Exercices: Capacité

Pour fêter la fin du trimestre, les élèves de 6e ont acheté plusieurs bouteilles de jus d'orange. Si chaque bouteille a une capacité de $1,5\ L$, exprimer cette quantité en centilitres ($cL$) et en millilitres ($mL$).

Associer chacun des objets suivants à l'unité de capacité du système métrique décimal qui vous semble la plus adaptée pour mesurer ce qu'il peut contenir :

• Une piscine olympique.

• Une canette de soda.

• Une seringue pour faire un vaccin.

• Un seau pour laver le sol.

Compléter les égalités suivantes en effectuant les changements d'unité nécessaires :

1. a) $25 L = ??? dL$
2. b) $4\,500 mL = ??? L$
3. c) $0,75 kL = ??? L$
4. d) $32 cL = ??? mL$

Une sportive porte un sac d'hydratation pour son entraînement. Si elle a rempli la poche avec $1\,200\ mL$ d'eau, puis ajouté un bidon supplémentaire de $0,5\ L$, combien de litres d'eau porte-t-elle en tout ?

Dans le laboratoire de sciences naturelles, les élèves utilisent une éprouvette. Si l'éprouvette indique une capacité de $35\ cL$, exprimer cette mesure en écriture complexe (c'est-à-dire avec des litres et des centilitres).

Un agriculteur a un petit réservoir pour arroser ses pots, d'une capacité de $2\ dal$ et $5\ L$. Combien de bouteilles de $1\ L$ pourra-t-il remplir avec le réservoir entièrement plein ?

Rappel : dans le système métrique, il existe une relation directe entre volume et capacité. Si l'on a un récipient en forme de cube dont le volume est exactement $1\ dm^3$, combien de litres d'eau peut-il contenir ? Et combien de millilitres peut-on mettre dans un volume de $1\ cm^3$ ?

(Figure non à l'échelle.)

Une recette de cuisine pour faire un gâteau indique qu'il faut ajouter $2\ dL$ de lait. Si, dans le réfrigérateur, on a une brique d'un litre ouverte dans laquelle il reste $450\ mL$, a-t-on assez de lait pour la recette ? Justifier la réponse en convertissant les deux quantités dans la même unité.

Lucie prépare une boisson maison pour la fête de fin d'année de son collège. Dans une carafe, elle verse $1,5\text{ L}$ d'eau gazeuse, $35\text{ cL}$ de jus de citron pressé et $150\text{ mL}$ de sirop de fraise. Pour calculer la quantité totale de boisson obtenue, elle écrit dans son cahier :\n$$\text{Total} = 1,5 + 35 + 150 = 186,5\text{ L}$$\na) Identifie l'erreur de raisonnement commise par Lucie. Explique pourquoi son résultat est absurde en pensant à des récipients de la vie courante.\nb) Corrige le calcul : convertis d'abord toutes les quantités en litres ($L$), puis calcule la contenance totale exacte de la boisson.\nc) Exprime cette même quantité totale en décilitres ($dL$) et en centilitres ($cL$), en indiquant dans chaque cas de combien de rangs tu te déplaces dans le tableau de conversion.

Tu as un bidon d'eau de $5\text{ L}$ et tu veux le répartir entièrement dans des petites bouteilles de randonnée individuelles de $33\text{ cL}$ de contenance chacune.\na) Avant tout calcul, fais une estimation mentale : arrondis la contenance de la bouteille à une fraction simple de litre ou à des décilitres entiers et explique si l'on pourra remplir plus ou moins de $15$ bouteilles.\nb) Effectue maintenant le calcul exact en exprimant les deux contenances en centilitres ($cL$). Combien de bouteilles pleines peut-on remplir ?\nc) Combien de centilitres d'eau reste-t-il dans le bidon ? Exprimer cette quantité restante en millilitres ($mL$) et en litres ($L$).\nd) Compare ton estimation initiale de la question a) avec le résultat réel obtenu et explique si ton approximation était raisonnable.

Lors d'un festival de musique pour adolescents, l'organisation a acheté plusieurs types de contenants d'eau pour les distribuer aux participants. Elle dispose d'un réservoir principal de $2,5\text{ kL}$, de packs de bouteilles de $50\text{ cl}$ et de bidons de $8\text{ L}$.

