Exercices: Indicateurs de position et de dispersion

Les âges des cousins de Noa sont : $8$, $10$, $12$, $10$ et $10$ ans. Calculer la moyenne de leurs âges.

Les points marqués par une joueuse lors de ses $7$ derniers matchs sont : $9$, $14$, $6$, $11$, $8$, $12$ et $10$.

1. a) Ranger les données dans l'ordre croissant.
2. b) Quelle est la médiane ?

Les pointures des $11$ joueurs d'une équipe de futsal sont : $38$, $39$, $40$, $39$, $41$, $39$, $40$, $42$, $39$, $38$ et $39$. Quel est le mode ? Que signifie cette donnée pour le responsable du matériel sportif ?

Une application météo a enregistré ces températures minimales (en °C) pendant une semaine de janvier : $2$, $-1$, $0$, $-3$, $1$, $4$ et $-2$. Calculer l'étendue des températures minimales de cette semaine.

Le diagramme en points montre les buts marqués par une équipe lors de ses derniers matchs.

1. a) Combien de matchs l'équipe a-t-elle joués ?
2. b) Dans combien de matchs n'a-t-elle marqué aucun but ?
3. c) Quel est le mode du nombre de buts ? Y a-t-il un seul mode ?
4. d) Quelle est l'étendue ?

Lors d'un tournoi d'échecs scolaire, Alex a obtenu ces points lors des $5$ rondes : $3$, $5$, $4$, $5$ et $3$. Calculer sa moyenne de points par ronde.

Le tableau indique le nombre de livres lus ce trimestre par les élèves d'une classe :

1. a) Quel est le mode du nombre de livres lus ?
2. b) Combien d'élèves y a-t-il dans la classe ?
3. c) Combien d'élèves ont lu plus de $1$ livre ?

Les temps (en secondes) de $6$ nageurs lors d'une épreuve de $25$ mètres sont : $31$, $28$, $35$, $29$, $33$ et $30$. Nous allons calculer leur médiane pas à pas :

1. a) Ranger les temps dans l'ordre croissant.
2. b) Comme le nombre de données est pair, quelles sont les deux valeurs centrales ?
3. c) La médiane est la moyenne de ces deux valeurs : la calculer.

Pour calculer la médiane et l'étendue du nombre de livres lus au cours de la dernière année par un groupe de $5$ amis ($4$, $1$, $5$, $2$ et $8$), Marc a écrit ceci dans son cahier :

« La donnée au centre de la liste telle qu'on nous la donne est $5$, donc la médiane est $Me = 5$. L'étendue est $8 - 4 = 4$, parce que j'ai soustrait la dernière valeur moins la première ».

1. a) Trouver les deux erreurs commises par Marc et expliquer avec tes mots pourquoi son raisonnement n'est correct dans aucun des deux cas.
2. b) Corriger les calculs de Marc et déterminer les valeurs correctes de la médiane et de l'étendue.

Météo-France a enregistré les températures maximales suivantes (en $^\circ\text{C}$) pendant une semaine du mois d'avril à Gap : $14$, $16$, $15$, $19$, $17$, $13$ et $18$.

1. a) Avant de faire toute opération par écrit, observer les données et estimer entre quelles deux valeurs entières doit se situer la moyenne. Penses-tu qu'elle sera plus proche de $14\text{ }^\circ\text{C}$ ou de $17\text{ }^\circ\text{C}$ ? Justifier l'estimation.
2. b) Calculer exactement la moyenne, la médiane et l'étendue des températures maximales enregistrées.
3. c) Vérifier si la valeur exacte de la moyenne confirme l'estimation initiale et justifier si le résultat obtenu est raisonnable compte tenu de l'étendue de la semaine.

On a demandé aux $30$ élèves d'une classe combien de fois ils sont allés au gymnase du quartier le mois dernier. Les résultats sont :

1. a) Calculer la moyenne du nombre de visites.
2. b) Quel est le mode ? Que signifie-t-il dans ce contexte ?

Un site de vente en ligne compare les prix d'une même paire de baskets sur $8$ sites différents et relève ces valeurs, en euros : $42$, $38$, $45$, $39$, $50$, $36$, $41$ et $44$.

1. a) Ranger les prix du plus petit au plus grand.
2. b) Calculer la médiane des prix. Rappel : avec un nombre pair de données, il y a deux valeurs centrales.
3. c) Quelle est l'étendue ? L'interpréter : y a-t-il une grande différence de prix entre les sites ?

