Exercices: Opérations sur les fractions

Lors d'un goûter entre amis, on a acheté plusieurs pizzas de même taille, toutes coupées en 8 parts égales.

• Marc a mangé $\frac{3}{8}$ d'une pizza.

• Sarah a mangé $\frac{2}{8}$ d'une pizza.

Calculer quelle fraction de pizza ils ont mangée à eux deux et combien de parts il reste si une seule pizza avait été entamée.

Pour un projet d'arts plastiques, un groupe d'élèves a une boîte contenant $60$ feutres. S'ils ont utilisé $\frac{2}{5}$ des feutres pour réaliser une fresque, combien de feutres ont-ils utilisés en tout ?

Calculer les sommes et différences de fractions de même dénominateur suivantes, en simplifiant le résultat lorsque c'est possible :

1. a) $\frac{5}{12} + \frac{1}{12}$

1. b) $\frac{11}{15} - \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{7}{9} + \frac{2}{9} - \frac{4}{9}$

Une jeune influenceuse consacre son après-midi à organiser ses vidéos. Elle passe $\frac{1}{4}$ du temps à filmer, $\frac{1}{3}$ à monter et utilise le reste du temps pour répondre aux commentaires. Calculer quelle fraction du temps total elle consacre à filmer et à monter (penser à chercher un dénominateur commun).

Effectuer les multiplications de fractions suivantes et simplifier les résultats jusqu'à obtenir la fraction irréductible :

1. a) $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$

1. b) $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$

1. c) $5 \cdot \frac{3}{10}$

Dans la cuisine d'un café, on veut répartir $3$ litres de jus d'orange dans des verres de $\frac{1}{4}$ de litre chacun. Combien de verres pourra-t-on remplir complètement ? Illustrer votre raisonnement en divisant chaque litre en parts. Sur la figure, les $3$ litres sont répartis en trois bouteilles de $1$ L ; vous pouvez la recopier dans votre cahier et diviser chaque bouteille.

Résoudre ces divisions en utilisant le produit en croix :

1. a) $\frac{4}{5} : \frac{2}{3}$

1. b) $\frac{1}{6} : \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{7} : 3$

La batterie d'une tablette indique qu'il lui reste $\frac{7}{10}$ de charge. Si, après avoir regardé quelques vidéos, elle a consommé $\frac{2}{5}$ de la charge totale, quelle fraction de batterie lui reste-t-il encore ? (Aide : transformer $\frac{2}{5}$ en une fraction de dénominateur $10$.)

À une fête d'anniversaire, il est resté deux plats contenant des parts de tortilla de pommes de terre de même taille : dans l'un il reste $\frac{1}{2}$ de tortilla et dans l'autre il en reste $\frac{1}{4}$. Serge veut calculer combien il reste de tortilla en tout et écrit dans son cahier :

1. a) Sans effectuer de calcul écrit, expliquer pourquoi le résultat de Serge est impossible dans la réalité (se demander s'il est logique, en réunissant de la nourriture, d'obtenir moins de la moitié de la tortilla qu'on avait déjà dans le premier plat).
2. b) Expliquer quelle est l'erreur mathématique commise par Serge en calculant avec les fractions.
3. c) Effectuer correctement la somme en réduisant au même dénominateur et exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.

Pour préparer une boisson isotonique dans le laboratoire du collège, vous versez dans une carafe de $2$ litres de capacité d'abord $\frac{4}{5}$ de litre d'eau minérale, puis vous ajoutez $\frac{7}{10}$ de litre de jus d'orange.

1. a) Estimer : Avant de calculer exactement, expliquer si la carafe va déborder (c'est-à-dire si la somme dépassera $2$ litres) et si le volume final sera supérieur, inférieur ou égal à $1$ un litre et demi ($\frac{3}{2}$ de litre). Justifier votre estimation en comparant mentalement chaque fraction à 1 ou à un demi.
2. b) Calculer : Déterminer la quantité exacte de liquide dans la carafe en additionnant les fractions avec le plus petit multiple commun. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.
3. c) Vérifier : Convertir votre fraction en nombre décimal et vérifier si cela confirme votre estimation de la question a).

Pour préparer une boisson tropicale, un groupe d'amis mélange $\frac{3}{4}$ de litre de jus d'ananas, $\frac{1}{3}$ de litre de jus d'orange et $\frac{5}{6}$ de litre d'eau gazeuse. Si, après avoir tout mélangé, ils boivent $\frac{2}{5}$ de litre avant de mettre le reste au réfrigérateur, quelle quantité de boisson reste-t-il en tout ? Exprimer le résultat simplifié en litres.

Une plateforme de streaming répartit son catalogue de séries en trois parties : $\frac{2}{5}$ sont des séries d'action, $\frac{1}{3}$ sont des comédies et le reste sont des documentaires. Si un utilisateur a déjà vu $\frac{3}{4}$ de toutes les séries d'action disponibles, quelle fraction du catalogue total représentent les séries d'action qu'il n'a pas encore vues ?

