Exercices: Rapport

Sur un réseau social, la vidéo d'un influenceur a obtenu $450$ « j'aime » après avoir été vue par $3000$ personnes. Calculer le rapport entre le nombre de « j'aime » et le nombre de vues, simplifier le résultat et interpréter la valeur obtenue.

Une boutique de jeux vidéo propose un lot de $3$ housses pour manettes à $12,60$ €. Exprimer le rapport entre le prix et le nombre de housses. Comment appellerait-on habituellement ce résultat dans le langage courant ?

Calculer le rapport entre la base et la hauteur de l'écran de la tablette suivante et expliquer si le résultat serait le même si la tablette était deux fois plus grande en gardant la même forme.

Dans un contrôle de mathématiques de $20$ questions, Léa a répondu correctement à $15$ et s'est trompée à $5$. Écrire le rapport entre :

1. a) Le nombre de réussites et le nombre d'erreurs.
2. b) Le nombre de réussites et le nombre total de questions.

Indiquer dans chaque cas quel est l'antécédent et quel est le conséquent.

Pour préparer un mélange de peinture orange, un artiste utilise $3$ pots de peinture rouge pour $2$ pots de peinture jaune.

1. a) Exprimer le rapport entre la peinture rouge et la peinture jaune.
2. b) S'il veut conserver la même teinte et utilise $6$ pots de peinture jaune, combien de pots de rouge lui faudra-t-il ?

Une trottinette électrique parcourt $12$ kilomètres en $30$ minutes. Calculer le rapport entre la distance parcourue et le temps écoulé (exprimé en heures). Quelle grandeur physique ce rapport représente-t-il ?

Lors d'un entraînement de basket, Marc a marqué $8$ paniers sur $12$ tentatives, tandis que Pauline en a marqué $6$ sur $9$ tentatives.

1. a) Écrire le rapport de réussite de chacun.

1. b) Vérifier si les deux rapports forment une proportion. Qui est le plus adroit ?

Étant donné le rapport $\frac{4}{5}$, inventer un contexte réel pour des adolescents (par exemple lié au cinéma, aux vêtements ou au sport) dans lequel ces quantités sont utilisées et expliquer sa signification. Indiquer quelles grandeurs sont comparées.

Dans une classe de 4e, il y a $12$ filles et $18$ garçons. Mathis affirme à voix haute : « Le rapport entre les filles et les garçons est $\dfrac{12}{30}$, qui se simplifie en $\dfrac{2}{5}$, ce qui signifie que pour $2$ filles il y a $5$ garçons dans notre classe ».

1. a) Repérer et expliquer l'erreur conceptuelle commise par Mathis dans la construction des termes du rapport. Quelle grandeur a-t-il réellement placée au dénominateur ?
2. b) Écrire le rapport correct entre les filles et les garçons, le simplifier jusqu'à obtenir une fraction irréductible et interpréter avec vos propres mots ce que signifie le résultat dans ce contexte.
3. c) Si, dans le collège voisin, ce même rapport entre filles et garçons est exactement conservé et qu'on sait qu'il y a $24$ garçons, combien y a-t-il de filles dans ce collège ? Écrire la proportion correspondante et trouver la valeur inconnue.

Dans une pâtisserie artisanale de Nancy, on fabrique de la pâte d'amande traditionnelle en utilisant uniquement des amandes moulues et du sucre. Le maître pâtissier indique que le rapport entre la masse d'amandes et la masse de sucre doit être exactement de $3$ pour $2$ (c'est-à-dire $\dfrac{3}{2}$).

1. a) Proposer deux combinaisons différentes de quantités d'amandes et de sucre (en grammes) qui respectent exactement ce rapport, de sorte que la masse totale du mélange ne dépasse en aucun cas $600\text{ g}$.
2. b) Si vous disposez d'un paquet fermé de $450\text{ g}$ d'amandes moulues et que vous voulez l'utiliser en entier sans qu'il en reste, quelle quantité exacte de sucre faut-il ajouter pour conserver la proportion ? Poser la proportion avant d'isoler l'inconnue.
3. c) Un apprenti affirme qu'en mélangeant $350\text{ g}$ d'amandes avec $250\text{ g}$ de sucre, la proportion est conservée parce qu'il « a ajouté $50\text{ g}$ à chaque ingrédient par rapport au mélange de $300\text{ g}$ et $200\text{ g}$ ». Justifier mathématiquement, à l'aide de rapports, pourquoi son raisonnement est erroné.