Lors d'un concours scolaire d'adresse au ballon, chaque participant effectue $10$ lancers et l'on note les réussites. Le tableau présente les résultats de tous les participants :

1. a) Combien y a-t-il eu de participants en tout ?
2. b) Quel est le mode du nombre de réussites ?
3. c) Calculer l'étendue de la série.
4. d) Calculer la moyenne de réussites par participant, en arrondissant au dixième.

Le graphique montre les températures maximales relevées dans une ville pendant une semaine de printemps.

1. a) Calculer la moyenne des températures maximales de la semaine, en arrondissant au dixième.
2. b) Calculer l'amplitude thermique de la semaine (différence entre la maximale et la minimale).
3. c) Quel jour de la semaine s'est le plus écarté de la moyenne ? Justifier votre réponse.

Le diagramme en barres montre les notes du dernier contrôle de mathématiques d'une classe.

1. a) Combien d'élèves ont passé le contrôle ?
2. b) Quel est le mode des notes ?
3. c) Calculer la médiane des notes.
4. d) Calculer la moyenne arithmétique, en arrondissant au centième. La classe a-t-elle la moyenne, c'est-à-dire au moins 5 sur 10 ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Dans une matière, la note du trimestre se calcule ainsi : la moyenne des trois travaux compte pour $40\%$ de la note finale et le contrôle compte pour $60\%$. Les travaux de Hugo ont été notés $7$, $8$ et $6$, et il a obtenu $7,5$ au contrôle.

1. a) Calculer la moyenne des trois travaux.
2. b) Calculer sa note finale du trimestre en appliquant les pourcentages.
3. c) Aurait-il réussi si l'examen comptait pour $50\%$ et les travaux pour les autres $50\%$ ? Vérifier.

Les âges des $6$ membres d'une bande d'amis sont : $11$, $12$, $11$, $13$, $12$ et $12$ ans.

1. a) Calculer la moyenne et la médiane des âges.
2. b) Le grand frère de l'un d'eux, qui a $24$ ans, commence à retrouver la bande. Calculer la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane.
3. c) Laquelle des deux mesures a le plus changé ? Laquelle décrit le mieux l'« âge typique » du groupe après le changement ? Justifier la réponse.

On a demandé à $40$ élèves quel est leur type de film préféré et les résultats sont les suivants : aventure, $12$ votes ; comédie, $12$ votes ; animation, $9$ votes ; science-fiction, $5$ votes ; documentaire, $2$ votes.

1. a) Quel est le mode de ce caractère ?
2. b) Cela a-t-il un sens de calculer la moyenne ou la médiane de ces données ? Expliquer pourquoi.
3. c) Lorsqu'un caractère a deux valeurs ayant le même effectif maximal, on dit qu'il est bimodal. Est-ce le cas ici ? Justifier la réponse.

Lors d'un tournoi scolaire de basket à Bordeaux, l'équipe de ton établissement a disputé $5$ matchs. On connaît les paramètres statistiques suivants sur ses scores :

• La moyenne de points est exactement $46$.

• Le mode est $52$ points (et c'est la seule valeur qui se répète).

• La médiane est de $46$ points.

• L'étendue des scores est de $14$ points.

1. a) Déduire les points exacts marqués par l'équipe lors de chacune des $5$ rencontres et les écrire dans l'ordre croissant. Expliquer pas à pas comment chaque valeur a été déduite à partir des indices statistiques.
2. b) Si, lors d'un sixième match, l'équipe marque $58$ points, que se passera-t-il pour l'étendue et pour la moyenne de la saison ? Justifier si elles vont augmenter, diminuer ou rester identiques sans calculer leurs nouvelles valeurs.

Le service environnement d'une commune a réalisé une enquête auprès de $20$ familles d'un quartier sur le nombre de fois où elles se rendent au conteneur à verre au cours d'un mois. Les réponses sont :

$1$, $4$, $2$, $3$, $2$, $1$, $5$, $2$, $3$, $4$, $2$, $6$, $3$, $2$, $1$, $2$, $4$, $3$, $2$ et $8$.

1. a) Dresser un tableau d'effectifs pour organiser les données, puis calculer le mode, la médiane et l'étendue des visites.
2. b) À l'aide du tableau d'effectifs, calculer le nombre moyen de visites au conteneur à verre par famille et interpréter le résultat.
3. c) Dans le bulletin municipal, une conseillère a publié : « La majorité des familles du quartier se rend $8$ fois par mois au conteneur pour recycler le verre, donc le conteneur se remplit rapidement ». À l'aide des indicateurs de position calculés, expliquer pourquoi l'affirmation de la conseillère est erronée et quel concept statistique elle a confondu avec la réalité.

