Exercices: Problèmes avec des nombres entiers relatifs

Dans une station de ski des Pyrénées, le thermomètre indiquait $-5^{\circ}C$ à sept heures du matin. À midi, la température avait augmenté de $8^{\circ}C$, mais à minuit, elle a baissé de $6^{\circ}C$ par rapport à la température de midi. Quelle température le thermomètre indiquait-il à la fin de la journée ?

Un livreur de repas à domicile entre dans l'ascenseur d'un grand centre commercial au troisième sous-sol, indiqué comme étage $-3$. Il monte d'abord de $7$ étages pour livrer une commande, puis descend aussitôt de $2$ étages pour en récupérer une autre. À quel étage se trouve le livreur après ces déplacements ?

Sur la figure, tu peux voir les étages de l'ascenseur et le point de départ.

Salma a $34\ €$ dans sa tirelire. Elle décide de s'acheter un livre qui coûte $15\ €$ et un sac à dos qui coûte $25\ €$. Comme elle n'a pas assez d'argent, ses parents lui disent qu'elle peut leur devoir ce qui manque. Quel nombre entier relatif représente le solde final de Salma vis-à-vis de ses parents ?

Un plongeur est immergé dans l'océan à une profondeur de $18$ mètres sous le niveau de la mer ($-18\ m$). S'il remonte de $7$ mètres pour observer un récif de corail, puis redescend de $4$ mètres, à quelle profondeur se trouve-t-il finalement ? Exprimer le résultat par un nombre entier relatif.

Lors d'un tournoi de jeux vidéo, l'équipe « Les Gamers » a cumulé $-150$ points en raison d'infractions. Si, lors de la dernière manche, elle obtient un bonus de $225$ points, combien de points a-t-elle maintenant au tableau d'affichage ?

Le sommet le plus haut d'une île volcanique se trouve à $1\ 200$ mètres au-dessus du niveau de la mer. Sur la même île, il existe une grotte sous-marine dont le fond est à $85$ mètres sous le niveau de la mer. Quelle différence d'altitude y a-t-il entre le sommet et le fond de la grotte ?

Un historien étudie la vie d'un sculpteur de la Grèce antique. D'après les registres, le sculpteur est né en $495$ av. J.-C. et est mort en $429$ av. J.-C. Combien d'années ce sculpteur a-t-il vécu ?

Paul a un solde de $-24\ €$ sur sa carte de transport parce qu'il a oublié de la recharger. S'il se connecte à l'appli de transport et effectue une recharge de $30\ €$, quel sera son nouveau solde disponible pour voyager ?

Pour savoir combien d'années a vécu l'empereur romain César Auguste, né en $63$ av. J.-C. et mort en $14$ apr. J.-C., Marc effectue dans son cahier l'opération suivante : $63 - 14 = 49$ années.

1. a) Expliquer en détail pourquoi la démarche de Marc est incorrecte du point de vue de la droite numérique et de l'écoulement du temps.
2. b) Quelle erreur a-t-il commise avec les signes des nombres entiers relatifs qui représentent chaque date historique ?
3. c) Écrire l'opération correcte avec des nombres entiers relatifs (en indiquant le signe de chaque année et la soustraction entre elles) et calculer l'âge réel auquel Auguste est mort.

Dans une station météorologique de Météo-France à Langres (Haute-Marne), le thermomètre indique à 7 h du matin une température de $-7\,^\circ\text{C}$. Au cours de la journée, on relève les variations de température suivantes : elle monte de $11\,^\circ\text{C}$ jusqu'à midi, baisse de $4\,^\circ\text{C}$ en milieu d'après-midi et baisse encore de $3\,^\circ\text{C}$ en début de nuit.

1. a) Avant de calculer le résultat exact, estimer en justifiant si la température finale à minuit sera positive, négative ou exactement $0\,^\circ\text{C}$, en comparant mentalement la hausse totale avec les baisses totales cumulées.
2. b) Écrire la chaîne d'additions avec des nombres entiers relatifs, calculer pas à pas et de gauche à droite la température indiquée par le thermomètre à la fin de la journée, et vérifier si ton estimation initiale était juste.

Dans une station de ski des Pyrénées, le thermomètre indiquait à 8 h du matin une température de $-6\,^\circ\mathrm{C}$. À 12 h, la température avait augmenté de $9\,^\circ\mathrm{C}$, et à 20 h elle avait baissé de $7\,^\circ\mathrm{C}$ par rapport à celle de midi. Quelle température le thermomètre indiquait-il à la fin de la journée ?

