Exercices: Masse

Dans l'étude de la matière, il est fondamental de ne pas confondre ce que l'on mesure avec l'outil que l'on utilise. Classer les termes suivants dans le tableau selon qu'ils correspondent à une grandeur, une unité de mesure ou un instrument de mesure :

Masse, gramme, balance, kilogramme, pèse-personne, capacité, tonne, dynamomètre.

Pour passer d'une unité à une autre dans le système métrique décimal, on doit multiplier ou diviser par l'unité suivie de zéros. Compléter les égalités suivantes en effectuant les changements d'unité indiqués :

1. a) $45\text{ kg} = \dots\dots\dots\text{ g}$
2. b) $1\,200\text{ mg} = \dots\dots\dots\text{ g}$
3. c) $0,5\text{ hg} = \dots\dots\dots\text{ dag}$
4. d) $34,7\text{ dg} = \dots\dots\dots\text{ cg}$

Il est très important de savoir choisir l'unité adaptée à l'objet que l'on pèse. Associer chacun des objets suivants à la mesure qui vous semble la plus réaliste :

1. Une fourmi ouvrière.

2. Une canette de soda pleine.

3. Un ordinateur portable.

4. Un camion de livraison.

Mesures possibles : $2\text{ kg}$, $8\text{ t}$, $3\text{ mg}$, $330\text{ g}$.

Dans un laboratoire de sciences, trois élèves ont pesé un même échantillon de roche. Chacun a noté le résultat dans une unité différente :

• Élève A : $0,45\text{ kg}$

• Élève B : $4\,200\text{ dg}$

• Élève C : $46\text{ dag}$

Exprimer toutes les mesures en grammes et ranger les élèves dans l'ordre croissant de la masse obtenue.

Saviez-vous que le kilogramme a été défini à l'origine à partir de l'eau ? Un litre d'eau pure a une masse d'exactement un kilogramme. Vous avez un sac à dos qui supporte une charge maximale de $6\text{ kg}$ et il contient déjà des livres qui pèsent $2500\text{ g}$. Combien de bouteilles d'eau de $1,5$ litres pouvez-vous ajouter au maximum sans que le sac se déchire ?

Pour préparer un gâteau au chocolat pour l'anniversaire de sa sœur, Chloé a acheté les ingrédients suivants :

• Un paquet de farine de $0,75\text{ kg}$.

• Une tablette de chocolat de $200\text{ g}$.

• Un paquet de sucre de $4,5\text{ hg}$.

Quelle est la masse totale des ingrédients en grammes ?

Exprimer les quantités suivantes avec une seule unité, en les convertissant dans l'unité indiquée dans chaque cas :

1. a) $3\text{ kg et } 450\text{ g}$ $\rightarrow$ en grammes.
2. b) $5\text{ dag, } 2\text{ g et } 8\text{ dg}$ $\rightarrow$ en décigrammes.
3. c) $1\text{ t et } 200\text{ kg}$ $\rightarrow$ en kilogrammes.
4. d) $4\text{ hg et } 5\text{ cg}$ $\rightarrow$ en centigrammes.

Une camionnette a une charge maximale de $1,5$ tonnes ($t$). Si l'on veut charger des caisses d'oranges qui pèsent $25\text{ kg}$ chacune, combien de caisses pourra-t-on transporter au maximum en un seul voyage ? (Rappel : $1\text{ t} = 1\,000\text{ kg}$).

Serge veut préparer une pâte à pain et doit convertir $4,5\ kg$ de farine en grammes. Dans son cahier, il écrit la résolution suivante : « Pour passer des kilogrammes aux grammes, je descends de 3 marches dans l'escalier du système métrique, donc je multiplie par $30$ : $4,5 \cdot 30 = 135\ g$ ».

1. a) Expliquer avec vos mots l'erreur de compréhension commise par Serge sur le fonctionnement du système métrique décimal.
2. b) Justifier pourquoi il doit multiplier par $1\,000$ (c'est-à-dire $10 \cdot 10 \cdot 10$) et non par $30$.
3. c) Corriger le calcul de Serge et indiquer la masse réelle de farine, en grammes, qu'il doit utiliser pour la recette.

Dans la zone euro, une pièce de $1$ euro a une masse officielle de $7,5\ g$. Imaginer un sac contenant exactement $60$ pièces de $1$ euro.