Pour connaître le total d'eau disponible en litres, effectuer les conversions suivantes :

1. a) Exprimer la capacité du réservoir en litres.
2. b) Combien de litres y a-t-il dans un pack contenant $12$ bouteilles de $50\text{ cl}$ ?
3. c) Si $15$ bidons pleins ont été servis, combien de décilitres ont été distribués ?

Dans le laboratoire de sciences naturelles, les élèves préparent un mélange pour une expérience sur la masse volumique. Ils ont utilisé les quantités suivantes de différents liquides :

• Eau distillée : $1\text{ L}$ et $25\text{ cl}$.

• Alcool : $4\text{ dl}$ et $5\text{ ml}$.

• Huile : $150\text{ ml}$.

Exprimer la quantité totale du mélange en écriture non complexe en centilitres ($cl$), puis en écriture complexe avec des litres, des décilitres et des millilitres.

Un aquarium a la forme d'un pavé droit dont les dimensions sont indiquées sur l'image. Sachant que $1\text{ dm}^3$ équivaut exactement à $1\text{ litre}$ de capacité :

1. a) Calculer le volume de l'aquarium en $\text{dm}^3$.
2. b) Combien de litres d'eau faut-il pour remplir complètement l'aquarium ?
3. c) Si l'aquarium contient actuellement $45\,000\text{ ml}$ d'eau, combien de litres manque-t-il pour le remplir ?

Un groupe d'amis part en randonnée en montagne. Chacun porte un sac à dos avec une poche à eau. Si la masse d'un litre d'eau est d'environ $1\text{ kg}$ :

1. a) Si la poche à eau de Marc a une capacité de $2\,500\text{ ml}$, combien de kilogrammes l'eau ajoute-t-elle à la masse de son sac à dos lorsqu'elle est pleine ?
2. b) Lucie porte une bouteille de $75\text{ cl}$. Si elle a déjà bu un tiers du contenu, combien de grammes d'eau lui reste-t-il ?
3. c) Combien de bouteilles comme celle de Lucie ($75\text{ cl}$) pourrait-on remplir avec l'eau d'un bidon de $1,5\text{ dal}$ ?

Ranger dans l'ordre croissant les mesures de capacité suivantes. Pour pouvoir les comparer, les convertir d'abord toutes en litres ($L$) :

• $0,007\text{ kL}$

• $75\text{ dl}$

• $725\text{ cl}$

• $7\,100\text{ ml}$

• $0,8\text{ dal}$

Pour une fête d'anniversaire, un adolescent décide de préparer un « punch aux fruits » maison en mélangeant les ingrédients suivants :

• $2$ bouteilles de soda à l'orange de $1,5\text{ L}$ chacune.

• $3$ briques de jus d'ananas de $33\text{ cl}$ chacune.

• $1$ bouteille de limonade de $2\text{ L}$.

• $250\text{ ml}$ de sirop de fraise.

1. a) Combien de litres de punch obtiendra-t-il en tout ?
2. b) S'il veut servir le punch dans des verres de $200\text{ ml}$, combien de verres pourra-t-il remplir entièrement ?
3. c) Lui restera-t-il du punch ? Si oui, exprimer le reste en centilitres.

Une piscine de jardin a une capacité totale de $12\text{ m}^3$. On veut la remplir avec un tuyau d'arrosage dont le débit est de $25\text{ litres}$ par minute.

1. a) Combien de litres d'eau la piscine peut-elle contenir ? (Rappel : $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}$).
2. b) Combien de minutes faudra-t-il pour remplir complètement la piscine ?
3. c) Exprimer la durée précédente en heures et minutes.

D'après les relevés de Météo-France, lors d'un orage d'automne dans le Var, il est tombé $65\text{ L/m}^2$ (litres par mètre carré). Le toit plat du gymnase d'un collège mesure $40\text{ m}$ de long et $25\text{ m}$ de large, et toute l'eau qui tombe dessus est canalisée intégralement vers une citerne municipale.\na) Modéliser la situation en calculant combien de litres d'eau de pluie ont été recueillis sur le toit pendant cet orage.\nb) Exprimer le volume total recueilli en mètres cubes ($m^3$) et en hectolitres ($hL$), sachant que $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}$.\nc) Si la citerne municipale a une capacité maximale de $80\text{ kL}$ et contenait déjà $28\,000\text{ dm}^3$ d'eau avant l'orage, déterminer de façon argumentée si le réservoir va déborder ou s'il restera de la place. S'il ne déborde pas, indiquer combien de litres manqueraient pour le remplir complètement.