Calculer le résultat de l'opération suivante, en respectant les priorités opératoires et en simplifiant le résultat final jusqu'à obtenir la fraction irréductible :

Un jardinier a dépensé $\frac{2}{9}$ de l'argent qu'il avait pour ses outils dans l'achat d'une tondeuse et $\frac{3}{10}$ du budget initial dans un sécateur. S'il lui reste encore $172$ € de budget, combien d'argent avait-il au départ ?

(Indice : Calculer d'abord quelle fraction du total il a dépensée en additionnant les deux quantités.)

Appliquer les propriétés des puissances et des racines pour simplifier l'expression numérique suivante :

En cours de technologie, on découpe des tasseaux de bois. Nous avons un tasseau de $\frac{15}{2}$ mètres de long et nous voulons le diviser en morceaux égaux mesurant chacun $\frac{3}{4}$ de mètre. Combien de morceaux entiers obtiendrons-nous ? Restera-t-il du bois ?

Déterminer la valeur de l'inconnue $x$ dans l'égalité suivante portant sur des opérations avec des fractions :

Un drone décolle du sol et monte jusqu'à une hauteur de $12$ mètres. Puis, à cause d'une rafale de vent, il descend de $\frac{14}{3}$ de mètre. S'il remonte ensuite d'une hauteur égale à $\frac{2}{5}$ de la position où il se trouvait après la descente, à quelle hauteur au-dessus du sol se trouve finalement le drone ?

En classe de mathématiques, on propose de résoudre l'opération suivante :

Deux camarades de classe défendent des stratégies différentes :

• Sophie multiplie d'abord en ligne les numérateurs et les dénominateurs de la parenthèse, puis applique la division en multipliant en croix les grands nombres pour simplifier tout à la fin.

• Lucie transforme la division en multiplication par l'inverse, décompose les nombres en produit de facteurs premiers pour simplifier les facteurs communs en haut et en bas avant de multiplier, et calcule à la fin.

1. a) Résoudre l'opération en suivant pas à pas la méthode de Sophie.
2. b) Résoudre l'opération en suivant la méthode de Lucie, en indiquant clairement comment vous simplifiez avant de calculer.
3. c) Comparer les deux méthodes : laquelle est la plus efficace et réduit le risque d'erreurs de calcul avec de grands nombres ? Justifier la réponse.

Nous voulons résoudre un défi de logique avec des fractions : trouver deux fractions unitaires distinctes (c'est-à-dire de la forme $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$, avec des numérateurs égaux à $1$ et des dénominateurs entiers naturels différents) qui vérifient ces deux conditions à la fois :

1. Leur produit est exactement $\frac{1}{12}$.

2. Leur différence (la plus grande moins la plus petite) est exactement $\frac{1}{12}$.

1. a) Déduire en justifiant quels nombres doivent être $a$ et $b$ en analysant les diviseurs du dénominateur commun.
2. b) Effectuer les opérations et vérifier que les deux fractions satisfont à la fois la condition du produit et celle de la différence.
3. c) Expliquer pourquoi il serait impossible que la somme de deux fractions positives donne comme résultat une fraction inférieure à l'une quelconque des deux fractions initiales.

La rédaction d'un magazine pour jeunes analyse l'origine de ses lecteurs. Elle sait que $\frac{2}{5}$ du total vivent en France. Parmi les autres lecteurs, $\frac{3}{8}$ vivent dans des pays d'Amérique latine. S'il reste encore $1\,500$ lecteurs qui vivent dans le reste du monde, combien le magazine compte-t-il de lecteurs au total ?

Calculer le résultat de l'opération suivante, en simplifiant le résultat jusqu'à obtenir la fraction irréductible :

Dans un laboratoire de chimie, un récipient $A$ contient $\frac{3}{4}$ de litre d'alcool et un récipient $B$ contient $\frac{2}{3}$ de litre d'eau. On verse la moitié du contenu du récipient $A$ dans le récipient $B$. Quelle fraction de litre de mélange y a-t-il maintenant dans le récipient $B$ ? Si l'on renverse ensuite $\frac{1}{5}$ du mélange total de $B$, combien de litres reste-t-il dans ce récipient ?

Un architecte conçoit une maison écologique. Le jardin occupe les $\frac{2}{7}$ de la parcelle totale. La maison occupe les $\frac{3}{5}$ de la surface restante. Si le garage et la piscine occupent les $120$ $m^2$ restants, quelle est la surface totale de la parcelle ?

Déterminer la valeur de l'expression suivante contenant des puissances et des racines de nombres rationnels. Penser à appliquer les priorités opératoires et à simplifier au maximum :

Trois amis, Alice, Bruno et Camille, achètent une pizza géante pour dîner. Alice mange $\frac{1}{4}$ de la pizza. Bruno mange $\frac{1}{3}$ de ce qui reste. Camille mange les $\frac{2}{5}$ de ce qui reste après qu'Alice et Bruno ont mangé.

