Exercices: Notion

Observer la figure suivante, qui représente une tablette de chocolat. Quelle fraction de la tablette reste-t-il si on a mangé les carrés coloriés en orange ? Indiquer le numérateur et le dénominateur.

Écrire en chiffres les fractions suivantes et les classer en fractions inférieures à 1 ou supérieures ou égales à 1 :

1. a) Trois huitièmes.
2. b) Sept demis.
3. c) Onze onzièmes.
4. d) Quatre neuvièmes.

Dans une équipe de basket, il y a $12$ joueurs. Si $5$ d'entre eux mesurent plus de $1,80$ mètres, écrire la fraction que représentent les joueurs qui mesurent moins que cette taille ou exactement cette taille.

Représenter dans ton cahier les fractions suivantes à l'aide de rectangles ou de disques :

1. a) $\dfrac{2}{5}$

1. b) $\dfrac{5}{4}$

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Calculer la valeur numérique de ces fractions (sous forme d'entier ou de nombre décimal) :

1. a) $\dfrac{15}{3}$

1. b) $\dfrac{1}{4}$

1. c) $\dfrac{18}{2}$

1. d) $\dfrac{3}{10}$

Associer chaque fraction supérieure à 1 à son nombre mixte correspondant :

Quelle fraction d'une heure représentent les durées suivantes ? (Exprimer la fraction sous la forme la plus simple possible.)

1. a) $30$ minutes.
2. b) $15$ minutes.
3. c) $20$ minutes.
4. d) $10$ minutes.

À la cantine, on va partager en parts égales $3$ tourtes identiques entre $4$ convives. Pendant le partage, Lucas affirme : « Chacun de nous a droit à $\frac{4}{3}$ de tourte, parce que nous sommes $4$ personnes et que nous avons $3$ tourtes ».\na) Identifier l'erreur de Lucas dans l'attribution des nombres au numérateur et au dénominateur, et expliquer ce que représente chacun de ces termes dans la fraction.\nb) Classer la fraction proposée par Lucas ($\frac{4}{3}$) comme inférieure ou supérieure à 1. À partir de ce classement, justifier pourquoi son affirmation est impossible en pratique s'ils ne disposent que de $3$ tourtes.\nc) Écrire la fraction correcte qui revient à chaque convive et calculer sa valeur décimale exacte pour vérifier la quantité de tourte que mange chacun.

Dans un club municipal d'athlétisme, on sait que $\frac{3}{5}$ des inscrits sont des filles. Le registre du secrétariat confirme qu'il y a exactement $27$ filles inscrites.\na) À partir de ces données, déterminer combien de personnes sont inscrites au total dans le club. Expliquer en détail le raisonnement suivi : quelle quantité représente $\frac{1}{5}$ du total et comment on obtient le total complet ($\frac{5}{5}$).\nb) Quelle fraction du total représentent les garçons inscrits et combien de garçons y a-t-il ?\nc) Si quelqu'un affirmait que dans ce même club il y a $20$ filles inscrites en conservant exactement la fraction $\frac{3}{5}$, expliquer pourquoi cette situation serait numériquement impossible dans la réalité.

Sur une plateforme de jeux numériques, Lucie a économisé $180$ jetons. Elle décide de dépenser $\frac{4}{9}$ de ses jetons pour un nouveau skin pour son personnage et $\frac{2}{5}$ de ce qui lui reste pour améliorer son équipement de protection. Combien de jetons a-t-elle dépensés au total et combien lui en reste-t-il à la fin ?

Observer la figure suivante et déterminer quelle fraction de l'aire totale du rectangle représente la zone colorée en orange. Pour la résoudre, il faudra imaginer un découpage de la figure en parties égales.

Un groupe d'amis a acheté plusieurs bouteilles de soda pour une fête. Chaque bouteille a une contenance de $\frac{1}{4}$ de litre. S'ils ont bu au total $19$ bouteilles, exprimer cette quantité par une fraction supérieure à 1 et par un nombre mixte. Combien de litres entiers ont-ils bus ?

Représenter sur une même droite graduée les nombres rationnels suivants. Pour cela, tracer la droite sur ton cahier et utiliser une échelle adaptée (par exemple, que chaque unité mesure $4$ cm, de sorte que chaque quart d'unité mesure $1$ cm) :

1. a) $A = \frac{3}{4}$

1. b) $B = -\frac{1}{2}$

1. c) $C = \frac{9}{4}$

1. d) $D = -1,25$

Trois élèves téléchargent le même jeu vidéo en même temps sur leurs ordinateurs. Au bout d'une heure, leurs barres de progression indiquent ce qui suit :

• Ordinateur A : A téléchargé $\frac{5}{8}$ du total.

• Ordinateur B : A téléchargé $\frac{11}{16}$ du total.