1. a) Avant tout calcul exact, arrondir la masse d'une pièce à un nombre entier simple et estimer mentalement combien de grammes et combien de kilogrammes pèsent environ les $60$ pièces. Écrire comment vous avez fait cette estimation mentale.
2. b) Effectuer le calcul exact de la masse totale des pièces et exprimer le résultat en grammes ($g$) puis en kilogrammes ($kg$).
3. c) Comparer votre estimation initiale au résultat exact : était-ce une approximation raisonnable ? Expliquer si votre estimation était supérieure ou inférieure à la valeur réelle, et pourquoi.

Pour éviter les blessures au dos, il est recommandé que le cartable ne dépasse pas $10 \%$ du poids de l'élève. Lucas pèse $45\ kg$ et a pesé les éléments qu'il emporte aujourd'hui en classe :

• Livres et cahiers : $2,8\ kg$

• Trousse avec matériel : $350\ g$

• Dictionnaire d'anglais : $6,5\ hg$

• Bouteille d'eau pleine : $75\ dag$

Calculer la masse totale du cartable en kilogrammes et déterminer si Lucas transporte une charge sans danger pour son dos.

Une pâtisserie réputée de votre quartier utilise les quantités suivantes pour préparer son fameux « Gâteau Impérial » :

• Farine : $0,55\ kg$

• Sucre : $22,5\ dag$

• Beurre : $1\,250\ dg$

• Chocolat : $3\ hg$

Exprimer en grammes chacun des ingrédients et calculer la masse totale du gâteau (sans compter la garniture ni la décoration) sous forme complexe (en utilisant des kilogrammes et des grammes).

Dans le potager du collège, on a récolté $4,2$ tonnes de pommes. Pour le transport, on utilise des sacs contenant chacun un quintal ($q$).

1. a) Combien de sacs faut-il pour transporter toute la récolte ?
2. b) Si l'on obtient $1\ kg$ de compote à partir de chaque $5\ kg$ de pommes, combien de kilogrammes de compote le collège produira-t-il avec cette récolte ?

Sachant qu'un décimètre cube ($1\ dm^3$) d'eau distillée a une masse d'exactement $1\ kg$, résoudre le problème suivant :

Un aquarium a la forme d'un pavé droit de dimensions $60\ cm$ de long, $30\ cm$ de large et $40\ cm$ de haut. S'il est rempli d'eau jusqu'aux $\frac{3}{4}$ de sa capacité totale, quelle est la masse de l'eau contenue dans l'aquarium, exprimée en kilogrammes ?

Un camion de livraison a une charge maximale autorisée de $3,5\ t$. Il transporte actuellement $18$ palettes de caisses de lait pesant $125\ kg$ chacune. Le conducteur doit récupérer dans un entrepôt $12$ sacs d'aliments pour animaux de $450\ hg$ chacun.

Pourra-t-il charger les sacs d'aliments sans dépasser la limite de masse du camion ? Justifier la réponse en effectuant les calculs en kilogrammes.

Dans une boutique de bonbons en vrac, le prix des guimauves est de $1,20\ €$ par hectogramme ($hg$).

1. a) Combien coûtera un sachet contenant $250\ g$ de guimauves ?
2. b) Si l'on a payé $6\ €$ pour un autre sachet de guimauves, combien de grammes de guimauves a-t-on achetés ?

Ranger dans l'ordre croissant les masses suivantes de composants électroniques utilisés dans la fabrication d'un smartphone. Pour comparer, convertir toutes les unités en milligrammes ($mg$) :

• Capteur de l'appareil photo : $0,0042\ kg$

• Microprocesseur principal : $1,85\ g$

• Vis de fixation : $85\ cg$

• Connecteur de charge : $12,4\ dg$

Une pharmacie reçoit une livraison de $5$ cartons d'un médicament. Chaque carton contient $12$ pots, et chaque pot pèse $150\ g$ à vide. Dans chaque pot, il y a $60$ gélules, et chaque gélule a une masse de $500\ mg$.

Calculer la masse totale de la livraison (pots et gélules compris), exprimée en kilogrammes.

Dans le laboratoire de SVT, vous devez poser trois échantillons de minéraux sur un plateau qui supporte une charge maximale de $1,5\ kg$. Les masses des échantillons sont : pyrite ($520\ g$), quartz ($4,8\ hg$) et calcite ($55\,000\ cg$). Pour savoir si le plateau supportera les trois échantillons à la fois, deux camarades proposent des méthodes différentes :

• Manon propose de convertir toutes les masses en grammes ($g$) pour additionner uniquement des nombres entiers et comparer le total à la capacité du plateau exprimée elle aussi en grammes.