Un livreur Amazon commence sa journée à l'étage $3$ d'un grand centre logistique. Il descend d'abord de $5$ étages pour récupérer un colis au sous-sol, puis monte de $7$ étages pour le livrer dans un bureau et, enfin, descend encore de $3$ étages pour se reposer à la cafétéria. À quel étage se trouve la cafétéria ? Exprimer le résultat par un nombre entier relatif.

Manon a $45€$ sur son compte bancaire. Pendant le week-end, elle effectue les opérations suivantes : elle paie l'abonnement à une plateforme de séries pour $12€$, reçoit un virement instantané de son père de $20€$ et achète un livre qui lui coûte $15€$. Si, à la fin du dimanche, sa banque prélève des frais de tenue de compte de $3€$, quel est le solde final de son compte ?

Un plongeur qui explore une barrière de corail se trouve à $14$ mètres sous le niveau de la mer. S'il décide de descendre encore de $18$ mètres pour observer des vestiges archéologiques, puis remonte de $9$ mètres pour se rapprocher de la surface, à quelle profondeur se trouve-t-il maintenant ? Représenter la situation à l'aide de nombres entiers relatifs.

Pythagore, le célèbre mathématicien et philosophe grec, est né en $570$ av. J.-C. et mort en $495$ av. J.-C. À quel âge Pythagore est-il mort ? Utiliser des nombres entiers relatifs (en associant les années avant Jésus-Christ à des nombres négatifs) pour effectuer le calcul.

Dans un jeu de société, tu gagnes $15$ points pour chaque bonne réponse, mais tu perds $8$ points pour chaque erreur et $4$ points pour chaque question laissée sans réponse. Si, sur un total de $20$ questions, tu en as réussi $12$, tu t'es trompé à $5$ et tu n'as pas répondu aux autres, quel est ton score final ?

Un scientifique réalise une expérience de chimie. Il place un composé dans un congélateur spécial qui fait baisser la température de l'échantillon de $4^\circ C$ chaque heure. Si l'échantillon était initialement à une température ambiante de $18^\circ C$, quelle sera la température de l'échantillon après $6$ heures ? Exprimer le résultat par une opération combinée de nombres entiers relatifs.

Le sommet de l'Everest se trouve à une altitude de $+8\,848$ mètres au-dessus du niveau de la mer, tandis que le point le plus profond de la fosse des Mariannes se situe à $-11\,034$ mètres. Quelle est la distance verticale totale entre le point le plus haut et le point le plus bas de la planète ?

Une équipe de spéléologie explore un réseau de gouffres dans les Picos de Europa (Cantabrie). L'entrée de la grotte se situe à $+1\,240\text{ m}$ au-dessus du niveau de la mer. Au cours de l'expédition, elle relève les tronçons verticaux successifs suivants : elle descend un gouffre vertical de $180\text{ m}$, descend une rampe rocheuse de $95\text{ m}$ supplémentaires, escalade une cheminée intérieure en montant de $40\text{ m}$ et, enfin, descend un puits de $115\text{ m}$ jusqu'à atteindre une salle avec un lac souterrain.

1. a) Modéliser l'expédition en écrivant une seule expression avec des nombres entiers relatifs qui comprend l'altitude initiale et chacun des déplacements verticaux avec son signe.
2. b) Calculer l'altitude de la salle souterraine par rapport au niveau de la mer en effectuant les additions dans l'ordre, de gauche à droite.
3. c) Quelle distance verticale totale sépare l'entrée de la grotte du lac souterrain ?

Un monte-charge d'un centre de distribution logistique de Bordeaux se déplace entre des niveaux de stockage souterrains (nombres négatifs), la zone de chargement au niveau de la rue (étage $0$) et des étages supérieurs de bureaux (nombres positifs). Le responsable ne se souvient plus à quel étage il a laissé le monte-charge en début de journée, mais le registre numérique montre qu'il a effectué les déplacements consécutifs suivants : il est monté de $6$ étages, est descendu de $9$ étages, est monté de $4$ étages et, enfin, est descendu de $5$ étages, pour s'arrêter à l'étage $-2$.

1. a) Écrire une expression avec des nombres entiers relatifs où l'étage de départ est représenté par un trou ou un point d'interrogation, et déterminer en justifiant de quel étage le monte-charge est parti.
2. b) Vérifier ton résultat en calculant pas à pas chacun des étages intermédiaires par lesquels le monte-charge est passé, et déterminer si, à un moment du trajet, il s'est trouvé aux étages de bureaux (au-dessus de l'étage $0$).