• Ordinateur C : A téléchargé $\frac{3}{4}$ du total.

Ranger les trois ordinateurs du plus petit au plus grand téléchargement en utilisant le symbole $<$ et en réduisant au préalable les fractions au même dénominateur.

Pour préparer une recette de biscuits pour $6$ personnes, il faut $\frac{3}{4}$ de kg de farine. Si l'on veut adapter la recette pour inviter $15$ personnes :

1. a) Quelle fraction de kilo de farine faudra-t-il ?
2. b) Cette fraction est-elle plus grande ou plus petite que 1 ? Justifier s'il s'agit d'une fraction inférieure ou supérieure à 1.

Déterminer si les couples de fractions suivants sont égaux en utilisant la méthode des produits en croix :

1. a) $\frac{12}{15}$ et $\frac{4}{5}$

1. b) $\frac{7}{3}$ et $\frac{21}{6}$

1. c) $\frac{10}{25}$ et $\frac{6}{15}$

Pour le cas où les fractions ne sont pas égales, indiquer laquelle des deux est la plus grande.

Écrire une fraction qui vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

1. Son dénominateur est le nombre premier le plus proche de $10$.

2. Elle est supérieure à 1.

3. Le numérateur est un multiple de $4$ compris entre $13$ et $22$.

Existe-t-il plus d'une solution ? Les trouver toutes et les exprimer sous forme de nombre mixte.

Une étape de montagne du Tour de France a un parcours total de $176\text{ km}$. La retransmission télévisée indique que les coureurs de tête ont déjà effectué $\frac{5}{8}$ de l'itinéraire prévu.\na) Sans effectuer encore la division exacte, estimer s'ils ont dépassé ou non la moitié de l'étape ($88\text{ km}$) en comparant la fraction $\frac{5}{8}$ avec $\frac{1}{2}$. Justifier ta conclusion.\nb) Estimer en justifiant entre quelles deux dizaines de kilomètres consécutives ($100$ et $110\text{ km}$, $110$ et $120\text{ km}$, etc.) doit se situer la distance parcourue.\nc) Calculer la valeur exacte des kilomètres parcourus en appliquant la fraction à la distance totale.\nd) Vérifier si ton estimation préalable était juste et calculer combien de kilomètres il leur reste avant de franchir la ligne d'arrivée, en exprimant la distance restante sous forme de fraction irréductible du total.

Pour organiser une sortie scolaire, l'équipe pédagogique doit calculer les $\frac{2}{5}$ des $135$ élèves de 6e inscrits au collège, qui voyageront dans le premier groupe d'autocars.\nDeux élèves de la classe proposent des stratégies différentes pour calculer ce nombre :\n- Lucie dit : « Je divise d'abord $135$ par $5$ pour calculer combien vaut un cinquième du total, puis je multiplie ce résultat par $2$ ».\n- Marc dit : « Je multiplie d'abord $135$ par $2$ puis je divise le nombre obtenu par $5$ ».\na) Développer les deux méthodes étape par étape et vérifier si elles conduisent au même résultat.\nb) Dans la méthode de Lucie, quelle est la signification concrète du résultat intermédiaire obtenu après la première opération ($135 : 5$) ?\nc) On suppose maintenant qu'il faut calculer les $\frac{2}{5}$ d'un budget restant de $19\text{ \euro}$. Avec la méthode de Lucie, on obtient un nombre décimal à la première étape ($19 : 5 = 3,8$), alors qu'avec celle de Marc, la première étape donne un entier ($19 \cdot 2 = 38$). Quelle méthode choisiriez-vous dans ce second cas pour effectuer le calcul mentalement plus facilement, et pourquoi ?

Marina a décidé d'organiser son temps de travail hebdomadaire de la façon suivante : elle consacre $\frac{2}{5}$ du temps total aux mathématiques. Sur le temps restant, elle en utilise $\frac{1}{3}$ pour le français. S'il lui reste encore $8$ heures par semaine pour les autres matières, quel est le temps total, en heures, qu'elle consacre au travail scolaire chaque semaine ? Représenter à l'aide d'un schéma en barres quelle fraction du total représentent les $8$ dernières heures.

Trouver une fraction égale à $\frac{4}{9}$ telle que la somme de son numérateur et de son dénominateur soit exactement $104$. Une fois cette fraction trouvée, déterminer si elle est inférieure ou supérieure à 1 et justifier si sa valeur décimale est plus grande ou plus petite que $0,5$.

Observer la droite graduée suivante sur laquelle plusieurs points ont été représentés. Le point $A$ correspond au nombre $-1$ et le point $B$ correspond au nombre $0$. Si le segment entre $A$ et $B$ est partagé en $12$ parties égales, indiquer quelle fraction irréductible représentent les points marqués d'un cercle orange. Quel nombre en écriture mixte représenterait un point situé à $5$ graduations à gauche du point $A$ ?

