Exercices: Représentation sur la droite

Observer la droite graduée suivante et identifier quel nombre entier relatif correspond à chacune des lettres marquées par un point :

Tracer dans votre cahier une droite graduée et y représenter les nombres entiers relatifs suivants : $+4$, $-3$, $0$, $+1$ et $-5$. Utiliser une distance de $1$ cm entre chaque nombre.

Sur un thermomètre, les températures au-dessus de zéro sont positives et celles au-dessous de zéro sont négatives. Représenter sur la droite verticale du thermomètre les températures suivantes d'une semaine d'hiver : $-2 ^\circ C$, $+5 ^\circ C$ et $0 ^\circ C$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Indiquer quel est le nombre entier relatif opposé à celui représenté par le point orange sur la droite. Représenter aussi cet opposé sur la même droite.

Un plongeur se trouve à $-10$ mètres de profondeur (sous le niveau de la mer). S'il remonte de $4$ mètres, à quelle position se trouve-t-il maintenant ? Le représenter sur une droite graduée verticale où $0$ correspond au niveau de la mer.

Observer la droite et écrire les nombres entiers relatifs manquants dans les cases vides, sachant que la distance entre deux graduations est de $1$ unité.

Rappel : sur la droite graduée, plus un nombre est à droite, plus il est grand. En vous appuyant là-dessus, utiliser les symboles $>$ (supérieur à) ou $<$ (inférieur à) pour comparer ces couples de nombres :

1. a) $-4$ _____ $+2$
2. b) $-1$ _____ $-5$
3. c) $+3$ _____ $0$
4. d) $-2$ _____ $+1$

Écrire les nombres entiers relatifs dont la valeur absolue est égale à $3$. Les représenter ensuite sur une droite graduée comme celle de la figure et expliquer ce que vous observez concernant leur position par rapport à zéro.

Lors d'un contrôle, Manon devait calculer la distance sur la droite graduée entre le nombre $-6$ et le nombre $+3$. Sur sa copie, elle a écrit :

« Comme la distance est la différence entre les nombres, je fais $+3 - 6 = -3$. Donc la distance entre les deux est de $-3$ unités ».

1. a) Identifier les deux erreurs commises par Manon (l'une conceptuelle sur le résultat d'une distance, l'autre sur la façon de poser la soustraction avec des nombres négatifs).
2. b) Expliquer avec vos mots pourquoi une distance ne peut jamais être négative sur la droite graduée.
3. c) Écrire l'opération correcte et calculer la distance réelle entre $-6$ et $+3$.

Sur une droite graduée, deux nombres entiers relatifs ont été marqués, $A$ et $B$. On sait que le milieu exact entre les deux est le nombre $-2$. On vous donne de plus que le point $A$ est le nombre $+4$.

1. a) Calculer la distance entre le point $A$ et le milieu $-2$.
2. b) Sachant que le milieu est à égale distance des deux extrémités, déduire par un raisonnement en quel nombre entier relatif doit se trouver le point $B$.
3. c) Appliquer la formule du milieu, $\dfrac{A+B}{2}$, en remplaçant $A$ et $B$ par leurs valeurs pour vérifier que votre résultat donne exactement $-2$.

Observer la droite graduée suivante sur laquelle trois points ont été marqués, $A$, $B$ et $C$. En tenant compte de la position du nombre $0$ et du nombre $+2$, identifier quel nombre entier relatif représente chaque lettre.

Tracer une droite graduée et y représenter tous les nombres entiers relatifs $x$ qui vérifient simultanément ces deux conditions :

1. Leur valeur absolue est strictement inférieure à $5$, c'est-à-dire : $|x| < 5$.

2. Ce sont des nombres strictement inférieurs à $-1$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Un drone d'inspection thermique effectue les déplacements suivants le long de l'axe vertical d'une cheminée industrielle. On considère que l'ouverture de la cheminée est au point $0$ mètres :

• Il part à $+12$ m de hauteur.

• Il descend de $15$ mètres pour examiner une fissure.

• Il remonte de $6$ mètres pour faire un relevé.

Représenter le parcours sur une droite verticale et marquer d'un point de couleur la position finale du drone. À quelle hauteur se trouve-t-il par rapport à l'ouverture de la cheminée ?

Sur la droite graduée, le milieu de deux nombres entiers relatifs est le point situé exactement à la même distance des deux.

• Représenter les nombres $-6$ et $+2$.

• Trouver visuellement le milieu entre eux et dire quel nombre il représente.

• Quelle est la distance (en unités) entre ce milieu et chacune des deux extrémités ?

Représenter sur une droite graduée les nombres entiers relatifs suivants. Choisir une échelle adaptée (où chaque graduation peut valoir plus de 1 unité) pour que tous tiennent dans votre dessin :

$S = \{ -15, +5, -20, +25, 0, -5 \}$

Identifier quels nombres entiers relatifs sont représentés par les points $M$ et $N$ sur cette droite, sachant que la distance entre deux graduations consécutives est toujours la même.