Un jeune entrepreneur décide d'ouvrir une boutique en ligne de T-shirts personnalisés. Pendant son premier mois, il enregistre les mouvements suivants sur son compte bancaire :

• Il reçoit un investissement initial de $1\,200$ €.

• Il paie la location de la plateforme et la publicité : $450$ €.

• Il achète du matériel pour $600$ €.

• Il vend $45$ T-shirts à $15$ € chacun.

• On lui retourne $8$ T-shirts défectueux, pour lesquels il doit rembourser intégralement les clients.

• À la fin du mois, la banque lui prélève une commission de $12$ €.

Calculer le bilan final du mois et expliquer s'il a réalisé un bénéfice ou une perte par rapport à son investissement initial.

Dans un laboratoire scientifique, on réalise une expérience avec une substance gazeuse. La température initiale de l'échantillon est de $12$ °C en dessous de zéro. Le processus comporte les phases suivantes :

1. Pendant les $5$ premières minutes, la température baisse de $3$ °C chaque minute.

2. Ensuite, on l'introduit dans une chambre chauffante où la température augmente de $48$ °C au total.

3. Enfin, on éteint la chambre et la température diminue à un rythme constant de $4$ °C chaque minute jusqu'à atteindre la température de congélation de l'échantillon, qui est de $-25$ °C.

Combien de temps a duré la phase finale de refroidissement (point 3) ? Quelle a été la température maximale atteinte pendant toute l'expérience ?

Un explorateur de grottes sous-marines commence sa plongée depuis une plateforme située à $4$ mètres au-dessus du niveau de la mer.

• D'abord, il descend à une vitesse constante de $2$ mètres par minute pendant $15$ minutes.

• Ensuite, il rencontre un courant ascendant qui le fait monter de $12$ mètres.

• Enfin, il descend jusqu'au fond de la grotte, dont la position par rapport au niveau de la mer est le triple de la position où il se trouve à ce moment-là.

Prendre le niveau de la mer comme $0$, de sorte que les positions au-dessus soient positives et celles au-dessous négatives.

À quelle position se trouve le fond de la grotte ? Exprimer le résultat sous la forme d'un nombre entier relatif par rapport au niveau de la mer.

Dans un tournoi de jeux vidéo, le système de points fonctionne ainsi :

• Chaque victoire ajoute $100$ points.

• Chaque défaite retire $60$ points.

• Chaque « exploit spécial » multiplie par $2$ le score accumulé à ce moment-là (s'il est positif).

• Chaque pénalité divise le score accumulé par $2$ (s'il est positif).

Un joueur commence avec $0$ points et obtient : $3$ victoires consécutives, un « exploit spécial », $2$ défaites, une pénalité et, enfin, $1$ victoire :

1. a) Écrire une unique expression avec des opérations combinées qui donne son score final.
2. b) Quel est le résultat de ce score ?

Un livreur de colis utilise un ascenseur dans un grand centre logistique qui possède des étages au-dessus et au-dessous du sol (étage $0$). Il effectue le parcours suivant :

1. Il monte de l'étage $0$ à l'étage $+12$.

2. Il descend de $15$ étages pour récupérer un colis.

3. Il monte de $7$ étages pour le livrer.

4. Il descend du double du nombre d'étages qu'il vient de monter.

5. Enfin, il monte jusqu'à se trouver à mi-chemin entre l'étage où il est et l'étage $+8$.

À quel étage se trouve le livreur à la fin de sa journée ? Combien d'étages a-t-il parcourus au total (en comptant les montées et les descentes) ?

La philosophe grecque Hypatie d'Alexandrie est morte en l'an $415$ apr. J.-C. à l'âge de $45$ ans. Son père, Théon d'Alexandrie, était un célèbre mathématicien né $80$ ans avant la mort de sa fille.

1. a) En quelle année Hypatie est-elle née ? (L'exprimer sous la forme d'un nombre entier relatif.)
2. b) En quelle année son père Théon est-il né ?
3. c) Quel âge avait Théon à la naissance de sa fille ?

Un drone de surveillance forestière décolle d'une base située à $850$ mètres d'altitude. Pendant sa patrouille, il effectue les déplacements suivants :

1. Il monte de $120$ mètres pour éviter une montagne.

2. Il descend de $300$ mètres pour analyser une zone de faible végétation.

3. Il se déplace horizontalement (sans changer d'altitude) puis descend encore de $150$ mètres.

4. À cause d'une panne technique, il tombe au fond d'un ravin situé à une altitude de $-20$ mètres (sous le niveau de la mer).