Les temps d'écran quotidiens, en heures, de $9$ élèves d'une classe sont : $2$, $3$, $3$, $4$, $4$, $5$, $5$, $6$ et $12$.

1. a) Calculer la moyenne et la médiane de ces données.
2. b) L'une des données est beaucoup plus grande que les autres. Laquelle des deux grandeurs précédentes est la plus affectée par cette donnée ? Justifier votre réponse.
3. c) Si la donnée de $12$ heures était une erreur de l'enquête et qu'il s'agissait en réalité de $2$ heures, recalculer la moyenne et la médiane et expliquer ce qui a changé.

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant votre réponse ou en donnant un contre-exemple :

1. a) Dans une enquête sur la couleur préférée d'une classe, on ne peut calculer ni la moyenne ni la médiane.
2. b) Si l'on ajoute $2$ à toutes les données d'une série, la moyenne augmente de $2$ mais l'étendue ne change pas.
3. c) Le mode est toujours la plus grande valeur de la série.
4. d) Pour calculer la médiane, peu importe que les données soient en désordre.

Manon a obtenu ces notes aux quatre premiers contrôles de mathématiques : $5,5$ ; $6$ ; $7$ et $6,5$. Il ne reste qu'un contrôle avant la fin du trimestre et elle voudrait que sa moyenne soit exactement $6,5$.

1. a) Quelle note doit-elle obtenir au dernier contrôle ?
2. b) Et si elle se contentait d'une moyenne de $6$ ?
3. c) Pourrait-elle atteindre une moyenne de $7$ ? Justifier votre réponse.

Dans un championnat de basket de quartier, le tableau indique les paniers marqués par une équipe lors des matchs joués, mais un effectif a été effacé :

Sachant que la moyenne de paniers par match est exactement $1,4$ :

1. a) Poser l'équation qui permet de trouver $x$ et la résoudre.
2. b) Combien de matchs l'équipe a-t-elle joués en tout ?
3. c) Avec les données complètes, quel est le mode de la série ?

Pour calculer la moyenne du nombre de frères et sœurs de sa classe, Chloé a ce tableau :

Chloé fait le calcul suivant : $(0 + 1 + 2 + 3) : 4 = 1,5$ et affirme : « la moyenne est $1,5$ frères et sœurs ».

1. a) Expliquer quelle erreur Chloé a commise.
2. b) Calculer correctement la moyenne.
3. c) Chloé affirme aussi que « la médiane est $1,5$ parce qu'elle est entre $1$ et $2$ ». A-t-elle raison ? Calculer la médiane en rangeant les $30$ données et vérifier.

Deux équipes de handball ont marqué ces points lors de leurs $5$ derniers matchs :

• Équipe Alpha : $60$, $62$, $58$, $61$, $59$.

• Équipe Bêta : $45$, $80$, $52$, $70$, $53$.

1. a) Calculer la moyenne de points de chaque équipe.
2. b) Calculer l'étendue de chaque équipe.
3. c) Si vous étiez l'entraîneur adverse, quelle équipe vous semble la plus régulière ? Et la plus imprévisible ? Justifier vos réponses à l'aide des valeurs calculées.

Lors de la course solidaire du collège, les $12$ coureurs de l'équipe de 6e ont mis ces temps (en minutes) pour effectuer le parcours de $5$ km : $24$, $26$, $25$, $31$, $28$, $26$, $30$, $27$, $25$, $26$, $29$ et $33$.

1. a) Calculer la moyenne, la médiane, le mode et l'étendue des temps.
2. b) L'entraîneur dit qu'un temps est « bon » s'il est inférieur à la moyenne de l'équipe. Combien de coureurs ont réalisé un « bon » temps ?
3. c) L'année prochaine, le coureur le plus lent promet d'améliorer son temps de $5$ minutes. S'il y parvient et que les autres font le même temps, comment la moyenne et la médiane changent-elles ? Le calculer.

Les âges des $5$ membres d'un club de lecture sont : $10$, $14$, $15$, $21$ et $23$ ans.

1. a) Calculer la moyenne et la médiane actuelles.
2. b) Un nouveau membre s'inscrit et la médiane devient $16$ ans. Quel âge a le nouveau membre ?
3. c) Au lieu de cela, si le club voulait que la moyenne augmente exactement de $1$ an avec l'arrivée d'une sixième personne, quel âge devrait-elle avoir ?

