Exercices: Expériences aléatoires et univers

En lançant un dé à $6$ faces, classer ces événements en certain, possible ou impossible :

1. a) Obtenir un $5$.
2. b) Obtenir un $7$.
3. c) Obtenir un nombre inférieur à $7$.
4. d) Obtenir un nombre supérieur à $2$.

Parmi ces expériences, lesquelles sont aléatoires ? Pourquoi ?

1. a) Tirer une carte d'un jeu bien mélangé et noter sa couleur.
2. b) Mesurer la longueur de ton cahier avec une règle.
3. c) Noter le nombre de buts du prochain match de ton équipe.
4. d) Calculer le périmètre d'une table dont on connaît les dimensions.

Écrire l'univers (toutes les issues possibles) de ces expériences :

1. a) Lancer un dé et noter les points.
2. b) Lancer une pièce et noter le résultat.
3. c) Tirer au hasard une boule dans un bol contenant les numéros de $1$ à $5$.

Dans une boîte, il y a $6$ vignettes : $4$ de joueurs et $2$ d'écussons. Si on tire une vignette au hasard, classer ces événements en certain, possible ou impossible :

1. a) Tirer une vignette de joueur.
2. b) Tirer une vignette d'entraîneur.
3. c) Tirer une vignette de joueur ou d'écusson.
4. d) Tirer une vignette d'écusson.

Mathis affirme en classe ce qui suit à propos de trois situations différentes :

1. « Lancer un œuf frais du troisième étage contre le sol est une expérience aléatoire, parce qu'on ne peut pas prédire exactement en combien de morceaux la coquille va se briser ».

2. « Dans un sac contenant $5$ billes vertes numérotées de $1$ à $5$ et $1$ bille rouge portant le numéro $6$, l'univers est $E = \{\text{vert}, \text{rouge}\}$, donc tirer la rouge est aussi probable que tirer une verte ».

3. « Dans ce même sac, l'événement “tirer un nombre inférieur à $10$” est un événement possible mais pas certain, parce que cela dépend de la chance ».

1. a) Expliquer pourquoi l'affirmation 1 contient une erreur conceptuelle : distinguer le résultat essentiel du phénomène (l'œuf se brisera selon les lois physiques, ce qui est déterministe) et les détails secondaires.
2. b) Corriger l'affirmation 2 : écrire l'univers complet si l'expérience consiste à noter la couleur et le numéro de la bille tirée, et expliquer pourquoi le raisonnement de Mathis sur la probabilité est erroné.
3. c) Corriger l'affirmation 3 : définir ce qu'est un événement certain et justifier de quel type d'événement il s'agit réellement pour « tirer un nombre inférieur à $10$ » dans ce sac.

Pour la fête de fin d'année de ton collège, tu conçois une roue de la fortune circulaire divisée en secteurs numérotés. Tu dois choisir les nombres à placer dans les secteurs en respectant simultanément ces quatre conditions :

1. L'univers $E$ des nombres qui peuvent sortir doit avoir exactement $4$ issues possibles distinctes.

2. L'événement « obtenir un nombre impair » doit être un événement certain.

3. L'événement « obtenir un nombre supérieur à $30$ » doit être un événement impossible.

4. L'événement « obtenir un multiple de $5$ » doit être un événement possible, mais pas certain.

1. a) Proposer un univers $E$ qui respecte simultanément les quatre conditions.
2. b) Justifier pas à pas pourquoi la proposition respecte chacune des conditions énoncées.
3. c) Si on ajoutait à la roue le nombre $18$, laquelle des conditions précédentes cesserait d'être respectée ? Justifier la réponse.

Indiquer si chacune des expériences suivantes est aléatoire ou déterministe, en justifiant la réponse :

1. a) Calculer le prix de $3$ kg d'oranges à $2,10\ \text{€}$ le kilo.
2. b) Noter le résultat du lancer d'une punaise et voir si elle retombe sur la pointe ou sur le côté.
3. c) Mesurer le temps que met un litre d'eau à bouillir sur le feu.
4. d) Noter qui gagne le match de basket de samedi.
5. e) Calculer l'aire d'un carré de $5$ cm de côté.

Écrire l'univers de chacune de ces expériences aléatoires :

1. a) Lancer une pièce et noter le résultat.
2. b) Tirer une boule dans une urne contenant une boule rouge, une verte, une bleue et une jaune, et noter sa couleur.
3. c) Faire tourner une roue avec les nombres de $1$ à $6$ et noter le nombre obtenu.
4. d) Choisir au hasard un jour de la semaine et noter s'il est « ouvré » ou « de week-end ».