Calculer :

1. a) De combien de mètres le drone est-il descendu lors de sa dernière chute (étape 4) ?

1. b) Si le drone était capable de remonter du ravin directement jusqu'à la base initiale, de combien de mètres devrait-il monter ?

Le club sportif d'un lycée gère ses fonds pour le trimestre. Il dispose d'un solde initial de $+180$ € sur le compte de l'établissement. Pendant le trimestre, il enregistre ces six mouvements : achat de matériel d'entraînement ($-95$ €), cotisations des adhérents inscrits ($+140$ €), réparation des buts ($-60$ €), recettes d'une tombola au profit d'une association ($+210$ €), paiement des arbitres ($-130$ €) et frais d'inscription à un tournoi départemental ($-80$ €).

Deux membres du bureau proposent deux méthodes de calcul différentes :

• Méthode 1 (chronologique) : écrire le solde initial et additionner ou soustraire chaque mouvement un par un, dans l'ordre exact où ils se sont produits.

• Méthode 2 (par blocs) : additionner d'un côté toutes les recettes au solde initial, additionner de l'autre toutes les dépenses en valeur absolue, puis soustraire les deux quantités.

1. a) Appliquer les deux méthodes séparément et vérifier qu'on obtient le même bilan final.
2. b) Imaginons que la banque prélève une pénalité fixe de $15$ € à l'instant exact où le compte passe à découvert (solde strictement inférieur à $0$ €). Justifier laquelle des deux méthodes il est indispensable d'utiliser pour savoir si le club devra payer cette pénalité et en déduire si le club a eu un solde négatif à un moment du trimestre.

Une équipe d'archéologie sous-marine dans la baie de Cadix étudie des vestiges immergés à différentes profondeurs par rapport à la surface de la mer ($0\text{ m}$) et à différentes époques historiques :

• Vestiges phéniciens : datés de l'année $750$ av. J.-C. et situés à $-38\text{ m}$ de profondeur.

• Galère romaine : datée de l'année $125$ apr. J.-C. et située à $-54\text{ m}$ de profondeur.

1. a) Modéliser par une soustraction de nombres entiers relatifs le temps écoulé entre ces deux événements historiques et calculer combien d'années se sont écoulées entre le naufrage phénicien et le naufrage romain, en justifiant pourquoi la durée en années est toujours une valeur positive.
2. b) Un drone sous-marin part des vestiges phéniciens, descend en ligne droite jusqu'à la profondeur de la galère romaine pour la filmer, puis remonte de $21\text{ m}$ à la verticale pour transmettre les données recueillies. Écrire l'expression avec des nombres entiers relatifs et déterminer à quelle profondeur se trouve finalement le drone.
3. c) Expliquer la différence mathématique entre la position finale du drone par rapport à la surface de la mer (grandeur signée) et la distance totale parcourue par le drone lors de ses deux manœuvres verticales (grandeur qui cumule des distances).

Défi du thème. Deviens analyste météorologue ! Tu vas étudier la variation de température en France à partir de données réelles officielles de Météo-France.

1. Recueil des données : Rends-toi sur www.meteofrance.com et note les températures maximale et minimale (avec une décimale, par exemple $-2,4\text{ ºC}$ et $14,8\text{ ºC}$) de quatre localités d'altitudes contrastées pendant deux jours consécutifs.

2. Opérations et nombres rationnels : Dans un tableur ou sur ton cahier, calcule l'amplitude thermique de chaque journée à l'aide de la soustraction avec signe : $\Delta T = T_{\text{max}} - T_{\text{min}}$. Ensuite, détermine la température moyenne de chaque commune en l'exprimant d'abord comme nombre rationnel sous forme de fraction, puis comme nombre décimal.

3. Représentation et conclusions : Réalise un diagramme en barres (avec GeoGebra ou un tableur) où les valeurs positives et négatives apparaissent clairement sur l'axe. Rédige un compte rendu bref qui justifie quelle localité a connu le changement de température le plus extrême et qui explique comment les températures négatives influencent le calcul des variations.

Seront évalués :

• La correction technique des opérations avec des nombres entiers relatifs et des nombres décimaux relatifs.

• L'emploi adapté des nombres rationnels (fraction et écriture décimale).

• La qualité et la clarté de la représentation graphique des données.

• La cohérence et la rigueur mathématique des conclusions du compte rendu.