Trois scientifiques étudient un volcan sous-marin. Leurs positions par rapport au niveau de la mer ($0$ m) sont :

• Chercheur A : il se trouve dans un sous-marin à $-450$ mètres.

• Chercheur B : il est au sommet du volcan, à $+150$ mètres au-dessus du niveau de la mer.

• Chercheur C : il est sur un bateau à $0$ mètres.

Représenter ces trois positions sur une droite verticale. Si le chercheur A veut remonter jusqu'à la position du chercheur B, de combien de mètres doit-il monter au total ? Expliquer comment on le voit sur la droite.

Tracer une droite graduée et y placer le nombre $-3$. Représenter ensuite :

• Le point $A$, opposé de $-3$.

• Le point $B$, situé à $5$ unités à gauche de $-3$.

• Le point $C$, situé à $2$ unités à droite de $A$.

Quel nombre représente le point $C$ ? Quel est le plus petit des quatre nombres marqués sur la droite ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Météo-France enregistre dans une station de montagne des Alpes une température minimale de $-7\text{ }^\circ\text{C}$ à 7 h et une maximale de $+3\text{ }^\circ\text{C}$ à 15 h.

1. a) Avant de faire un calcul, placer mentalement les deux nombres sur la droite graduée et estimer si la température au milieu entre la minimale et la maximale sera positive, négative ou exactement nulle. Justifier la prévision en expliquant laquelle des deux températures est la plus éloignée de $0$.
2. b) Calculer l'écart total de température (variation en degrés) entre la minimale et la maximale à l'aide de la valeur absolue.
3. c) Calculer exactement la température au milieu en appliquant la formule $\dfrac{a+b}{2}$ et vérifier si l'estimation de la question a) était correcte.

Dans une gare multimodale à Paris, on prend le niveau de la rue comme cote $0\text{ m}$. Le quai souterrain du RER est situé à la cote $-12\text{ m}$, tandis que la passerelle supérieure d'accès aux autobus se trouve à la cote $+8\text{ m}$.

1. a) Modéliser cette situation sur une droite graduée et calculer la distance, en mètres, parcourue par un ascenseur panoramique qui va directement du quai du RER à la passerelle des autobus.
2. b) La direction de la gare veut placer un panneau d'information au milieu exact du trajet vertical de l'ascenseur. À quelle cote (en mètres) doit-il être installé ? Sera-t-il au-dessus ou au-dessous du niveau de la rue ?
3. c) Un technicien de maintenance travaille en un point situé exactement à $5\text{ m}$ du quai du RER (cote $-12\text{ m}$). À quelles deux cotes différentes ce technicien pourrait-il se trouver ? Justifier les deux possibilités.

Un explorateur cherche un trésor enterré sur un chemin rectiligne que l'on représente par une droite graduée. La carte lui donne les indices suivants :

1. Le trésor est à une position représentée par un nombre entier relatif $x$.

2. La distance entre $x$ et le nombre $-2$ est exactement de $5$ unités.

3. La valeur absolue de $x$ est supérieure à $4$.

Représenter sur la droite graduée les emplacements possibles du trésor et déterminer en quel(s) nombre(s) exact(s) il pourrait se trouver. Vous pouvez recopier cette droite graduée pour travailler dessus :

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Un drone de surveillance se déplace le long d'un axe horizontal. Sa base de recharge est au point $0$. Il effectue consécutivement les déplacements suivants :

• Il part de la base et se déplace jusqu'au point $+7$.

• De là, il recule de $12$ unités.

• Enfin, il se déplace vers une position $P$ telle que la distance totale parcourue depuis le départ soit de $25$ unités.

Si le drone se déplace toujours en ligne droite, en quel nombre entier de la droite se trouve le point $P$ ? Y a-t-il plus d'une solution possible ? Le représenter graphiquement.

Nous concevons un thermomètre spécial pour une expérience de physique. Nous devons marquer quatre points critiques : $A$, $B$, $C$ et $D$, qui vérifient les conditions suivantes :

• $A$ est l'opposé de $+3$.

• $B$ a une valeur absolue égale à $5$ et se situe à gauche de $A$.

• $C$ est un nombre entier relatif tel que $-1 < C < 4$ et sa distance à $A$ est la même que sa distance à $D$.

• $D$ est le plus grand nombre entier relatif possible qui soit strictement inférieur à $+6$.

Représenter les quatre points sur la même droite graduée (vous pouvez utiliser la droite de la figure comme modèle) et les ranger par valeur absolue croissante. Si deux points ont la même valeur absolue, l'indiquer.

Deux villes, Villafroide et Villachaude, sont reliées par une route rectiligne que l'on assimile à une droite graduée. Villafroide est au point $-15$ et Villachaude au point $+21$.

