Exercices: Longueur

En mathématiques et en physique, il est essentiel de distinguer ce que l'on mesure de l'unité que l'on utilise. Classer les notions suivantes dans votre cahier selon qu'il s'agit d'une grandeur ou d'une unité de mesure :

• Longueur

• Mètre ($m$)

• Centimètre ($cm$)

• Largeur d'une table

• Kilomètre ($km$)

• Distance entre deux villes

Pour mesurer avec précision, il faut choisir l'unité la plus adaptée. Indiquer quelle unité du système métrique ($mm$, $cm$, $m$ ou $km$) vous utiliseriez pour mesurer les objets suivants :

1. a) La longueur d'un trombone.
2. b) La taille de votre meilleur ami ou meilleure amie.
3. c) La distance parcourue par un car scolaire entre deux villages.
4. d) L'épaisseur de l'écran d'un téléphone portable dernier cri.

Le système métrique est décimal car chaque unité est $10$ fois plus grande que la précédente. Compléter les égalités suivantes en convertissant dans l'unité indiquée :

1. a) $7\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ dm}$
2. b) $25\text{ cm} = \dots\dots\dots\text{ mm}$
3. c) $1,5\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ cm}$
4. d) $0,8\text{ dm} = \dots\dots\dots\text{ mm}$

Pour mesurer de grandes distances, on utilise les multiples du mètre. Effectuer les conversions suivantes :

1. a) $3\,000\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ km}$
2. b) $450\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ hm}$
3. c) $12\text{ dam} = \dots\dots\dots\text{ m}$
4. d) $0,5\text{ km} = \dots\dots\dots\text{ hm}$

Trois amis comparent la longueur des câbles de leurs écouteurs pour savoir lequel est le plus long. Les mesures sont :

• Marc : $1,2\text{ m}$

• Lucie : $125\text{ cm}$

• Hugo : $11,5\text{ dm}$

Exprimer toutes les mesures en centimètres et les ranger dans l'ordre croissant en utilisant le symbole $<$.

Une étape d'une randonnée dans le massif des Alpes est divisée en deux tronçons. Le premier tronçon mesure $3\text{ km et } 450\text{ m}$ et le second mesure $2\,100\text{ m}$. Combien de kilomètres mesure l'étape complète ?

Sarah conçoit une housse pour sa tablette. À l'aide d'une règle, elle observe que la longueur de la tablette est de $24,5\text{ cm}$. Si elle veut ajouter une bordure de protection de $5\text{ mm}$ à chacune des deux extrémités de la longueur, quelle sera la longueur totale de la housse en centimètres ?

Calculer le périmètre (la somme de tous ses côtés) d'un terrain de futsal dont les dimensions sont $40\text{ m}$ de long et $200\text{ dm}$ de large. Exprimer le résultat final en mètres.

(Indice : pour additionner des mesures, elles doivent toutes être dans la même unité.)

Mathis doit découper une bande de bois pour un projet de Technologie et il lui faut exactement $4\text{ m et } 5\text{ cm}$. Pour noter la mesure dans son cahier en une seule unité (forme incomplexe en mètres), il écrit directement $4,5\text{ m}$.\na) Expliquer en justifiant pourquoi la notation de Mathis est incorrecte, en s'appuyant sur la valeur de position de chaque chiffre dans le système métrique décimal.\nb) Quelle est l'expression correcte en mètres de la mesure dont il a besoin ?\nc) Quelle serait la longueur réelle en centimètres de la bande si Mathis découpait les $4,5\text{ m}$ qu'il a notés par erreur ? Calculer la différence en centimètres entre ce dont il a besoin et ce qu'il découperait.

Dans un collège, on souhaite installer une plinthe de protection dans une salle de classe de 6e. La salle est rectangulaire et mesure $82\text{ dm}$ de long et $580\text{ cm}$ de large. La porte d'entrée mesure $9\text{ dm}$ de large et, évidemment, n'aura pas de plinthe.\na) Avant de calculer exactement, estimer mentalement combien de mètres de plinthe seront nécessaires en arrondissant les dimensions des murs au mètre le plus proche. Pensez-vous qu'il suffira d'acheter un lot standard de $25\text{ m}$ de plinthe ? Justifier la réponse.\nb) Exprimer toutes les dimensions en mètres et calculer la longueur exacte de plinthe nécessaire.\nc) Comparer votre estimation préalable avec le résultat exact et expliquer si l'estimation initiale était suffisante pour prendre une décision d'achat.