Une coopérative d'huile d'olive dans le Gard a une cuve contenant $1,36\text{ kL}$ d'huile vierge extra fraîchement pressée. On décide de conditionner la totalité de la cuve sans qu'il reste d'huile, en combinant uniquement deux formats commerciaux : des bidons de $5\text{ L}$ et des bouteilles gourmet de $75\text{ cL}$. Pour des raisons de demande sur le marché, il est convenu de conditionner exactement quatre bouteilles gourmet pour chaque bidon de $5\text{ L}$.

1. a) Exprimer la capacité totale de la cuve et celle d'une bouteille gourmet en litres ($L$).
2. b) Considérer un « pack élémentaire » formé de $1\text{ bidon}$ de $5\text{ L}$ et de $4\text{ bouteilles}$ de $75\text{ cL}$. Combien de litres d'huile contient exactement un de ces packs ?
3. c) Poser l'opération nécessaire et déterminer combien de bidons familiaux et combien de bouteilles gourmet seront conditionnés en tout. Vérifier que le volume total coïncide avec les $1,36\text{ kL}$ initiaux.

Un aquarium en forme de pavé droit a pour dimensions intérieures $80\text{ cm}$ de long, $30\text{ cm}$ de large et $50\text{ cm}$ de haut. Par sécurité, il est recommandé de ne pas le remplir à plus de $\frac{4}{5}$ de sa capacité totale. S'il contient actuellement $84\text{ litres}$ d'eau, combien de seaux de $250\text{ cl}$ faut-il encore verser pour atteindre le niveau maximal recommandé ?

Dans une usine de parfums, on veut conditionner un lot de $0,15\text{ m}^3$ d'essence de lavande. On utilise trois types de flacons :

• La moitié de l'essence est conditionnée dans des flacons de $125\text{ ml}$.

• Un tiers du total est conditionné dans des flacons de $0,5\text{ dl}$.

• Le reste de l'essence est conditionné en échantillons de $10\text{ cm}^3$.

Calculer combien de flacons de chaque type sont nécessaires.

Un robinet défectueux dans un collège perd une goutte d'eau toutes les $2\text{ secondes}$. Si chaque goutte a un volume moyen de $50\text{ mm}^3$, calculer combien de bidons de $2\text{ décalitres}$ seraient remplis si le robinet fuyait pendant tout le mois d'avril.

Un agriculteur a un réservoir d'arrosage qui contient, en écriture complexe, $2\text{ kl}$, $5\text{ hl}$ et $8\text{ dal}$ d'eau. Pour fertiliser ses arbres, il doit mélanger l'eau avec un engrais liquide dans une proportion de $15\text{ ml}$ d'engrais pour chaque litre d'eau. S'il dispose de bidons d'engrais de $5\text{ litres}$, combien de bidons entiers doit-il acheter pour utiliser toute l'eau du réservoir ? Restera-t-il de l'engrais dans le dernier bidon ? Exprimer le reste en centilitres.

Un camion-citerne transporte $12,5\text{ m}^3$ de lait. En arrivant à l'usine de transformation, on décharge le contenu dans trois cuves différentes :

1. Dans la première cuve, on décharge $4\,500\text{ litres}$.

2. Dans la deuxième cuve, on décharge $52\text{ hectolitres}$.

3. Le reste est réparti à parts égales dans $200$ récipients industriels.

Quelle est la capacité de chacun de ces $200$ récipients, exprimée en $dm^3$ ?

On veut comparer la rentabilité de deux flacons de lessive liquide de la même marque :

• Flacon A : $1\,800\text{ ml}$ au prix de $4,50\text{ €}$.

• Flacon B : $0,25\text{ dal}$ au prix de $6,50\text{ €}$.

