Exercices: Fractions. Fractions équivalentes

Observer la figure suivante et déterminer quelle fraction représente la partie grisée. Écrire ensuite une fraction équivalente ayant pour dénominateur le nombre $16$.

Calculer la valeur du nombre manquant pour que le couple de fractions suivant soit équivalent :

Vérifier si les fractions suivantes sont équivalentes en utilisant la méthode des produits en croix :

Montrer les calculs effectués.

Lucas a partagé une tablette de chocolat en $12$ carrés égaux et en a mangé $4$. Son amie Sophie a une tablette identique, mais partagée en seulement $3$ gros morceaux. Combien de morceaux Sophie devrait-elle manger pour avoir mangé la même quantité de chocolat que Lucas ? L'exprimer à l'aide de fractions équivalentes.

Sur la figure, les carrés coloriés sont ceux que Lucas a mangés. La tablette de Sophie n'est pas coloriée.

Obtenir trois fractions équivalentes à $\frac{2}{7}$ par agrandissement. Pour cela, multiplier le numérateur et le dénominateur par $2$, par $3$ et par $10$.

Simplifier la fraction suivante jusqu'à obtenir sa fraction irréductible :

Indiquer par quel nombre on a divisé le numérateur et le dénominateur à chaque étape.

Observer la position du point $P$ sur la droite graduée. Quelle fraction représente-t-il ? Écrire une fraction équivalente à celle-ci dont le dénominateur est $10$.

Dans une équipe de basket, $6$ des $15$ joueurs sont gauchers.

1. a) Écrire la fraction de joueurs gauchers.
2. b) Laquelle des fractions suivantes est équivalente à la précédente ?

• $\frac{1}{3}$

• $\frac{2}{5}$

• $\frac{3}{10}$

Mathis cherche une fraction équivalente à $\frac{2}{5}$ dont le dénominateur soit $15$. Dans son cahier, il a écrit : « Pour passer du dénominateur $5$ au $15$, je dois ajouter $10$. Donc j'ajoute aussi $10$ au numérateur, si bien que la fraction équivalente est $\frac{12}{15}$ ». Expliquer en justifiant pourquoi la démarche de Mathis est erronée en s'appuyant sur la notion d'agrandissement. Corriger ensuite son erreur, calculer la fraction équivalente correcte et démontrer formellement qu'elle est égale à $\frac{2}{5}$ à l'aide de la règle des produits en croix.

Lors d'une enquête sur la mobilité durable réalisée dans un collège, $18$ des $40$ élèves d'une classe de 6e disent venir au collège à pied ou à vélo.

1. a) Avant tout calcul exact, estimer en justifiant si cette proportion représente plus de la moitié, moins de la moitié ou exactement la moitié de la classe, en prenant pour référence la fraction $\frac{1}{2}$.
2. b) Simplifier la fraction $\frac{18}{40}$ jusqu'à sa fraction irréductible et vérifier si votre estimation initiale était correcte.
3. c) Si, dans tout le niveau de 6e, il y a $200$ élèves et que la même proportion exactement se maintenait, combien d'élèves viendraient à pied ou à vélo ? Vérifier que la nouvelle fraction obtenue est équivalente à la fraction irréductible en appliquant les produits en croix.

Deux amis, Marc et Lucie, comparent leur avancement dans la lecture d'un même livre. Marc dit avoir lu $\frac{3}{4}$ du total, tandis que Lucie affirme avoir terminé $\frac{9}{12}$ des pages. Utiliser la représentation graphique pour vérifier si tous deux ont lu la même proportion du livre et justifier la réponse à l'aide du produit en croix.

Calculer la valeur de l'inconnue $x$ pour que les couples de fractions suivants soient équivalents :

1. a) $\dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{5}$

1. b) $\dfrac{3}{7} = \dfrac{21}{x}$

1. c) $\dfrac{18}{x} = \dfrac{6}{11}$

Dans un jeu vidéo, la barre d'énergie d'un personnage est divisée à l'origine en $8$ segments égaux. Si le personnage a actuellement $\frac{6}{8}$ de son énergie, combien de segments seraient remplis si l'on décidait de diviser la même barre en $24$ parties plus petites ? Écrire la fraction équivalente correspondante.

Sur la figure, la barre du haut est la barre d'origine (avec $6$ segments remplis sur $8$) et celle du bas est la même barre divisée en $24$ parties égales, pas encore coloriées.