Une association humanitaire répartit les $48\,000$ € récoltés lors d'une course solidaire entre trois projets. Le premier reçoit $\frac{3}{8}$ du total. Le deuxième, $\frac{5}{12}$ du total. Quelle fraction du total revient au troisième projet ? Combien d'argent chacun reçoit-il ? Exprimer les trois quantités sous forme de fractions de dénominateur commun $24$ afin de comparer visuellement quel projet a reçu le plus.

Lors d'une compétition de robotique, les prototypes doivent parcourir un circuit de $60$ mètres. Le robot A a parcouru $\frac{7}{10}$ du circuit, le robot B a parcouru $45$ mètres et le robot C a parcouru $\frac{3}{4}$ de la distance qui manquait au robot A pour terminer. Ranger les robots du plus grand au plus petit en distance parcourue et exprimer la position du robot C sous la forme d'une fraction de la longueur totale du circuit.

Un agriculteur possède une parcelle carrée de $10\,000$ $m^2$. Il décide de consacrer $\frac{1}{4}$ de l'aire à la culture de légumes. Il partage le reste de la parcelle en $5$ parties égales pour planter différents arbres fruitiers. Quelle fraction du terrain total représente chacune des parties consacrées aux arbres fruitiers ? Si chaque arbre fruitier a besoin de $20$ $m^2$ d'espace, combien d'arbres pourra-t-il planter dans l'une de ces cinq parties ?

Considérer les fractions $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$.

1. a) Calculer leurs valeurs décimales.
2. b) Trouver une fraction de dénominateur $24$ située exactement au milieu des deux.
3. c) Cette fraction est-elle plus grande ou plus petite que $\frac{5}{7}$ ? Justifier la réponse en comparant les produits en croix.

Imaginer une horloge murale.

1. a) Quelle fraction de tour complet représentent les minutes écoulées entre 12 h 15 et 12 h 50 ? Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.
2. b) Si la grande aiguille a parcouru $\frac{5}{6}$ d'heure, de combien de degrés a-t-elle tourné ? (Rappel : un tour complet fait $360^\circ$.)
3. c) Si un devoir te prend $\frac{3}{10}$ d'heure et un autre $\frac{1}{4}$ d'heure, quelle fraction d'heure te reste-t-il si tu disposes d'une heure complète pour travailler ?

D'après des données hydrologiques officielles, un barrage-réservoir a une capacité maximale de stockage de $240\text{ hm}^3$. Après une période de sécheresse, le réservoir ne stocke que $\frac{3}{10}$ de sa capacité totale. Au cours d'une semaine de fortes dépressions, les rivières apportent au réservoir un volume d'eau équivalent à $\frac{1}{4}$ de sa capacité maximale. Pendant cette même semaine, pour répondre aux besoins de consommation urbaine et d'irrigation, on en prélève $18\text{ hm}^3$.\na) Modéliser la situation en écrivant une seule expression numérique qui combine les fractions et les données fournies pour déterminer le volume final d'eau stockée.\nb) Calculer combien de $\text{hm}^3$ d'eau contient le réservoir à la fin de cette semaine.\nc) Exprimer le volume d'eau final sous la forme d'une fraction irréductible de la capacité totale du réservoir, inférieure à 1.\nd) Le protocole de sécheresse du bassin prévoit qu'un territoire passe en « situation de normalité » uniquement si le réservoir dépasse la moitié de sa capacité totale. Justifier mathématiquement si le réservoir a déjà atteint la situation de normalité ou s'il reste en dessous.

Dans une conserverie, des bocaux de légumineuses cuites vont être commercialisés à partir d'un grand réservoir. Deux formats de conditionnement sont envisagés :\n- Le format standard a une contenance de $\frac{3}{4}\text{ kg}$.\n- Le format familial a une contenance de $1 + \frac{1}{8}\text{ kg}$.\nLe responsable de production observe qu'avec le format familial, il faut exactement $6$ bocaux de moins qu'avec le format standard pour conditionner tout le contenu du réservoir.\na) Exprimer la contenance du format familial sous forme de fraction supérieure à 1 et transformer la contenance du format standard en une fraction égale de dénominateur $8$. Combien de huitièmes de kilogramme contient chaque format ?\nb) À partir des fractions obtenues en huitièmes, expliquer combien de bocaux standard sont nécessaires pour conditionner exactement la même quantité de légumineuses que contiennent $2$ bocaux familiaux.\nc) Déduire combien de bocaux de chaque type seraient nécessaires pour que la différence entre les deux formats soit de $6$ bocaux au total. Expliquer clairement ta déduction.\nd) Combien de kilogrammes de légumineuses y avait-il dans le réservoir ? Exprimer la quantité sous forme de nombre mixte et sous forme de nombre décimal exact.