On veut installer une antenne de téléphonie en un point $M$ situé exactement à la même distance des deux villes.

1. Quel nombre entier relatif représente la position de l'antenne $M$ ?

2. Si une voiture part de Villafroide vers l'antenne et tombe en panne lorsqu'elle a parcouru $\frac{1}{3}$ de la distance totale entre la ville et l'antenne, à quel nombre de la droite s'est-elle arrêtée ?

Dans un jeu vidéo, un personnage se déplace sur une ligne de cases numérotées par des nombres entiers relatifs. Le joueur doit placer des « pièges » sur tous les nombres entiers $n$ qui vérifient simultanément ces deux conditions :

• La valeur absolue du nombre est inférieure ou égale à $6$ : $|n| \le 6$.

• La distance entre le nombre $n$ et le nombre $-3$ est supérieure à $4$ unités.

Tracer une droite graduée et marquer d'une croix orange toutes les positions où le joueur doit placer un piège. Combien y a-t-il de pièges au total ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Un historien crée une frise chronologique numérique. Il définit l'année $0$ comme le moment d'une grande découverte.

• La civilisation Alpha est apparue en l'année $-450$ et a duré $300$ ans.

• La civilisation Bêta a commencé juste à la fin d'Alpha et a duré deux fois plus longtemps.

• La civilisation Gamma est placée sur la droite de sorte que son année de début soit le milieu entre le début d'Alpha et la fin de Bêta.

Représenter sur une droite graduée (en choisissant une échelle adaptée, par exemple 1 unité = 100 ans) les points de début et de fin de chaque civilisation. En quelle année la civilisation Gamma a-t-elle commencé ?

On considère trois nombres entiers relatifs $a, b$ et $c$ placés sur la droite graduée, dont on sait ce qui suit :

• $a$ est l'opposé de la valeur absolue de $-8$.

• $c$ est un nombre tel que sa distance à $0$ est la moitié de la distance de $a$ à $0$, et $c$ est positif.

• $b$ est un nombre situé à la même distance de $a$ que de $c$.

Tracer la droite, placer les trois points et calculer la valeur de l'expression suivante à l'aide de leurs positions :

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Imaginons que la droite graduée est une corde tendue. On attache un poids au nombre $0$ et un autre au nombre $-12$.

1. Trouver la position d'un point $P$ (un nombre entier relatif) situé à une distance de $4$ unités du point $-6$. Combien y a-t-il de solutions ?

2. Si l'on cherche maintenant un point $Q$ tel que sa distance à $+2$ soit le double de sa distance à $-1$, quels nombres entiers relatifs pourraient être $Q$ ? Les identifier et les marquer sur la droite graduée.

On veut trouver tous les nombres entiers relatifs situés à une distance d'exactement $6$ unités du nombre $-2$ sur la droite graduée.

Deux élèves de 6e proposent deux démarches différentes :

• Méthode d'Alba : elle trace une droite graduée de $1$ en $1$, repère la position de $-2$ et compte visuellement $6$ graduations vers la droite puis $6$ graduations vers la gauche pour voir sur quelles marques elle tombe.

• Méthode de Sergio : il traduit le problème en opérations arithmétiques directes : comme se déplacer vers la droite revient à additionner et vers la gauche à soustraire, il calcule $(-2) + 6$ et $(-2) - 6$.

1. a) Appliquer les deux méthodes pas à pas et vérifier qu'elles donnent les mêmes nombres.
2. b) Imaginons maintenant que l'énoncé devienne : « Déterminer les nombres entiers relatifs situés à une distance de $235$ unités du nombre $-148$ ». Comparer les deux méthodes et justifier laquelle vous choisiriez parce qu'elle est plus efficace et évite les erreurs de comptage.
3. c) Résoudre le cas des $235$ unités de distance par rapport à $-148$ en employant la méthode choisie à la question b).

On cherche deux nombres entiers relatifs inconnus, $x$ et $y$ (avec $x < y$), représentés sur la droite graduée. Pour les découvrir, vous disposez uniquement de quatre indices :

1. La distance entre $x$ et $y$ est de $14$ unités.

2. Le produit des deux nombres est strictement négatif (c'est-à-dire $x \cdot y < 0$, ce qui signifie qu'ils sont de part et d'autre de $0$).

3. Le milieu entre $x$ et $y$ est un nombre entier relatif négatif.

4. La valeur absolue de l'un des deux nombres est exactement $4$.

1. a) Déduire par un raisonnement lequel des deux nombres, le positif ou le négatif, a pour valeur absolue $4$. (Aide : réfléchir à quel nombre doit être le plus éloigné de $0$ sur la droite pour que le milieu soit négatif.)
2. b) À partir de votre déduction, déterminer les valeurs exactes de $x$ et de $y$.
3. c) Calculer le milieu entre les valeurs trouvées et vérifier numériquement que les quatre conditions de l'énoncé sont satisfaites.