Obtenir la fraction irréductible des expressions suivantes en utilisant la méthode des divisions successives ou en calculant le plus grand commun diviseur ($\text{PGCD}$) :

1. a) $\dfrac{120}{180}$

1. b) $\dfrac{45}{105}$

1. c) $\dfrac{256}{512}$

Dans la liste de fractions suivante, regrouper celles qui sont équivalentes entre elles :

$\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{10}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{12}, \dfrac{3}{6}, \dfrac{10}{30}, \dfrac{7}{14}$

Pour préparer un milk-shake aux fruits, une recette indique qu'il faut $\frac{2}{5}$ de litre de lait. Si vous ne disposez que d'un verre doseur gradué en millilitres ($1$ litre = $1000$ mL), quelle fraction de dénominateur $1000$ serait équivalente à $\frac{2}{5}$ ? Combien de millilitres de lait faut-il verser exactement ?

Compléter les chaînes de fractions équivalentes suivantes :

1. a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{\square} = \dfrac{\square}{15} = \dfrac{20}{\square}$

1. b) $\dfrac{60}{48} = \dfrac{30}{\square} = \dfrac{\square}{12} = \dfrac{5}{\square}$

Indiquer lesquelles des affirmations suivantes sont vraies et lesquelles sont fausses, en justifiant la réponse dans le cahier :

1. a) Si l'on multiplie le numérateur d'une fraction par $2$ et le dénominateur par $2$, on obtient une fraction équivalente.

1. b) En ajoutant $3$ au numérateur et $3$ au dénominateur de la fraction $\frac{1}{2}$, on obtient une autre fraction équivalente.

1. c) La fraction $\frac{17}{13}$ est irréductible parce que le numérateur et le dénominateur sont tous deux des nombres premiers.

D'après les données publiées par Météo-France sur le printemps dans deux régions agricoles françaises, on sait que dans la région A il a plu $36$ jours sur un total de $90$ jours observés, tandis que dans la région B il a plu $24$ jours sur une période de $60$ jours relevés.

1. a) Écrire la fraction de jours de pluie par rapport au nombre total de jours dans chacune des deux régions.
2. b) Sans calculer les nombres décimaux associés, démontrer à l'aide de la règle des produits en croix si la fréquence de jours de pluie a été exactement équivalente dans les deux zones.
3. c) Calculer la fraction irréductible commune aux deux régions en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD et expliquer quelle est la signification concrète du numérateur et du dénominateur de cette fraction irréductible pour un agriculteur de la zone.

Deux élèves doivent déterminer si les fractions $\frac{72}{108}$ et $\frac{60}{90}$ représentent exactement la même quantité, mais ils ne sont pas d'accord sur la façon de le vérifier :

• Sophie propose de le vérifier directement à l'aide des produits en croix ($72 \cdot 90$ et $108 \cdot 60$).

• Alexandre préfère simplifier chaque fraction en divisant ses termes par le plus grand commun diviseur (PGCD) pour les comparer sous leur forme irréductible.

1. a) Appliquer la méthode de Sophie et déterminer si les fractions sont équivalentes.
2. b) Appliquer la méthode d'Alexandre en calculant le PGCD de chaque fraction et en trouvant leurs fractions irréductibles.
3. c) Comparer les deux démarches : laquelle des deux méthodes vous semble la plus sûre et la plus avantageuse si vous devez effectuer les calculs à la main, sans calculatrice ? Justifier la réponse en analysant ce qui se passe avec la taille des opérations dans chaque cas.

Dans un atelier de graphisme, on compare deux formats d'image. Le premier format occupe les $\frac{5}{8}$ de la mémoire d'une carte et le second occupe les $\frac{7}{12}$. Pour un nouveau projet, il faut trouver une fraction équivalente à chacune d'elles ayant pour dénominateur le plus petit commun multiple des deux dénominateurs. Une fois ces fractions trouvées, chercher un nombre entier naturel $x$ tel que la fraction $\frac{x}{48}$ soit située exactement entre les deux fractions de départ.

Trois amis, Lucie, Marc et Sophie, ont acheté une parcelle rectangulaire pour cultiver un potager urbain. Lucie garde $\frac{2}{5}$ du terrain, Marc $\frac{4}{15}$ et Sophie le reste.

1. a) Calculer la fraction simplifiée qui revient à Sophie.
2. b) Trouver une fraction équivalente à la part de Sophie dont le numérateur soit le double du numérateur de la part de Marc.
3. c) Si le terrain total mesure $300$ mètres carrés, est-il vrai que la part de Marc équivaut à $20$ morceaux de $\frac{4}{1}$ mètres carrés chacun ? Justifier la réponse.

Déterminer la valeur de l'inconnue $n$ dans chacune des égalités suivantes pour que les fractions soient équivalentes, sachant que $n$ doit être un nombre entier positif :

1. a) $\frac{n+2}{12} = \frac{15}{18}$

1. b) $\frac{8}{n-3} = \frac{32}{40}$

1. c) $\frac{3}{7} = \frac{n^2}{21}$

Un architecte divise une grande baie vitrée rectangulaire en $8$ sections égales (réparties en deux rangées de quatre). Trois de ces sections sont grisées et représentent la partie qui sera en verre teinté. Déterminer :

1. a) Quelle fraction irréductible du total la zone grisée représente-t-elle ?
2. b) Trouver une fraction équivalente à la précédente dont le dénominateur est égal au dénominateur de la fraction irréductible obtenue à la question précédente multiplié par $3$.