Une start-up technologique de Nice compte $8$ personnes dont les salaires mensuels bruts sont : cinq programmeurs juniors qui gagnent $1250\text{ \euro}$ chacun, deux programmeurs seniors qui gagnent $1750\text{ \euro}$ chacun et le directeur général, qui gagne $6250\text{ \euro}$. Pour publier une offre d'emploi, le service des ressources humaines se demande comment communiquer le salaire typique et hésite entre deux options :

• Méthode A : indiquer le salaire moyen (moyenne arithmétique).

• Méthode B : indiquer le salaire médian (médiane).

1. a) Calculer le salaire moyen, le salaire médian et l'étendue des salaires de l'entreprise.
2. b) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle des deux représente le plus justement et le plus fidèlement le salaire d'un employé ordinaire de cette entreprise. Expliquer quel effet déformant le salaire du directeur produit sur la moyenne arithmétique.
3. c) Imaginer que l'entreprise décide de renoncer à la moyenne et à la médiane et de publier seulement que « l'étendue des salaires est de $5000\text{ \euro}$ ». Cette information serait-elle suffisante pour qu'un candidat sache approximativement combien il va gagner ? Justifier ce qu'apporte l'étendue et pourquoi elle ne remplace pas les indicateurs de position.

La Fédération française d'athlétisme doit sélectionner une représentante pour une compétition internationale sur $100\text{ m}$ haies. On analyse les temps chronométrés (en secondes) de deux athlètes, Sophie et Hélène, lors de leurs $6$ dernières courses :

• Temps de Sophie : $13,1$ ; $13,2$ ; $13,3$ ; $13,3$ ; $13,4$ et $13,5$.

• Temps d'Hélène : $12,6$ ; $12,8$ ; $13,1$ ; $13,5$ ; $13,8$ et $14,0$.

1. a) Calculer la moyenne, la médiane et l'étendue des temps de chacune des deux athlètes.
2. b) Si un analyste sportif ne regardait que la moyenne et la médiane, pourrait-il percevoir une différence entre la performance globale de Sophie et celle d'Hélène ? Expliquer quelle information décisive l'étendue apporte dans cette situation sur le profil de chaque coureuse.
3. c) L'équipe technique doit choisir une athlète pour une épreuve par équipes où l'on exige un temps régulier, sans mauvaise surprise de disqualification ou de retard, et une autre athlète pour une épreuve individuelle où l'on ne vise la médaille que si l'on descend sous $13\text{ s}$. Justifier, à l'aide des paramètres statistiques calculés, quelle athlète vous enverriez à chaque épreuve.
4. d) Si, lors d'une septième course, Sophie heurte une haie et réalise un temps atypique de $16,8\text{ s}$, expliquer laquelle de ses grandeurs statistiques (la moyenne ou la médiane) subira la plus grande variation et laquelle sera la mieux préservée, sans recalculer les valeurs.

Défi du thème. Quelle influence les écrans ont-ils sur notre entourage ? Vous allez mener une véritable enquête statistique pour analyser cette habitude dans votre communauté.

1. Recueil des données : Demander à $15$ personnes (famille ou camarades) combien d'heures par jour elles consacrent au téléphone portable (les décimaux sont acceptés, par ex. $1,5$ h ou $2,0$ h) ou relever les températures maximales des $15$ derniers jours sur le site de Météo-France. Identifier clairement la population, l'échantillon, l'individu et le type de caractère.

2. Tableau et calculs : Saisir les données dans un tableur (Excel, Calc ou Google Sheets). Construire le tableau d'effectifs (effectifs, fréquences et pourcentages). Calculer les indicateurs de position (moyenne $\bar{x}$, médiane et mode) et de dispersion (étendue).

3. Représentation : Construire le graphique statistique le plus pertinent (diagramme en barres ou courbe) en soignant les titres, les échelles et les légendes.

4. Rapport final : Rédiger un bref rapport avec votre proposition : analyser si les données sont homogènes ou dispersées et formuler une conclusion argumentée sur un usage sain du temps libre.

Seront évalués :

• L'identification correcte des notions clés et la construction précise du tableau d'effectifs.

• Le calcul exact des indicateurs de position et de dispersion à l'aide du tableur.

• La clarté et la rigueur de la représentation graphique numérique.

• La justification critique des conclusions à partir des paramètres obtenus.