Sur une plateforme de streaming, un modérateur a compté qu'au cours des $45$ dernières minutes, $1350$ messages sont apparus dans le chat de la diffusion.

1. a) Calculer le rapport entre le nombre de messages et le temps écoulé en minutes.
2. b) Expliquer ce que signifie le résultat obtenu dans le contexte du problème.
3. c) Si le rapport reste constant, combien de messages recevra-t-on en une heure complète ?

Pour une fête de fin d'année, les élèves comparent deux offres de sachets de chips pour savoir laquelle est la plus économique. La marque « Crunch » propose un sachet de $250$ g pour $1,75$ €, tandis que la marque « Snack » vend un sachet de $400$ g pour $2,60$ €.

1. a) Calculer le rapport entre le prix et la masse (en euros par gramme) pour chaque marque.
2. b) À l'aide des rapports obtenus, indiquer laquelle des deux marques est la moins chère.

Un graphiste travaille avec deux formats d'image. Le premier format mesure $12$ cm de large et $18$ cm de haut. Le second format mesure $20$ cm de large et $30$ cm de haut.

1. a) Calculer le rapport entre la largeur et la hauteur pour chacun des formats.
2. b) Ces dimensions sont-elles proportionnelles ? Justifier la réponse en comparant les rapports.

Pour obtenir un ton de peinture vert olive, un peintre mélange des pots de peinture blanche, jaune et noire. Le rapport entre la quantité de peinture jaune et de peinture blanche est de $3/4$, et le rapport entre la peinture noire et la jaune est de $1/5$.

Si, pour une pièce, il a utilisé $2$ litres de peinture blanche :

1. a) Combien de litres de peinture jaune a-t-il utilisés ?
2. b) Quel est le rapport entre la peinture noire et la peinture blanche dans ce mélange ?

Lors d'un entraînement de basket, Lucie a marqué $18$ paniers sur ses $30$ tirs, tandis que Marc en a marqué $14$ sur ses $20$ tirs.

1. a) Calculer le rapport de réussite (tirs réussis sur tirs totaux) de chaque joueur sous forme de nombre décimal.
2. b) Lequel des deux joueurs a eu la meilleure performance à l'entraînement ?

On a construit une maquette d'un nouveau complexe sportif municipal. Le bâtiment réel a une longueur totale de $75$ mètres, tandis que sur la maquette cette même distance mesure $30$ centimètres.

1. a) Calculer le rapport entre la mesure sur la maquette et la mesure réelle (penser à exprimer les deux dans la même unité).
2. b) Quelle est l'échelle utilisée pour la maquette ?

La densité de population est le rapport entre le nombre d'habitants d'un territoire et sa superficie exprimée en $km^2$. Observer les données de ces deux départements fictifs :

• Département A : $450\,000$ habitants et $15\,000$ $km^2$.

• Département B : $280\,000$ habitants et $7\,000$ $km^2$.

1. a) Calculer la densité de population de chaque département et interpréter le résultat.
2. b) Lequel des deux départements est le plus « peuplé » par rapport à sa taille ?

Dans un collège, le rapport entre le nombre d'élèves et le nombre de professeurs est de $18$.

1. a) Expliquer par une phrase ce que signifie cette valeur du rapport.
2. b) Si le collège compte actuellement $32$ professeurs, combien d'élèves y sont inscrits ?
3. c) Si l'on s'attend à ce que le nombre d'élèves passe à $630$ l'année prochaine, combien de professeurs faudrait-il pour conserver le même rapport ?

Lors d'une étape de moyenne montagne du Tour de France, on analyse deux cols :

• Le col du Chêne a une longueur horizontale de $6\text{ km}$ et franchit un dénivelé cumulé de $420\text{ m}$.

• Le col des Hazas a une longueur horizontale de $9\text{ km}$ et franchit un dénivelé cumulé de $540\text{ m}$.

(Le rapport entre le dénivelé en mètres et la distance en kilomètres détermine la difficulté moyenne du col en $\text{m/km}$.)

1. a) Avant de calculer un quotient exact, arrondir mentalement les données et estimer, en justifiant, lequel des deux cols est selon vous le plus raide (plus grand rapport dénivelé/distance). Expliquer sur quoi vous vous êtes appuyé pour formuler votre estimation.
2. b) Calculer précisément le rapport entre le dénivelé et la distance pour chaque col, en exprimant le résultat sous forme de nombre décimal. Vérifier si votre estimation initiale était correcte.
3. c) L'organisation veut concevoir un nouveau tronçon de liaison de $5\text{ km}$ avec le même rapport dénivelé/distance que le col du Chêne. Poser la proportion et calculer combien de mètres de dénivelé doit avoir ce tronçon. Déterminer si le résultat obtenu est cohérent avec les pentes de l'étape.