Trois amis comparent les distances qu'ils ont parcourues ce matin en s'entraînant pour une course solidaire. Lucie dit avoir couru $4,2 \text{ km}$, Mathis affirme avoir fait $38 \text{ hm}$ et $15 \text{ dam}$, et Sarah a enregistré sur sa montre connectée un total de $4\,050 \text{ m}$.

Classer les trois amis du plus grand au plus petit parcours, en exprimant toutes les mesures en mètres pour pouvoir les comparer.

Un drone de livraison effectue un trajet divisé en trois étapes. Lors de la première étape, il parcourt une distance de $1 \text{ km}$ et $25 \text{ m}$. Lors de la deuxième, il vole $85 \text{ hm}$ et $7 \text{ dam}$. Lors de la dernière étape, il parcourt encore $450 \text{ m}$.

Calculer la distance totale du trajet en l'exprimant sous forme incomplexe (une seule unité) en kilomètres.

Dans un magasin d'informatique, les écrans des moniteurs se mesurent par la longueur de leur diagonale en pouces. On sait que $1 \text{ pouce} = 2,54 \text{ cm}$.

Si l'on achète un moniteur dont la diagonale mesure $27 \text{ pouces}$, quelle est sa mesure approximative en millimètres ?

Un menuisier dispose d'un tasseau de bois de $3 \text{ m}$ de long. Il doit en découper des morceaux de $35 \text{ cm}$ chacun pour fabriquer les pieds de tabourets.

1. a) Combien de morceaux entiers de $35 \text{ cm}$ pourra-t-il obtenir dans le tasseau ?
2. b) Combien de millimètres de bois lui restera-t-il après les découpes ?

Le périmètre d'un circuit de karting mesure $0,85 \text{ km}$. Pendant une course, un pilote a effectué $12$ tours de circuit.

Calculer la distance totale parcourue par le pilote et l'exprimer sous forme complexe (en utilisant des kilomètres, des hectomètres et des décamètres).

Un biologiste étudie la croissance d'une racine au microscope. Le premier jour, la racine mesurait $12 \text{ mm}$. Après une semaine, la racine mesure $4,5 \text{ cm}$.

De combien de micromètres ($\mu m$) la racine a-t-elle poussé au total pendant cette semaine ? (Rappel : $1 \text{ mm} = 1\,000 \mu m$.)

Pour installer la fibre optique dans un immeuble, il faut $3$ rouleaux de câble de $1,2 \text{ hm}$ chacun. Si le technicien a déjà utilisé $245 \text{ m}$ de câble, combien de décamètres de câble lui reste-t-il encore ?

Une fourmi parcourt le bord d'une table rectangulaire qui mesure $1,2 \text{ m}$ de long et $80 \text{ cm}$ de large. Si la fourmi fait $5$ tours complets du bord de la table :

1. a) Combien de mètres parcourt-elle au total ?
2. b) Exprimer le résultat précédent en hectomètres.

Lors de l'épreuve de saut en longueur de la semaine sportive du collège, Hugo a réalisé une marque de $3\text{ m et } 8\text{ cm}$, tandis que sa camarade Daniela a réussi un saut de $2\text{ m, } 7\text{ dm et } 5\text{ cm}$. Pour trouver de combien Hugo a dépassé la marque de Daniela, le professeur propose trois méthodes :\n- Méthode A : convertir les deux marques en mètres sous forme décimale puis soustraire.\n- Méthode B : exprimer les deux mesures en centimètres sous forme de nombres entiers puis soustraire.\n- Méthode C : opérer directement sur les mesures exprimées avec plusieurs unités en soustrayant les unités de même ordre ($3\text{ m} - 2\text{ m}$, etc.) et en convertissant les unités lorsque c'est nécessaire.\na) Résoudre la soustraction avec la méthode A et la méthode B, en vérifiant que l'on obtient le même résultat.\nb) Analyser les avantages et les inconvénients des trois méthodes et justifier laquelle vous semble la plus recommandée pour éviter les erreurs de calcul dans ce cas précis.