• Inès propose de convertir directement toutes les masses en kilogrammes ($kg$) en utilisant des nombres décimaux et de comparer la somme directement à $1,5\ kg$.

1. a) Résoudre le problème en appliquant la méthode de Manon.
2. b) Résoudre le problème en appliquant la méthode d'Inès.
3. c) Analyser les deux procédures : laquelle vous semble la plus pratique et la moins risquée en termes d'erreurs dans ce cas précis ? Justifier la réponse en comparant le travail avec des nombres entiers et l'usage de virgules décimales.

D'après les données sur la collecte sélective des déchets en France, on estime qu'un élève produit en moyenne $35\ g$ de déchets plastiques et d'emballages légers au cours d'une journée de classe. Dans un collège, $500$ élèves sont scolarisés.

1. a) Modéliser la situation et calculer combien de kilogrammes de plastique produisent en tout les élèves de l'établissement en une journée de classe et en une semaine de classe complète (du lundi au vendredi).
2. b) Pour stocker ces emballages, l'établissement dispose d'un conteneur dont la charge maximale recommandée est de $0,7\ q$ (quintaux). Aura-t-il une capacité suffisante pour accumuler les déchets produits pendant deux semaines de classe complètes (10 jours) sans être vidé ? Justifier la réponse en indiquant combien de kilogrammes il reste ou il manque pour atteindre la limite du conteneur.
3. c) Si, après une campagne de sensibilisation à l'environnement, le collège réduit sa production quotidienne totale à $14\ kg$, calculer combien de grammes de plastique chaque élève économise en moyenne par jour par rapport à la situation initiale.

Un camion de livraison a une capacité de charge maximale de $3,5$ tonnes. À l'entrepôt, on a chargé $12$ caisses de machines pesant $1,45$ quintaux chacune et $45$ sacs d'aliments pour animaux de $25$ $kg$ chacun. S'il reste encore à charger un conteneur de pièces métalliques dont la masse est de $875\,000$ grammes, le camion pourra-t-il transporter toute la charge en une seule fois sans dépasser sa limite ? Justifier la réponse en calculant combien de kilogrammes manquent ou dépassent pour atteindre le maximum.

Une entreprise pharmaceutique fabrique des gélules d'un complément vitaminé. Chaque gélule contient $150$ $mg$ de principe actif, $0,025$ $dg$ d'excipient et $4\,500$ $\mu g$ (microgrammes) d'enrobage gélatineux. Sachant que $1$ $mg = 1\,000$ $\mu g$, calculer la masse totale d'un pot contenant $120$ gélules, en exprimant le résultat final en grammes. N'oubliez pas d'ajouter les $12$ $g$ que pèse le pot en plastique vide.

Dans une huilerie, une machine remplit des bouteilles de $0,75$ litres. On sait que $1$ litre de cette huile a une masse de $920$ $g$. Si un camion transporte $150$ caisses et que chaque caisse contient $12$ bouteilles, quelle est la masse totale du chargement d'huile en tonnes ? Si chaque bouteille vide a une masse de $35$ $dag$ et que chaque caisse en carton pèse $0,4$ $kg$, calculer aussi la masse totale du transport (huile + bouteilles + caisses) en kilogrammes.

Pour réaliser une expérience de chimie, un élève doit mélanger trois substances. Il a $0,045$ $kg$ de la substance A, $12,4$ $dag$ de la substance B et $7\,800$ $cg$ de la substance C. Après le mélange, une réaction libère un gaz, ce qui fait perdre au mélange un centième de sa masse totale initiale. Quelle sera la masse finale du mélange liquide obtenu, exprimée en grammes ?

Le club de robotique dispose d'une barre d'aluminium de $1,2$ $kg$. Il souhaite fabriquer le plus grand nombre possible de pièces de $12$ $g$ et de $500$ $mg$ chacune.

• Combien de pièces pourra-t-il fabriquer au maximum ?

• Si le gramme d'aluminium coûte $3,50$ €, combien coûtera le matériau de toutes les pièces fabriquées ?

• Combien d'aluminium restera-t-il, en milligrammes ?

