Exercices: Mesure du volume

Convertir dans les unités indiquées :

a) $3\ \text{m}^3$ en décimètres cubes.

b) $4\,500\ \text{dm}^3$ en mètres cubes.

c) $0,75\ \text{dm}^3$ en centimètres cubes.

Exprimer en décimètres cubes : $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.

Exprimer sous forme complexe : $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.

Recopier et compléter dans votre cahier :

a) $75\ \text{l} =$ ____ $\text{dm}^3$

b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ ____ litres

c) $0,5\ \text{m}^3 =$ ____ litres

Dans quelle unité exprimeriez-vous le volume de chacun de ces objets ? Choisir parmi $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ et $\text{hm}^3$, et justifier votre choix :

a) Un morceau de sucre.

b) Un sac à dos.

c) L'eau d'un lac de barrage.

d) Une piscine municipale.

Parmi les trois valeurs proposées pour chaque volume, une seule est raisonnable. La choisir et justifier votre réponse :

a) Une canette de soda : $3,3\ \text{cm}^3$, $330\ \text{cm}^3$ ou $3,3\ \text{dm}^3$.

b) Un lave-linge : $55\ \text{dm}^3$, $250\ \text{dm}^3$ ou $2,5\ \text{m}^3$.

c) Un verre d'eau : $25$ mL, $250$ mL ou $2,5$ L.

Observer l'escalier des unités de volume de la figure.

a) Par quel nombre multiplie-t-on en descendant d'une marche ? Et par quel nombre divise-t-on en la montant ?

b) À l'aide de l'escalier, exprimer $2,4\ \text{m}^3$ en décimètres cubes et en centimètres cubes.

Un réservoir d'eau a un volume de $2,5\ \text{m}^3$. Combien de litres d'eau peut-il contenir ? Combien de bidons de $5$ litres pourrait-on remplir ?

Chloé doit convertir $3,4\text{ m}^3$ en litres pour savoir combien d'eau il faut pour une piscine gonflable pour enfants. Dans son cahier, elle a écrit la démarche suivante :

« Comme $1\text{ dm}^3$ équivaut à $1\text{ litre}$, je passe d'abord en décimètres cubes : $3,4\text{ m}^3 = 340\text{ dm}^3$, parce que des mètres aux décimètres on descend une marche et, dans le tableau, on ajoute un zéro ou on décale la virgule d'un rang par dimension du plan, c'est-à-dire deux zéros. Donc elle peut contenir $340\text{ litres}$ ».

a) Identifier l'erreur commise par Chloé lors du changement d'unités de volume.

b) En vous appuyant sur l'idée d'un cube de $1\text{ m}$ d'arête formé de petits cubes de $1\text{ dm}$, expliquer pourquoi, en descendant d'une marche de volume, on multiplie par $1\,000$ et non par $10$ ni par $100$.

c) Corriger les calculs de Chloé et déterminer la contenance réelle de la piscine en litres.

Au laboratoire de sciences, il y a un aquarium en forme de pavé droit dont les dimensions intérieures sont $60\text{ cm}$ de long, $30\text{ cm}$ de large et $40\text{ cm}$ de haut.

a) Avant de faire des calculs détaillés, faire une estimation rapide : en pensant que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litre}$, pensez-vous que, pour le remplir, il faudra plus de $100$ bouteilles d'eau de $1,5\text{ litres}$ ou moins de $100$ ? Écrire votre prévision argumentée.

b) Convertir mentalement les trois dimensions en décimètres et calculer le volume exact de l'aquarium en décimètres cubes ainsi que sa contenance en litres.

c) Calculer exactement combien de bouteilles de $1,5\text{ litres}$ sont nécessaires pour le remplir complètement et comparer cette valeur à votre estimation initiale. Votre intuition était-elle juste ?

Exprimer en mètres cubes et calculer : $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Exprimer aussi le résultat en hectolitres.

Pendant un orage, il est tombé $45$ litres par mètre carré.

a) À combien de millimètres de hauteur d'eau cette pluie correspond-elle ?

b) Combien de litres sont tombés sur un jardin de $60\ \text{m}^2$ ?

c) Combien cela fait-il de mètres cubes ?

Un réservoir contient $1,2\ \text{m}^3$ d'eau. Combien de bouteilles de $750$ mL peut-on remplir avec cette eau ?

Une piscine démontable mesure $3\ \text{m}$ de long, $2\ \text{m}$ de large et $0,75\ \text{m}$ de profondeur.

a) Combien de litres d'eau la piscine peut-elle contenir ?

b) Si on la remplit avec un tuyau d'arrosage qui débite $15$ litres par minute, combien d'heures faut-il pour la remplir ?

Un réservoir vide pèse $12$ kg et, rempli de gazole, il pèse $522$ kg. Si la masse volumique du gazole est $0,85\ \text{kg/dm}^3$, combien de litres de gazole le réservoir contient-il ?

Pour mesurer le volume d'une pierre, on l'immerge dans un verre cylindrique contenant de l'eau, comme le montre la figure. Le diamètre intérieur du verre est $8$ cm et le niveau de l'eau passe de $5$ cm à $8$ cm.

a) De combien le niveau de l'eau a-t-il monté ?

b) Calculer le volume de la pierre en centimètres cubes (prendre $\pi \approx 3,14$).