Le road-book officiel d'une étape cycliste sur routes de montagne indique une distance totale prévue de $164,8\text{ km}$. Le parcours se divise en quatre secteurs :\n- Secteur 1 (départ et plat) : $42\text{ km et } 600\text{ m}$.\n- Secteur 2 (col de montagne) : $185\text{ hm}$.\n- Secteur 3 (vallée) : $6\,400\text{ dam}$.\n- Secteur 4 (montée finale vers l'arrivée) : longueur à confirmer.\nÀ cause de travaux imprévus dans la vallée, l'organisation doit ajouter une déviation obligatoire de $3\,250\text{ m}$ dans le secteur 3.\na) Poser les opérations nécessaires dans une même unité pour déterminer la longueur initiale du secteur 4 avant les travaux, et écrire le résultat sous forme complexe en utilisant des kilomètres et des mètres.\nb) Modéliser la longueur définitive de l'étape complète après l'ajout de la déviation, en exprimant le résultat final en hectomètres ($hm$).

Un club de randonnée conçoit un nouveau parcours en boucle dans les Pyrénées. Sur la carte (échelle $1:25\,000$), le parcours se divise en trois tronçons : le premier mesure $12,4$ $cm$, le deuxième $85$ $mm$ et le troisième $0,06$ $dm$. Si un randonneur marche à vitesse constante et que chacun de ses pas mesure exactement $75$ $cm$, calculer combien de pas il fera pour effectuer le parcours complet dans la réalité. Exprimer aussi la distance totale du parcours en hectomètres ($hm$).

Dans un laboratoire de nanotechnologie, un scientifique observe une fibre synthétique dont l'épaisseur est de $450$ nanomètres ($nm$). Pour une expérience, il doit placer ces fibres côte à côte jusqu'à couvrir une distance de $0,27$ millimètres ($mm$). Sachant que $1$ micromètre ($\mu m$) vaut $1\,000$ $nm$ et que $1$ $mm$ valent $1\,000$ $\mu m$, combien de fibres le scientifique devra-t-il placer ? Si chaque fibre coûtait $0,002$ euros, quel serait le coût total de l'échantillon ?

Autrefois, en Espagne, on utilisait la « vara castellana », qui vaut environ $83,59$ $cm$. Un agriculteur lit dans un vieux document que son terrain a une façade de $120$ varas. Pour respecter la réglementation actuelle, il doit installer une clôture qui coûte $15,50$ euros le mètre linéaire. Cependant, pour chaque tranche de $5$ décamètres ($dam$) de clôture, le magasin lui accorde une réduction de $10\%$ sur le prix de ces mètres. Combien lui coûtera la clôture de toute la façade de son terrain ?

Un drone de course parcourt un circuit en forme d'hexagone irrégulier. Les longueurs de ses côtés sont : $0,15$ $km$, $2,4$ $hm$, $35$ $dam$, $1\,200$ $dm$, $8\,500$ $cm$ et $95\,000$ $mm$. Le drone doit effectuer au total $15$ tours du circuit. Quelle est la distance totale parcourue par le drone en kilomètres ? Si la batterie du drone dure juste assez pour parcourir $185$ hectomètres, pourra-t-il terminer tous les tours ou sera-t-il à court de batterie avant ? Justifier la réponse par des calculs.

Un manuel de mathématiques a une épaisseur totale (sans compter les couvertures) de $2,4$ $cm$. Si le livre a exactement $400$ pages ($200$ feuilles), quelle est l'épaisseur d'une seule feuille exprimée en micromètres ($\mu m$) ? Sachant qu'un cheveu humain a une épaisseur moyenne de $0,08$ $mm$, combien de cheveux humains faudrait-il empiler pour égaler l'épaisseur d'une seule feuille de ce livre ?

Une conceptrice de produits dérivés du collège doit border $12$ fanions circulaires identiques avec un ruban décoratif. Le contour de chaque fanion est de $37,5$ décimètres ($dm$). Le ruban est vendu en rouleaux de $0,5$ hectomètres ($hm$).