Selon les données du recensement publiées par l'INSEE, le département de la Creuse compte environ $90\,000$ habitants sur une superficie d'environ $10\,300\text{ km}^2$, tandis que le département du Morbihan compte environ $945\,000$ habitants sur une superficie d'environ $4500\text{ km}^2$.

1. a) Modéliser mathématiquement cette situation en posant le rapport qui définit la densité de population (nombre d'habitants par kilomètre carré) pour chacun des deux départements. Calculer sa valeur décimale en arrondissant au dixième.
2. b) Interpréter la signification réelle des deux valeurs décimales : que représente ce nombre dans la vie quotidienne et dans la répartition spatiale des habitants de chaque département ?
3. c) Si un canton de l'intérieur du Morbihan a une superficie de $350\text{ km}^2$ et conserve exactement la même densité moyenne départementale, combien d'habitants y résident ? Poser la proportion $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ et calculer l'inconnue à l'aide de la propriété des produits en croix.

Dans un atelier de peinture artistique, on réalise deux nuances de vert émeraude en mélangeant de la peinture bleue et de la peinture jaune. Le mélange A contient $5$ parts de peinture bleue pour $3$ de peinture jaune. Le mélange B utilise $8$ parts de peinture bleue pour $5$ de peinture jaune.

1. a) Déterminer le rapport entre le bleu et le jaune dans les deux mélanges, en l'exprimant sous forme de nombre décimal.

1. b) Si l'on veut que la fresque soit la plus « bleutée » possible, quel mélange faut-il choisir ? Justifier la réponse en comparant les rapports.

1. c) Si l'on décide d'ajouter $2$ parts de chaque couleur au mélange A, le rapport initial va-t-il changer ? Justifier mathématiquement.

Un concepteur de jeux vidéo compare deux écrans pour son nouveau poste de travail. Le premier écran est au format « panoramique standard », avec un rapport largeur/hauteur de $16:9$. Le second est un écran « ultra-large » avec un rapport de $21:9$.

1. a) Si les deux écrans ont exactement la même hauteur de $36$ cm, quelle est la différence entre leurs largeurs ?

1. b) Calculer le rapport entre l'aire de l'écran ultra-large et l'aire de l'écran standard. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.

Sur une carte de haute précision des Pyrénées, l'échelle est indiquée par un rapport de $1:50\thinspace000$. Un randonneur mesure sur la carte la distance entre deux refuges et obtient $14,2$ cm. Pourtant, en consultant une application numérique, il constate que la distance réelle est de $7,5$ km.

1. a) Calculer le rapport réel (l'échelle) entre la mesure sur la carte et la mesure donnée par l'application numérique.

1. b) Quelle est l'erreur, en centimètres, de la carte par rapport à la distance donnée par l'application ?

Une entreprise de messagerie utilise des drones pour livrer des colis. On sait que le rapport entre le poids du colis ($P$, en kg) et la consommation de batterie ($B$, en % par kilomètre) suit une relation constante de $1,5 : 0,4$.

1. a) Si un colis pèse $4,5$ kg, quelle sera la consommation de batterie par kilomètre parcouru ?

1. b) Si un drone ne dispose plus que de $12\%$ de batterie et doit effectuer une livraison à $5$ km de distance, quel est le poids maximal (rapport poids/distance) qu'il pourrait transporter pour arriver juste à destination ?

Dans une étude d'architecture bioclimatique, on analyse le rapport entre la surface des fenêtres et la surface totale des murs d'une pièce afin d'optimiser la lumière naturelle. Dans une pièce de $25$ $m^2$ de murs, il y a deux fenêtres : une de $120$ cm $\times$ $150$ cm et une autre, circulaire, de $80$ cm de rayon.

1. a) Calculer le rapport entre la surface totale vitrée et la surface des murs. (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

1. b) Si la recommandation idéale est un rapport de $1:5$, combien de $m^2$ de vitrage y a-t-il en trop ou manque-t-il pour l'atteindre ?

