(B \cap F)$. b) Appliquer la formule de la probabilité de la réunion pour calculer la probabilité que l'élève suive au moins l'un des deux enseignements. c) À l'aide de l'événement contraire, calculer la probabilité qu'il ne suive aucun des deux enseignements.

Une urne contient $x$ boules rouges et $6$ boules blanches. Sachant que la probabilité de tirer au hasard une boule rouge est $\frac{2}{5}$, poser une équation et déterminer le nombre total de boules dans l'urne.

Une cible circulaire est formée de trois disques concentriques de rayons $10\text{ cm}$, $20\text{ cm}$ et $30\text{ cm}$. Une fléchette atteint au hasard un point quelconque de la cible (on suppose qu'elle atteint toujours le plus grand disque). Calculer la probabilité qu'elle tombe dans la couronne intermédiaire (la zone comprise entre le rayon $10\text{ cm}$ et le rayon $20\text{ cm}$).

Soit $A$ et $B$ deux événements d'une expérience aléatoire tels que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ et $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$. En utilisant les propriétés des probabilités, calculer la probabilité de l'événement contraire de l'intersection, c'est-à-dire $P(\overline{A \cap B})$.

Pour ouvrir un coffre-fort, il faut saisir un code numérique de $3$ chiffres (de $000$ à $999$). Un voleur, qui ne connaît pas le code, essaie un nombre au hasard. Calculer la probabilité que le code saisi ait ses trois chiffres identiques.

Lors d'un tirage, on extrait une boule d'un bombe contenant $100$ boules numérotées de $1$ à $100$. Calculer la probabilité que le numéro de la boule tirée contienne au moins un chiffre $7$.

Une enquête réalisée auprès de $200$ clients d'un café révèle que $120$ prennent du café, $90$ prennent des tartines et $40$ ne prennent ni l'un ni l'autre. On choisit un client au hasard. Calculer la probabilité que ce client prenne du café mais PAS de tartines.

Un dé à six faces est truqué de sorte que la probabilité d'obtenir une face paire est le double de celle d'obtenir une face impaire. Sachant que toutes les faces paires ont la même probabilité entre elles, et qu'il en est de même pour les faces impaires, calculer la probabilité exacte d'obtenir un $6$.

On considère deux événements $A$ et $B$ incompatibles d'une même expérience aléatoire. Sachant que la probabilité que $A$ ne se réalise pas est $P(\overline{A}) = 0,7$ et que la probabilité qu'au moins l'un des deux se réalise est $P(A \cup B) = 0,8$, calculer la probabilité de l'événement $B$.

On lance simultanément trois dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. On souhaite calculer la probabilité de l'événement $A$ : « obtenir au moins un $5$ lors du lancer ». Deux élèves débattent de la méthode à suivre : la stratégie 1 (méthode directe) consiste à décomposer $A$ en la réunion de trois événements incompatibles (« exactement un $5$ », « exactement deux $5$ » et « trois cinq ») et à additionner leurs probabilités ; la stratégie 2 (événement contraire) consiste à calculer la probabilité de $\bar{A}$ (« n'obtenir aucun $5$ sur aucun des trois dés ») et à appliquer $P(A) = 1 - P(\bar{A})$. a) Développer entièrement les deux méthodes jusqu'à obtenir le résultat sous forme de fraction irréductible, en vérifiant qu'elles coïncident. b) Justifier laquelle des deux stratégies est la plus efficace et expliquer comment le choix de la méthode serait affecté si l'expérience consistait à lancer $8$ dés équilibrés au lieu de $3$.

Dans une classe de mathématiques, on étudie une expérience aléatoire avec deux événements, $A$ et $B$, d'un même univers, dont les probabilités sont $P(A) = 0,65$ et $P(B) = 0,55$. Lucie affirme : 1) « Les événements $A$ et $B$ peuvent être incompatibles si l'on conçoit bien l'expérience. » 2) « La valeur minimale possible pour la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$ est $0$. » 3) « La probabilité de la réunion $P(A \cup B)$ pourrait être $1,2$ si l'on additionne leurs probabilités. » a) Réfuter de façon argumentée les trois affirmations de Lucie en appliquant les axiomes et propriétés des probabilités ($P(A \cup B) \le 1$ et la formule de la réunion). b) Déduire l'intervalle exact $[p_{\min}, p_{\max}]$ dans lequel doit nécessairement se trouver $P(A \cap B)$. c) Concevoir un exemple concret à l'aide d'une urne contenant $20$ boules numérotées de $1$ à $20$ où l'on a exactement $P(A) = 0,65$ et $P(B) = 0,55$ et où la valeur minimale $p_{\min}$ de l'intersection est atteinte.