Une baignoire est remplie d'eau jusqu'au bord. Manon y entre et $35$ litres d'eau débordent.

a) Quel est le volume, en décimètres cubes, de la partie du corps de Manon qui est immergée ?

b) Si Manon pèse $32$ kg, quelle est la masse volumique moyenne de son corps en $\text{kg/dm}^3$ ? La comparer à la masse volumique de l'eau ($1\ \text{kg/dm}^3$) et expliquer pourquoi elle peut flotter.

Un bloc de liège a un volume de $25\ \text{dm}^3$ et une masse volumique de $0,24\ \text{kg/dm}^3$.

a) Quelle est sa masse ?

b) Flottera-t-il sur l'eau ? Justifier la réponse en comparant les masses volumiques.

c) Quel volume de liège faudrait-il pour avoir une masse de $30$ kg ?

Une coopérative de jus de fruits conçoit un emballage en carton en forme de pavé droit. Pour respecter la réglementation commerciale, l'emballage doit contenir exactement $1\text{ litre}$ de jus et disposer en plus d'un espace libre de liquide en haut de $50\text{ cm}^3$ pour éviter que le jus ne se renverse à l'ouverture.

a) Quel doit être le volume intérieur total de l'emballage, exprimé en centimètres cubes ($\text{cm}^3$) ?

b) Si, pour des raisons d'ergonomie, la base de l'emballage doit être un rectangle de $7\text{ cm}$ de large sur $10\text{ cm}$ de long, quelle hauteur exacte la boîte doit-elle avoir ?

c) Si la machine de conditionnement n'accepte pas de boîtes de plus de $12\text{ cm}$ de hauteur, proposer de nouvelles dimensions intérieures entières pour la longueur, la largeur et la hauteur (en centimètres) qui conservent exactement le volume total nécessaire.

Pour remplir le réservoir d'arrosage du jardin scolaire, on a récupéré de l'eau de trois sources différentes : un bidon en apporte $0,45\text{ m}^3$, un autre récipient contient $280\text{ dm}^3$ et un collecteur d'eau de pluie en apporte $70\,000\text{ cm}^3$. On veut savoir combien d'arrosoirs de $8\text{ litres}$ on peut remplir avec tout le volume rassemblé. Deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Méthode de Clara : Convertir d'abord chacune des trois quantités en décimètres cubes (litres), les additionner et diviser le total par $8$.

• Méthode de David : Exprimer toutes les quantités en mètres cubes avec des nombres décimaux, les additionner, convertir la somme finale en centimètres cubes et diviser par $8\,000\text{ cm}^3$.

a) Effectuer les calculs en suivant pas à pas les deux méthodes et vérifier qu'on obtient le même résultat.

b) Laquelle des deux méthodes vous semble la plus efficace et la plus sûre pour éviter de se tromper en déplaçant des virgules ou en ajoutant des zéros ? Justifier votre choix en vous appuyant sur les équivalences entre les unités de volume et les unités de contenance.

Une association d'irrigants consomme $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ d'eau en une semaine.

a) Exprimer cette quantité en litres.

b) Si la consommation est répartie également entre les $7$ jours de la semaine, combien de litres sont consommés par jour ?

c) Exprimer la consommation quotidienne en mètres cubes.

Un bloc de béton de $1,5\ \text{m} \times 0,8\ \text{m} \times 0,4\ \text{m}$ a une masse volumique de $2\,400\ \text{kg/m}^3$.

a) Calculer son volume et sa masse.

b) Une grue peut soulever jusqu'à $1,5$ tonnes. Peut-elle déplacer le bloc ?

c) Pourrait-elle déplacer deux blocs à la fois ? Justifier la réponse.

La légende raconte qu'Archimède a découvert comment vérifier si la couronne du roi était en or pur en mesurant l'eau qu'elle déplaçait lorsqu'on l'immergeait. Sur la figure, une couronne de $750$ g est plongée dans une éprouvette contenant de l'eau.

a) Quel est le volume de la couronne ?

b) Calculer sa masse volumique en $\text{g/cm}^3$.

c) Sachant que la masse volumique de l'or est $19,3\ \text{g/cm}^3$ et celle de l'argent est $10,5\ \text{g/cm}^3$, la couronne pourrait-elle être en or massif ? Justifier la réponse.

Un barrage a une capacité de $0,45\ \text{km}^3$. Après une année de sécheresse, il est rempli à $62\%$ de sa capacité.

a) Combien d'hectomètres cubes d'eau contient-il ?

b) Combien cela fait-il de litres ? Exprimer le résultat en écriture scientifique.

c) Combien d'hectomètres cubes manque-t-il pour le remplir complètement ?

En convertissant $2,5\ \text{m}^3$ en centimètres cubes, Mihai écrit dans son cahier : $2,5\ \text{m}^3 = 2,5 \cdot 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$.

a) Expliquer l'erreur qu'il a commise.

b) Effectuer la conversion correcte.

c) Combien de litres représentent $2,5\ \text{m}^3$ ?