Une épicerie vrac reçoit une commande de riz en sacs d'un myriagramme ($1$ $mag = 10$ $kg$). Le propriétaire souhaite reconditionner le riz en sachets plus petits de trois tailles différentes :

• La moitié du riz sera conditionnée en sachets de $500$ $g$.

• Les deux cinquièmes du riz restant seront conditionnés en sachets de $250$ $g$.

• Ce qui reste sera conditionné en sachets de $100$ $g$.

S'ils ont reçu $12$ sacs d'un myriagramme chacun, combien de sachets de chaque type obtiendront-ils ?

On a mesuré la masse d'un cube métallique plein de $5$ $cm$ d'arête et on a obtenu une valeur de $343,75$ $g$.

• Quelle est la masse de ce métal par centimètre cube ($cm^3$) ?

• Si l'on a un autre bloc du même métal d'un volume de $1,2$ $dm^3$, quelle sera sa masse exprimée en kilogrammes ?

(Donnée : le volume d'un cube se calcule par $V = \text{arête} \times \text{arête} \times \text{arête}$.)

Une balance à deux plateaux est en équilibre. Sur le plateau de gauche se trouve un pot de miel plein qui pèse $1,25$ $kg$. Sur le plateau de droite se trouvent une masse de $5$ $hg$, une autre de $25$ $dag$ et le même pot de miel mais vide. Calculer séparément la masse de miel contenue dans le pot et la masse du pot vide, en exprimant les deux résultats en grammes.

Une orfèvre conçoit un lingot de cérémonie composé de trois métaux précieux (or, argent et cuivre) dont la masse totale combinée doit être exactement de $0,48\ kg$. Pour des raisons de conception, les masses des métaux doivent respecter les conditions suivantes :

• La masse d'argent doit être le quadruple de la masse de cuivre.

• La masse d'or doit dépasser exactement de $60\ g$ la masse d'argent.

1. a) Exprimer toutes les quantités dans une même unité et proposer un raisonnement pas à pas (ou une équation) pour déduire la masse exacte, en grammes, que doit avoir chacun des trois métaux dans le lingot.
2. b) Vérifier que les masses calculées respectent toutes les conditions imposées et que leur somme est égale à la masse totale du lingot en kilogrammes.
3. c) Pour étalonner la portion de cuivre obtenue sur une balance classique à deux plateaux, l'orfèvre ne dispose que de masses de $1\ dag$, $1\ g$, $1\ dg$ et $1\ cg$. Déterminer quelle est la combinaison qui utilise le plus petit nombre possible de masses pour équilibrer la masse de cuivre calculée, arrondie au centigramme.

Un moulin à huile de la Drôme prépare l'expédition d'huile d'olive dans un camion dont la tare (masse du camion à vide) est de $3,8\ t$ et dont le poids total autorisé en charge (PTAC) est de $10\ t$. On charge $16$ palettes en bois de $20\ kg$ chacune. Sur chaque palette, on place $30$ caisses en carton, et chaque caisse contient $12$ bouteilles. Chaque bouteille pleine d'huile a une masse de $950\ g$ et chaque caisse en carton vide pèse $25\ dag$.

L'assistant de logistique remet la note suivante au transporteur :

« Masse des bouteilles : $16 \cdot 30 \cdot 12 \cdot 950 = 5\,472\,000\ g = 54,72\ kg$.

Masse des caisses : $16 \cdot 30 \cdot 25 = 12\,000\ dag = 12\ kg$.

Masse des palettes : $16 \cdot 20 = 320\ kg$.

Masse totale de la charge : $54,72 + 12 + 320 = 386,72\ kg = 0,38672\ t$.

Comme $3,8\ t + 0,38672\ t \approx 4,19\ t$, le camion est presque vide et on peut charger le double sans problème. »

1. a) Repérer et expliquer les deux erreurs graves de changement d'unités commises par l'assistant. Justifier pourquoi son résultat final n'a absolument aucun sens physique pour une charge de milliers de bouteilles.
2. b) Effectuer le calcul correct de la masse totale réelle du camion chargé (tare, palettes, caisses et bouteilles), en exprimant le résultat à la fois en kilogrammes ($kg$) et en tonnes ($t$).
3. c) Déterminer si le camion peut légalement circuler ou s'il dépasse le PTAC. S'il ne le dépasse pas, calculer précisément combien de caisses entières supplémentaires on pourrait charger au maximum sans dépasser la limite légale de $10\ t$.