Calculer le prix au litre de chaque flacon et déterminer lequel est le plus économique. Si une famille utilise $15\text{ cl}$ de lessive à chaque lavage, combien de lavages peut-elle faire avec le plus grand flacon ?

Une expérience de laboratoire nécessite de remplir une éprouvette graduée avec trois liquides qui ne se mélangent pas :

1. $0,045\text{ dm}^3$ de mercure.

2. $12,5\text{ centilitres}$ d'eau distillée.

3. $850\text{ millimètres cubes}$ d'huile.

Quel sera le volume total du mélange dans l'éprouvette, exprimé en écriture complexe (avec les unités litres, décilitres et millilitres) ? Remarque : rappel, $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$.

Une piscine municipale de $25\text{ m}$ de long et $12\text{ m}$ de large est remplie jusqu'à une profondeur moyenne de $1,8\text{ mètres}$. À cause de l'évaporation due à la chaleur, le niveau de l'eau baisse de $5\text{ mm}$ chaque jour.

1. a) Combien de litres d'eau sont perdus par évaporation en une seule journée ?
2. b) Si l'eau coûte $1,20\text{ €}$ le mètre cube ($m^3$), combien la perte d'eau coûte-t-elle à la mairie après une semaine de forte chaleur ?

Dans le laboratoire de sciences, on veut remplir jusqu'au bord un récipient en verre en forme de pavé droit dont les dimensions intérieures sont $20\text{ cm}$ de large, $35\text{ cm}$ de long et $40\text{ cm}$ de hauteur. Pour verser l'eau, on utilise une éprouvette graduée de $250\text{ mL}$. Deux élèves proposent des stratégies différentes pour calculer combien d'éprouvettes pleines seront nécessaires :\n- Stratégie de Carla : elle calcule le volume du récipient en multipliant les dimensions en centimètres pour obtenir $\text{cm}^3$. Puis elle applique l'équivalence $1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$ et divise directement le résultat par la capacité de l'éprouvette en millilitres.\n- Stratégie de Dany : il convertit d'abord chacune des trois dimensions en décimètres ($dm$), calcule le volume en décimètres cubes ($\text{dm}^3$), le convertit en litres sachant que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$, convertit la capacité de l'éprouvette en litres ($L$) et divise les deux mesures.\na) Résoudre le problème en appliquant rigoureusement la stratégie de Carla, étape par étape.\nb) Résoudre le problème en appliquant rigoureusement la stratégie de Dany, étape par étape.\nc) Vérifier si les deux obtiennent le même nombre d'éprouvettes et comparer les deux méthodes : laquelle des deux démarches vous semble la plus recommandée pour limiter les erreurs de calcul avec beaucoup de zéros ou de virgules ? Justifier votre choix en analysant les étapes intermédiaires.

Selon les données de l'INSEE, la consommation moyenne d'eau dans les foyers français est d'environ $130\text{ L}$ par personne et par jour. Une famille de 4 personnes à Toulouse installe un système de recyclage des eaux grises provenant des douches et des machines à laver.\nL'étude technique du fabricant établit que :\n- Dans ce logement, $40\,\%$ de l'eau totale consommée chaque jour est destinée aux douches et aux machines à laver.\n- Le système de filtrage récupère efficacement $75\,\%$ de cette eau grise pour la réutiliser.\nL'eau traitée est stockée dans un réservoir en forme de pavé droit dont la base rectangulaire mesure $1,2\text{ m}$ de long sur $0,65\text{ m}$ de large et dont la hauteur maximale utilisable est de $1,5\text{ m}$.\na) Modéliser la quantité d'eau récupérée : calculer combien de litres la famille récupère en un jour et combien d'hectolitres ($hL$) représente cette quantité cumulée au bout d'une semaine ($7\text{ jours}$).\nb) Calculer la capacité maximale en litres du réservoir de stockage ($1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}$).\nc) Si, au début d'une période, le réservoir contenait déjà $210\text{ dm}^3$ d'eau et qu'on ne prélève rien de l'eau qui arrive, combien de jours complets pourront s'écouler avant que le réservoir ne commence à déborder ? De combien de centimètres le niveau de l'eau monte-t-il chaque jour dans le réservoir ?