On lance deux pièces en l'air et on note si on obtient pile (P) ou face (F) sur chacune. La figure montre l'univers de l'expérience.

1. a) Combien d'issues possibles l'expérience a-t-elle ? Les écrire.
2. b) Sont-elles équiprobables ? Justifier la réponse.
3. c) De combien de façons l'événement « on obtient au moins un pile » peut-il se réaliser ?
4. d) Et l'événement « les deux pièces donnent le même côté » ?

Dans un sac, il y a $9$ boules rouges et $1$ boule bleue. Ranger les événements suivants de l'expérience « tirer une boule au hasard » du plus probable au moins probable, en expliquant le critère :

• Événement A : « tirer une boule rouge ».

• Événement B : « tirer une boule bleue ».

• Événement C : « tirer une boule qui n'est pas verte ».

• Événement D : « tirer une boule verte ».

Météo-France émet pour une commune de montagne une vigilance neige avec trois niveaux d'alerte possibles selon l'épaisseur de neige prévue en $24$ heures : niveau vert (aucun risque, moins de $2\text{ cm}$), niveau jaune (risque faible, entre $2$ et $5\text{ cm}$) et niveau orange (risque important, plus de $5\text{ cm}$).

1. a) Classer l'expérience « observer le niveau d'alerte finalement déclenché samedi » comme aléatoire ou déterministe. Justifier la réponse en tenant compte de la nature des prévisions météorologiques.
2. b) Écrire l'univers $E$ des niveaux d'alerte envisagés pour ce jour.
3. c) Classer les événements suivants en certain, possible ou impossible, en justifiant chaque cas à partir de l'univers :

• Événement $A$ : « Le niveau vert ou le niveau orange est déclenché ».

• Événement $B$ : « Le niveau rouge (risque extrême) est déclenché », sachant que, pour ce jour, Météo-France n'a pas envisagé ce niveau.

• Événement $C$ : « L'un des niveaux vert, jaune ou orange est déclenché ».

1. d) Si les autorités décident de suspendre les transports scolaires uniquement si le niveau orange est déclenché, la suspension du transport scolaire est-elle un événement certain, possible ou impossible samedi matin, avant de connaître l'alerte définitive ? Justifier la réponse.

On lance deux dés tétraédriques (dés à $4$ faces numérotées de $1$ à $4$) et on calcule le produit des deux nombres obtenus.

1. a) Estimer et raisonner au préalable : sans encore construire le tableau complet, penses-tu que l'univers des produits contiendra plus de $10$ résultats distincts ou moins de $10$ ? Penses-tu qu'il sera plus fréquent d'obtenir un produit pair ou un produit impair ? Justifier ton intuition initiale.
2. b) Vérifier ton estimation : dessiner dans ton cahier un tableau à double entrée de $4 \times 4$ où les lignes représentent le premier dé et les colonnes le second dé, et écrire dans chaque case le produit des deux nombres.
3. c) À partir du tableau, écrire entre accolades l'univers $E$ de tous les produits distincts qui peuvent sortir. Combien d'éléments contient-il ? Comparer ce décompte avec ton estimation du a).
4. d) Compter combien de cases du tableau donnent un produit pair et combien donnent un produit impair. Ton intuition initiale était-elle correcte ? Expliquer mathématiquement pourquoi, dans cette expérience, les résultats pairs sont beaucoup plus fréquents que les impairs.

On lance deux dés de couleurs différentes (un bleu et un vert) et on note la somme des points obtenus.

1. a) Quelles valeurs différentes la somme peut-elle prendre ? Les écrire toutes.
2. b) Ces résultats sont-ils équiprobables ? Vérifier en complétant dans ton cahier un tableau à double entrée avec les $36$ couples possibles (dé bleu, dé vert) et en comptant de combien de façons on obtient chaque somme.
3. c) Quelle somme est la plus probable ? De combien de façons peut-on l'obtenir ?
4. d) Et la moins probable ?

Indiquer si les affirmations suivantes sur le hasard sont vraies ou fausses, en justifiant la réponse :

1. a) Obtenir un $7$ en lançant un dé est un événement impossible.
2. b) Si un événement est très improbable, alors il est impossible.
3. c) Si je lance une pièce $10$ fois, il est certain que face sortira exactement $5$ fois.
4. d) Si face est sorti $4$ fois de suite, au lancer suivant il est plus probable que pile sorte « pour compenser ».