1. a) Quelle fraction de la pizza reste-t-il ?

1. b) Si la pizza pesait $1,2$ kg, combien de grammes chacun a-t-il mangés ?

Un cycliste parcourt une étape de $120$ km en trois tronçons. Pendant la première heure, il parcourt $\frac{2}{5}$ du trajet. Pendant la deuxième heure, à cause de la fatigue, sa vitesse diminue et il ne parcourt que $\frac{1}{3}$ de la distance qu'il lui restait à parcourir. Combien de kilomètres lui reste-t-il à parcourir pour la troisième heure ? Quelle fraction du total ce dernier tronçon représente-t-il ?

Calculer la valeur de l'inconnue $x$ dans l'égalité suivante d'opérations sur les fractions :

D'après les données de gestion d'une agence de l'eau en France, un barrage-réservoir commence l'automne avec une certaine réserve d'eau. Pendant le mois d'octobre, on enregistre les mouvements suivants :

• On libère $\frac{3}{8}$ de l'eau initiale pour l'irrigation agricole et le débit écologique de la rivière.

• Sur l'eau qui reste dans le réservoir après l'irrigation, $\frac{1}{5}$ s'évapore à cause des températures élevées de fin de saison.

• À la fin du mois, un épisode pluvieux apporte un volume d'eau équivalent à $\frac{1}{4}$ de l'eau présente initialement au début du mois.

Après ces variations, le réservoir contient exactement $150\text{ hm}^3$ (hectomètres cubes) d'eau.

1. a) Écrire une seule expression avec des fractions qui représente la fraction de l'eau initiale restant juste avant le début de l'épisode pluvieux.
2. b) Déterminer quelle fraction du volume initial se trouve dans le réservoir à la fin d'octobre.
3. c) Calculer combien d'hectomètres cubes d'eau contenait le réservoir au début du mois.
4. d) Justifier si, au cours du mois, le réservoir a gagné ou perdu de l'eau par rapport à son niveau initial, en comparant la fraction obtenue à 1.

Un TGV part de Paris en direction de Toulouse avec toutes ses places occupées et ne fait que deux arrêts intermédiaires pendant le trajet :

• Au premier arrêt (Orléans), exactement $\frac{1}{4}$ des voyageurs descendent et personne ne monte.

• Au deuxième arrêt (Limoges), une fraction inconnue $\frac{a}{b}$ des personnes qui se trouvaient à ce moment-là dans le train descend et personne ne monte non plus.

• Le train arrive à destination à Toulouse avec $120$ passagers, ce qui représente exactement $\frac{2}{5}$ du total des voyageurs qui avaient commencé le voyage à Paris.

1. a) Déduire combien il y avait de voyageurs au total dans le train au départ de Paris.
2. b) Calculer combien de personnes voyageaient dans le train juste après le départ de l'arrêt d'Orléans.
3. c) Quelle fraction des passagers initiaux de Paris représentent les voyageurs descendus à Limoges ?
4. d) Déterminer la valeur de la fraction inconnue $\frac{a}{b}$, c'est-à-dire quelle fraction des voyageurs présents à ce moment-là dans le train est descendue à Limoges. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible et justifier chaque étape.

Défi du thème. Comment ton foyer gère-t-il les ressources ? Deviens auditeur environnemental en analysant la consommation d'eau de ta maison et en la comparant à des données officielles.

1. Recueil de données : Consulte sur le site de l'INSEE la consommation moyenne d'eau en France (environ $133$ litres par personne et par jour) ou note le relevé du compteur de ta maison pendant deux jours consécutifs afin de calculer la consommation quotidienne réelle.

2. Fractions et nombres rationnels : Estime et classe la répartition de l'eau selon les activités (douche, chasse d'eau, cuisine, ménage). Exprime chaque usage comme une fraction du total et simplifie-la jusqu'à obtenir sa fraction irréductible, en justifiant son appartenance à l'ensemble des nombres rationnels ($\mathbb{Q}$). Détermine aussi deux fractions égales pour chaque cas en multipliant les valeurs.

3. Calcul avec des décimaux : Dans un tableur, sachant que le prix moyen du $m^3$ ($1000$ litres) est de $1,97$ €, effectue des calculs avec des nombres décimaux pour calculer le coût quotidien de chaque usage et la facture estimée pour un mois ($30$ jours).

4. Proposition argumentée : Rédige un rapport bref proposant un plan pour réduire $2/15$ de la consommation et calcule, avec des nombres décimaux, l'économie mensuelle en euros.

Seront évalués :

• L'obtention rigoureuse de fractions irréductibles et de fractions égales à partir de données réelles.

• L'exactitude des calculs combinés avec des nombres décimaux.

• L'organisation claire des données dans le tableur et la faisabilité de la proposition.