L'« indice de masse corporelle » (IMC) est le rapport entre la masse d'une personne ($m$, en kg) et le carré de sa taille ($h$, en mètres), c'est-à-dire $IMC = \frac{m}{h^2}$.

1. a) Si un athlète de $1,80$ m a un IMC de $22,5$, quelle est sa masse ?

1. b) Si un autre athlète pèse $85$ kg et mesure $1,92$ m, calculer son IMC. Quel est le rapport entre l'IMC du second athlète et celui du premier ? Exprimer le résultat avec deux décimales.

On souhaite construire une maquette d'un gratte-ciel. Le rapport de réduction entre la maquette et le bâtiment réel est de $1:250$.

1. a) Si l'aire de la base du bâtiment réel est de $1\thinspace200$ $m^2$, quel est le rapport entre l'aire de la base de la maquette et celle du gratte-ciel réel ?

1. b) Calculer l'aire de la base de la maquette en centimètres carrés. (Attention : rappelez-vous que le rapport des aires est le carré du rapport des longueurs.)

Lors d'une compétition de tir à l'arc, le score d'un archer est analysé par le rapport entre « flèches au centre » et « flèches tirées au total ».

• L'archer A a obtenu un rapport de $7:12$ sur $48$ tirs.

• L'archer B a obtenu un rapport de $5:8$ sur $40$ tirs.

1. a) Lequel des deux archers a été le plus efficace ? Justifier en comparant les rapports à l'aide d'un dénominateur commun.

1. b) Si l'archer A veut égaler le rapport d'efficacité de l'archer B lors de sa prochaine série de $24$ flèches, combien de ces nouvelles flèches doit-il obligatoirement planter au centre ?

Pour vérifier si deux rapports forment une proportion (c'est-à-dire si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$), on peut utiliser trois méthodes différentes :

• Méthode 1 (valeur décimale) : calculer le quotient décimal de chaque rapport et vérifier s'ils coïncident.

• Méthode 2 (fraction irréductible) : simplifier les deux rapports en divisant par leur PGCD et comparer les fractions irréductibles.

• Méthode 3 (produits en croix) : vérifier si l'égalité $a \cdot d = b \cdot c$ est satisfaite.

On présente deux couples de rapports obtenus en comparant la consommation de carburant de différents véhicules :

• Couple A : $\dfrac{7}{13}$ et $\dfrac{21}{39}$

• Couple B : $\dfrac{1200}{1800}$ et $\dfrac{1400}{2100}$

1. a) Pour le couple A, appliquer la méthode 1 et la méthode 3. Expliquer pourquoi la méthode 1 peut poser problème à cause de l'arrondi des décimales périodiques illimitées, alors que la méthode 3 garantit une réponse exacte.
2. b) Pour le couple B, comparer l'effort de calcul entre la méthode 2 et la méthode 3 si vous deviez résoudre à la main sans calculatrice. Justifier laquelle des deux est nettement plus rapide et plus sûre dans ce cas.
3. c) Formuler une conclusion argumentée : dans quelles conditions convient-il de choisir la méthode des produits en croix et dans lesquelles vaut-il mieux simplifier en fraction irréductible ?

Aux urgences d'un hôpital de secteur, la direction médicale établit que le rapport optimal entre le nombre de patients en attente et le nombre de médecins de garde doit être au maximum de $8$ pour $1$ (c'est-à-dire un rapport de $\dfrac{8}{1}$).

Une nuit de forte affluence, $78$ personnes attendent dans la salle et seulement $6$ médecins les prennent en charge.

1. a) Modéliser la situation en calculant le rapport actuel de patients par médecin sous forme de nombre décimal. Interpréter le résultat obtenu et déterminer si le service respecte la recommandation ou si l'équipe est surchargée.
2. b) Si, au cours de cette nuit, il n'est pas possible d'ajouter un seul médecin, combien de patients au maximum devraient être en attente pour que le rapport soit exactement celui recommandé de $8:1$ ? Combien de patients faudrait-il rediriger vers d'autres centres de soins primaires pour y parvenir ?
3. c) On suppose qu'au petit matin de nouveaux patients arrivent et que le total des personnes en attente monte à $96$. Pour faire face à la situation avec une meilleure qualité de soins, la direction fixe un nouveau rapport plus exigeant de $6$ patients par médecin. Poser une équation à partir de la proportion $\dfrac{96}{6 + x} = \dfrac{6}{1}$ pour calculer combien de médecins de renfort ($x$) doivent être appelés immédiatement, et expliquer chaque étape de la résolution.