Un garage de $45\ \text{m}^2$ de surface a été inondé et l'eau atteint $0,6\ \text{m}$ de hauteur. On pompe l'eau avec une pompe qui évacue $45$ litres par minute.

a) Combien de litres d'eau y a-t-il dans le garage ?

b) Combien de temps la pompe mettra-t-elle à le vider ? Exprimer le résultat en heures.

Dire si ces affirmations sont vraies ou fausses, en justifiant :

a) $1\ \text{dm}^3$ équivaut à $1$ litre.

b) $1\ \text{m}^3$ équivaut à $100$ litres.

c) $1\ \text{cm}^3$ d'eau a une masse de $1$ gramme.

d) Pour passer de $\text{m}^3$ à $\text{cm}^3$, on multiplie par $1\,000$.

Un bloc de glace de $25\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}$ a une masse volumique de $0,92\ \text{kg/dm}^3$.

a) Calculer son volume en décimètres cubes.

b) Quelle est sa masse ?

c) En fondant, l'eau obtenue a une masse volumique de $1\ \text{kg/dm}^3$. Quel volume occupera-t-elle ? Occupe-t-elle plus ou moins de place que la glace ? À quoi cela est-il dû, selon vous ?

Lors d'un orage d'automne, Météo-France enregistre une précipitation cumulée de $65\text{ l/m}^2$ dans une commune. Le toit du gymnase municipal est plat et a une surface rectangulaire de $40\text{ m}$ de long sur $25\text{ m}$ de large. Toute l'eau qui tombe sur ce toit est dirigée vers une citerne souterraine cubique de $4\text{ m}$ d'arête qui, avant le début de la pluie, contenait déjà $12\,000\text{ litres}$ d'eau.

a) Démontrer, en utilisant les changements d'unités de volume et d'aire, pourquoi une précipitation de $1\text{ l/m}^2$ équivaut exactement à une hauteur (lame) d'eau de $1\text{ mm}$ d'épaisseur.

b) Modéliser mathématiquement la situation et calculer le volume d'eau de pluie, en mètres cubes, qui tombera sur le toit pendant l'orage.

c) Déterminer si la citerne débordera ou si elle aura une capacité suffisante pour stocker toute l'eau recueillie. Justifier en indiquant combien de litres il lui manquera pour être pleine ou combien de litres déborderont.

Pour calculer le volume d'une sculpture en bronze massif de forme très irrégulière, on l'immerge complètement dans un réservoir rempli d'eau jusqu'au bord et on recueille tout le liquide qui déborde dans un récipient cubique auxiliaire de $20\text{ cm}$ d'arête intérieure.

a) Sachant que l'eau recueillie remplit exactement les trois quarts du récipient auxiliaire, calculer le volume de la sculpture en décimètres cubes et l'exprimer aussi en litres.

b) En pesant sur une balance l'eau déplacée par la sculpture, l'instrument indique une masse de $6\text{ kg}$. Expliquer pourquoi cette mesure de masse confirme que les calculs de contenance et de volume de la question précédente sont corrects.

c) On prévoit de fabriquer une réplique à l'échelle $2:1$ de cette sculpture (c'est-à-dire en doublant chacune de ses dimensions : longueur, largeur et hauteur). Un membre de l'atelier affirme : « Comme elle est deux fois plus grande, l'immerger déplacera $12\text{ litres}$ d'eau, qui pèseront $12\text{ kg}$ ». Expliquer, à partir de la façon dont on calcule un volume en trois dimensions, pourquoi cette affirmation est incorrecte, et déterminer le volume réel (en $\text{dm}^3$) et la masse d'eau que déplacera la réplique.

Défi du thème. Audit géométrique et durabilité dans votre garde-manger.

1. Recueil de données : Choisir chez vous deux emballages d'usage courant : un polyèdre (comme une brique ou une boîte de céréales) et un solide de révolution (une boîte de conserve cylindrique ou un bocal). Mesurer leurs dimensions en centimètres avec une règle et noter la contenance nette indiquée sur l'étiquette (en $ml$ ou $cl$).

2. Calculs et équivalences : Modéliser les deux solides avec GeoGebra 3D ou consigner les données dans un tableur. Déterminer l'aire totale ($cm^2$) et le volume théorique ($cm^3$) de chaque solide. Convertir ce volume en litres ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$) et le comparer à la valeur de l'étiquette, en justifiant les éventuels écarts dus à l'épaisseur ou à l'espace de sécurité.

3. Proposition argumentée : Calculer le rapport $\text{Aire}/\text{Volume}$ pour les deux emballages. Rédiger un bref rapport (une page) proposant la forme la plus efficace pour commercialiser $0,5\text{ L}$ de produit en utilisant le moins de matériau possible et en minimisant l'empreinte écologique.

Seront évalués :

• La précision des mesures réelles, le calcul algébrique des aires et des volumes, et la bonne équivalence entre unités de contenance et de volume.

• L'usage rigoureux d'outils numériques (tableur ou GeoGebra) pour représenter et analyser les solides en trois dimensions.

• La qualité de la proposition finale et la justification mathématique de l'optimisation de l'emballage.