1. a) Combien de rouleaux entiers la conceptrice doit-elle acheter au minimum pour ne pas manquer de ruban ?
2. b) Une fois les $12$ fanions terminés, combien de centimètres de ruban lui restera-t-il au total ?
3. c) Si chaque mètre de ruban coûte $1,20$ euros, quel est le prix d'un rouleau entier ?

La distance entre deux villes, A et B, est de $145,6$ $km$. Au milieu exact de la route qui les relie, un panneau indique la distance jusqu'à une troisième ville C, située à $34\,500$ mètres de ce milieu. Si une voiture roule de A vers B et s'arrête après avoir parcouru $820$ hectomètres ($hm$) :

1. a) À quelle distance de la ville B se trouve-t-elle ?
2. b) À quelle distance se trouve-t-elle du panneau qui indique la route vers la ville C ?

Exprimer tous les résultats en mètres.

Un satellite artificiel orbite autour de la Terre à une altitude constante de $350$ $km$. Cependant, à cause des frottements avec l'atmosphère, il perd $450$ mètres d'altitude chaque jour.

1. a) À quelle altitude en kilomètres le satellite se trouvera-t-il après $3$ semaines d'orbite ?
2. b) Si le satellite cesse de fonctionner lorsqu'il descend sous $330$ $km$ d'altitude, pendant combien de jours entiers pourra-t-il rester opérationnel ?
3. c) Exprimer l'altitude initiale du satellite sous forme d'une expression complexe en kilomètres, hectomètres et mètres.

Une parcelle communale a la forme d'un quadrilatère et son périmètre total mesure exactement $0,15\text{ km}$. On ne connaît pas toutes les mesures directement, mais on dispose des données suivantes :\n- Le côté $A$ mesure $35\text{ m et } 40\text{ dm}$.\n- Les quatre côtés mesurent un nombre entier exact de mètres.\n- Le côté $D$ a une longueur qui, exprimée en décamètres ($dam$), est un nombre entier exact, et l'on sait qu'elle mesure plus de $20\text{ m}$ mais moins de $45\text{ m}$.\n- Le côté $B$ mesure exactement le double du côté $C$.\na) Déduire par un raisonnement la seule longueur possible pour le côté $D$ en écartant les possibilités qui ne vérifient pas toutes les conditions.\nb) À partir de la valeur trouvée pour $D$, calculer la mesure exacte des côtés $B$ et $C$, et les exprimer sous forme complexe en combinant décamètres et mètres.\nc) Vérifier que la somme des quatre côtés redonne exactement le périmètre initial en kilomètres.

Une équipe de l'Institut géographique national balise un sentier de montagne de $14,4\text{ km}$ de longueur totale entre deux refuges. Pour des raisons de sécurité et de visibilité par temps de brouillard, on installe des cairns le long du chemin selon les règles suivantes :\n- Tronçon bas (les $4\text{ km et } 8\text{ hm}$ premiers) : le chemin est large et on place un cairn tous les $120\text{ m}$.\n- Tronçon intermédiaire (de la fin du tronçon bas jusqu'au point kilométrique $11,2\text{ km}$ du sentier) : on place un cairn tous les $8\text{ dam}$.\n- Tronçon haut de crête (du point kilométrique $11,2\text{ km}$ jusqu'à la fin du sentier) : le sentier est rocailleux et on place un cairn tous les $2\,500\text{ cm}$.\nOn place un cairn au début du sentier ($0\text{ m}$), un autre à chaque changement de tronçon et un autre au refuge d'arrivée.\na) Calculer la longueur exacte de chacun des trois tronçons exprimée en mètres.\nb) Déterminer le nombre total de cairns nécessaires pour baliser tout le sentier du début à la fin.\nc) Un des randonneurs affirme : « Comme le tronçon haut de crête est le plus court des trois en distance, c'est sûrement celui où il y a le moins de cairns à transporter et à poser. » Analyser de façon critique et chiffrée si son affirmation est vraie ou fausse, en justifiant quelle grandeur influence le plus le résultat.