On dispose d'une fraction mystérieuse. On sait qu'elle est équivalente à $\frac{45}{105}$. De plus, les indices suivants sont vérifiés :

1. Son numérateur est un nombre à deux chiffres multiple de $6$.

2. Si on additionne son numérateur et son dénominateur, le résultat est un nombre inférieur à $100$.

Quelles fractions vérifient tous les indices ? Les trouver toutes et indiquer les étapes suivies.

Lors d'une compétition de robotique, le robot d'Irène a parcouru $\frac{18}{24}$ du circuit, tandis que celui d'Alexandre en a parcouru $\frac{25}{30}$.

1. a) Simplifier les deux fractions jusqu'à leur forme irréductible pour savoir quel robot est en tête.
2. b) Irène affirme que si son robot parcourt un tronçon supplémentaire équivalant à $\frac{1}{12}$ du total, les fractions des deux robots deviendront équivalentes. Son affirmation est-elle vraie ? Le démontrer mathématiquement.

On veut construire une chaîne de fractions équivalentes en commençant par $\frac{12}{16}$.

1. a) Écrire la fraction irréductible de la chaîne.
2. b) Trouver le terme manquant dans l'égalité suivante : $\frac{12}{16} = \frac{x}{x+5}$. (Indice : utiliser la propriété selon laquelle, pour des fractions équivalentes, les produits en croix sont égaux.)
3. c) Si l'on multiplie le numérateur de la fraction irréductible par un nombre premier $p$ et le dénominateur par le nombre premier suivant, la nouvelle fraction obtenue pourrait-elle être équivalente à la fraction de départ ? Justifier la réponse avec un exemple.

Une entreprise de jus de fruits utilise deux bouteilles différentes. La bouteille A est remplie aux $\frac{3}{4}$ de sa contenance et la bouteille B aux $\frac{12}{16}$ de la sienne.

1. a) Démontrer graphiquement et à l'aide des produits en croix si les fractions de remplissage sont équivalentes.

1. b) Si la bouteille A a une contenance de $2$ litres et la bouteille B une contenance de $1,5$ litres, contiennent-elles la même quantité de jus en litres ? Représentent-elles toujours la même proportion par rapport à leur propre bouteille ? Expliquer la différence entre « fraction équivalente » et « quantité absolue ».

Trouver une fraction inconnue à partir des indices suivants sur ses termes (ce sont deux nombres entiers naturels) :

1. La fraction n'est pas simplifiée ; son dénominateur dépasse son numérateur de $24$ unités.

2. La somme de son numérateur et de son dénominateur est égale à $96$.

3. Lorsqu'on la simplifie jusqu'à sa forme irréductible, la somme des nouveaux termes est égale à $8$.

1. a) Poser les relations précédentes pour en déduire la valeur du numérateur et du dénominateur de la fraction de départ non simplifiée.
2. b) Obtenir sa fraction irréductible en divisant ses termes par le PGCD et vérifier qu'elle satisfait la troisième condition.
3. c) Déterminer par quel facteur exact on a agrandi la fraction irréductible pour obtenir la fraction initiale et justifier, à l'aide de la réduction au même dénominateur, pourquoi les deux fractions représentent rigoureusement la même part de l'unité.

Lors d'un audit de qualité du service des RER de la SNCF, on analyse les retards sur deux lignes pendant un trimestre :

• Sur la ligne C-1, on a contrôlé $140$ trains, dont $119$ sont arrivés à l'heure à destination.

• Sur la ligne C-2, on a contrôlé $260$ trains, dont $221$ sont arrivés à l'heure.

1. a) Démontrer à l'aide de l'égalité des produits en croix si les deux lignes ont eu le même niveau de ponctualité.
2. b) Réduire la proportion de ponctualité à sa fraction irréductible à l'aide du PGCD et interpréter ce que représentent les deux nombres pour une personne qui prend habituellement ces trains.
3. c) Pour le trimestre suivant, on prévoit de mettre en circulation un total de $450$ trains sur une troisième ligne (C-3).

1. Justifier mathématiquement pourquoi il est impossible que la ligne C-3 enregistre exactement la même proportion irréductible de ponctualité que les lignes C-1 et C-2 si tous les trains doivent être considérés comme des unités entières.

2. Si l'on contrôlait $500$ trains au lieu de $450$, combien de trains en retard pourrait-on tolérer au maximum pour égaler la proportion de ponctualité des lignes précédentes ? Justifier le raisonnement à l'aide de l'agrandissement de fractions.