1. a) Inventer une expérience aléatoire dont l'univers comporte exactement $6$ issues équiprobables. Écrire son univers.
2. b) Inventer maintenant une expérience aléatoire qui a aussi $6$ issues possibles mais qui ne sont pas équiprobables, et expliquer pourquoi elles ne le sont pas.
3. c) Pour l'expérience du b), décrire un événement certain, un événement impossible et un événement peu probable.

Dans un sac opaque, il y a uniquement des boules rouges et bleues, $10$ boules au total, mais on ne sait pas combien il y en a de chaque couleur.

1. a) Décrire un événement certain de cette expérience (tirer une boule au hasard).
2. b) Décrire un événement impossible.
3. c) Si on te dit que l'événement « tirer une boule rouge » est très improbable, que peux-tu en déduire sur la composition du sac ? Donner deux compositions possibles cohérentes avec cette information.
4. d) Et si « tirer une boule rouge » était aussi probable que « tirer une boule bleue » ?

Quatre établissements participent à un tournoi d'échecs scolaire : le lycée Ramón y Cajal ($R$), le lycée Severo Ochoa ($S$), le lycée Clara Campoamor ($C$) et le lycée Miguel Delibes ($M$). Pour la journée d'ouverture, on doit tirer au sort une rencontre entre deux lycées (l'ordre n'importe pas : le match $R-S$ est le même que $S-R$). Trois élèves discutent de la façon de déterminer l'univers de toutes les rencontres possibles sans en oublier aucune :

• Arthur propose d'écrire les combinaisons directement au fur et à mesure qu'elles lui viennent à l'esprit.

• Béatrice propose de construire un tableau à double entrée de $4 \times 4$, de barrer la diagonale (un lycée ne joue pas contre lui-même) et de ne sélectionner que les cases au-dessus de la diagonale pour ne pas compter les rencontres en double.

• Charles propose de faire un arbre à deux niveaux, puis d'effacer à la main les branches qui correspondent à des matchs répétés.

1. a) Comparer les trois méthodes en évaluant leur rigueur et leur efficacité : laquelle est la plus adaptée pour garantir qu'on n'oublie aucune issue et qu'on ne compte pas de matchs en double ? Justifier le choix par rapport aux deux autres.
2. b) Appliquer la méthode la plus adaptée que tu as choisie et écrire en détail l'univers $E$ de tous les matchs possibles. Combien d'éléments $E$ contient-il ?
3. c) Considérer les événements suivants dans cette expérience et les classer en certain, possible ou impossible, en indiquant les éléments qui forment chaque événement :

• Événement $A$ : « Le lycée Clara Campoamor participe au match ».

• Événement $B$ : « Le match oppose deux lycées dont le nom commence par la même lettre ».

• Événement $C$ : « Au moins un des quatre lycées inscrits participe au match ».

Tu conçois un jeu de cartes thématique pour un atelier de mathématiques. Tu disposes de cartes vierges et tu dois écrire sur chacune un nombre entier naturel de $1$ à $20$ et dessiner une figure géométrique (étoile ou cercle). Ton objectif est de choisir un ensemble de cartes qui respecte rigoureusement et simultanément les cinq conditions suivantes :

1. Le paquet doit contenir exactement $6$ cartes distinctes (cet ensemble de $6$ cartes sera l'univers $E$ lorsqu'on tire une carte au hasard).

2. L'événement « tirer un nombre multiple de $3$ » doit être un événement certain.

3. L'événement « tirer une carte avec un triangle » doit être un événement impossible.

4. L'événement « tirer une étoile avec un nombre premier » doit être un événement possible, mais pas certain.

5. Si on appelle événement $A$ « tirer un nombre supérieur à $10$ » et événement $B$ « tirer une carte avec un cercle », aucun élément de l'univers ne peut appartenir à la fois à $A$ et à $B$ (c'est-à-dire qu'aucun cercle ne peut porter un nombre supérieur à $10$).

1. a) Concevoir un paquet qui respecte toutes les conditions, en détaillant explicitement l'univers $E$ avec ses $6$ éléments (en indiquant le nombre et la figure de chaque carte).
2. b) Démontrer, en analysant une à une les cinq conditions, que l'univers proposé satisfait toutes les exigences.
3. c) Raisonner mathématiquement : serait-il possible de respecter toutes les conditions si on remplaçait la condition 2 par « tirer un nombre à la fois premier et pair », en maintenant l'exigence que le paquet ait $6$ cartes distinctes ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la définition des nombres premiers.