Exercices: Nombres figurés et dénombrement

On construit des carrés de points : le motif $n$ est un carré de $n$ points de côté. On note $c_n$ le nombre de points du motif $n$.

1. a) Calculer $c_1$, $c_2$, $c_3$, $c_4$.

1. b) Donner l'expression de $c_n$ en fonction de $n$.

1. c) Exprimer $c_{n+1}$ en fonction de $c_n$ et de $n$.

Les nombres triangulaires sont $T_1 = 1$, $T_2 = 3$, $T_3 = 6$, $T_4 = 10$, où le motif $n$ est un triangle de $n$ rangées contenant $1, 2, \dots, n$ points.

1. a) Donner une relation de récurrence entre $T_{n+1}$ et $T_n$.

1. b) Calculer $T_5$ et $T_6$.

Un motif $n$ est formé de $n$ cases carrées alignées : il comporte $2n$ allumettes horizontales ($n$ en haut et $n$ en bas) et $n+1$ allumettes verticales, comme une échelle posée à plat avec $n+1$ barreaux. On note $u_n$ le nombre total d'allumettes utilisées pour une échelle de $n$ cases, chaque case étant un carré fait de 4 allumettes, les cases voisines partageant une allumette verticale, soit $3n+1$ allumettes.

1. a) Vérifier $u_1 = 4$ et $u_2 = 7$.

1. b) Calculer $u_{10}$.

1. c) Donner une relation de récurrence pour $u_n$.

Pour tout entier $n \geq 1$, on note $T_n = 1 + 2 + \dots + n$ le $n$-ième nombre triangulaire.

1. a) En assemblant deux motifs triangulaires identiques pour former un rectangle de $n$ lignes et $n+1$ colonnes de points, montrer que $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

1. b) Calculer $T_{100}$.

1. c) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $T_n > 1\,000$.

Un artisan de Strasbourg décore une vitrine avec des pyramides de boules : l'étage du haut contient 1 boule, le suivant 4 boules (carré $2 \times 2$), puis 9, etc. Une pyramide de $n$ étages contient $P_n = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2$ boules.

1. a) Calculer $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$.

1. b) Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ et de $n$.

1. c) Vérifier que $P_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour $n = 1, 2, 3, 4$.

On trace $n$ droites dans le plan, deux à deux non parallèles et trois à trois non concourantes. On note $r_n$ le nombre de régions du plan ainsi délimitées.

1. a) Déterminer $r_0$, $r_1$, $r_2$, $r_3$.

1. b) Justifier que la $(n+1)$-ième droite coupe les $n$ précédentes en $n$ points distincts et en déduire que $r_{n+1} = r_n + n + 1$.

1. c) Conjecturer puis calculer $r_n$ en fonction de $n$ et donner $r_{10}$.

On considère la suite $(h_n)$ des nombres hexagonaux centrés : $h_1 = 1$, $h_2 = 7$, $h_3 = 19$, où le motif $n$ est obtenu en entourant le motif $n-1$ d'une couronne hexagonale de points ; la couronne $k$ contient $6(k-1)$ points pour $k \geq 2$.

1. a) Exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$ et de $n$.

1. b) Montrer que, pour tout $n \geq 1$, $h_n = 1 + 3n(n-1)$.

1. c) Montrer que la suite $(h_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

1. d) Déterminer si $1\,801$ est un nombre hexagonal centré.

On considère un tournoi de pétanque où chacune des $n$ équipes ($n \geq 2$) rencontre chacune des autres exactement une fois. On note $m_n$ le nombre de matchs.

1. a) Calculer $m_2$, $m_3$, $m_4$.

1. b) Montrer que $m_{n+1} = m_n + n$.

1. c) En déduire une expression explicite de $m_n$.

1. d) Un club organise un tournoi de 190 matchs. Déterminer le nombre d'équipes.

Un carré de côté $n$ unités est découpé en $n^2$ petits carrés unité. On note $s_n$ le nombre total de carrés (de toutes tailles, à côtés parallèles aux bords) que l'on peut y repérer.

1. a) Calculer $s_1$, $s_2$, $s_3$.

1. b) Justifier que le nombre de carrés de côté $k$ est $(n-k+1)^2$.

1. c) En déduire que $s_n = 1^2 + 2^2 + \dots + n^2$.

1. d) Calculer $s_8$, nombre de carrés d'un échiquier.