Exercices: Opérations avec les nombres entiers relatifs

Dans une station de ski des Pyrénées, le thermomètre indiquait $-4$ °C à sept heures du matin. Si à midi la température a monté de $9$ °C, quelle température indique maintenant le thermomètre ? Exprimer l'opération à l'aide de nombres entiers relatifs.

Calculer les additions et soustractions simples de nombres entiers relatifs suivantes :

1. a) $(+7) + (+5) =$
2. b) $(-8) + (-3) =$
3. c) $(+9) + (-4) =$
4. d) $(-6) + (+10) =$

Nadia a $25$ € sur son compte bancaire. Si la banque prélève une facture d'internet de $30$ €, quel sera son nouveau solde ? Exprimer le résultat sous la forme d'un nombre entier relatif.

Utiliser la règle des signes pour résoudre ces multiplications et divisions :

1. a) $(+4) \cdot (-3) =$
2. b) $(-5) \cdot (-2) =$
3. c) $(-20) : (+5) =$
4. d) $(-18) : (-3) =$

Un plongeur est à une profondeur de $-15$ mètres par rapport au niveau de la mer. S'il décide de descendre encore de $12$ mètres, à quelle profondeur se trouvera-t-il maintenant ? Faire le dessin sur la droite graduée verticale.

Résoudre les opérations suivantes en supprimant d'abord les parenthèses :

1. a) $12 + (-5) =$
2. b) $8 - (+10) =$
3. c) $(-3) - (-7) =$
4. d) $(-5) + (+5) =$

Calculer le résultat de ces opérations combinées simples, en respectant les priorités opératoires (rappel : d'abord les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions) :

1. a) $5 + 2 \cdot (-3) =$
2. b) $(-10) : 2 + 8 =$
3. c) $4 \cdot 3 - 15 =$

Vous êtes à l'étage $2$ d'un centre commercial. Vous montez de $3$ étages pour aller à l'espace restauration, puis vous descendez de $6$ étages pour rejoindre le parking. À quel étage se trouve le parking ? Indiquer chaque déplacement par un nombre entier relatif.

Marc a résolu deux exercices dans son cahier et a commis des erreurs très fréquentes avec les nombres entiers relatifs :

• Exercice 1 : Il a écrit $(-7) + (-4) = +11$, en justifiant que « moins par moins donne plus ».

• Exercice 2 : Il a écrit $-5^2 = 25$, en raisonnant que « tout nombre élevé au carré donne un résultat positif ».

1. a) Expliquer à Marc, en argumentant, quelle erreur de concept il a commise dans l'exercice 1, en précisant la différence entre additionner des entiers de même signe et multiplier des nombres entiers relatifs. Écrire la solution correcte.
2. b) Expliquer à Marc pourquoi $-5^2$ ne donne pas le même résultat que $(-5)^2$, à partir de la signification de la base d'une puissance et des priorités opératoires. Écrire la valeur correcte des deux expressions.

À l'observatoire météorologique de Molina de Aragón (Guadalajara), l'AEMET a relevé à 7 h 00 une température de $-7$ °C. Au cours de la journée, les variations consécutives suivantes ont été enregistrées :

• Une hausse de $+11$ °C pendant la matinée.

• Une baisse de $6$ °C en milieu d'après-midi avec l'arrivée d'un vent du nord.

• Une baisse supplémentaire de $3$ °C pendant la nuit.

1. a) Avant de calculer, faire une estimation : la température finale à la fin de la nuit sera-t-elle positive (au-dessus de zéro) ou négative (en dessous de zéro) ? Justifier votre estimation en comparant la hausse totale à l'effet conjoint du froid initial et des baisses, sans calculer encore la valeur exacte.
2. b) Poser une seule suite d'additions et de soustractions de nombres entiers relatifs pour trouver la température exacte à la fin de la nuit et vérifier si votre estimation était correcte.

Calculer le résultat des expressions suivantes, en portant une attention particulière aux priorités opératoires et à la règle des signes :

1. a) $15 - (8 - 12) + (-5) \cdot 2$

1. b) $(-3) \cdot [(-2) + (-4) \cdot (-3)]$

1. c) $24 : (-4) - (-6) : (+3)$

1. d) $(-10) + (-2) \cdot (-5) + (-20) : 5$

Une station météorologique des Pyrénées a enregistré les variations de température suivantes au cours d'une journée d'hiver :

1. À 8 h 00, la température était de $-5\ ^\circ C$.

2. À 12 h 00, elle avait monté de $8\ ^\circ C$.

3. À 18 h 00, elle a baissé de $4\ ^\circ C$ par rapport à la mesure précédente.

4. À 22 h 00, elle a de nouveau baissé de $6\ ^\circ C$.

Écrire une seule expression mathématique avec des nombres entiers relatifs qui traduise tous ces changements et calculer la température finale à la fin de la journée.

Appliquer la distributivité pour calculer le plus simplement possible ces expressions (factoriser lorsque c'est nécessaire) :

1. a) $(-7) \cdot (+12) + (-7) \cdot (-2)$

1. b) $15 \cdot (-4) - 15 \cdot (+6)$

1. c) $(-10) \cdot (-3) + (-10) \cdot (+13)$

Un drone d'inspection part d'une hauteur de $15$ mètres au-dessus du niveau d'un pont. Il effectue les déplacements indiqués sur le graphique (montées en orange, descentes en rouge) :

Calculer, à l'aide d'une somme de nombres entiers relatifs, la position finale du drone par rapport au pont. Se trouve-t-il au-dessus ou au-dessous de celui-ci ?

Sur le relevé de compte bancaire d'une boutique de bandes dessinées figurent les opérations suivantes :

• Solde initial : $+450\ €$

• Paiement à un fournisseur : $-620\ €$

• Vente de figurines de collection : $+185\ €$

• Remboursement d'un article défectueux : $-45\ €$

• Encaissement d'abonnements : $+110\ €$

Calculer le solde final du compte. Si la banque prélève une commission de $15\ €$ lorsque le compte est à découvert (solde inférieur à 0), le propriétaire de la boutique devra-t-il la payer ?

Trouver le nombre entier relatif qui vérifie simultanément ces trois conditions :

1. Sa valeur absolue est supérieure à $5$ et inférieure à $10$.

2. Lorsqu'on le multiplie par $-3$, le résultat est un nombre positif.

3. Si on lui ajoute son opposé, le résultat est $0$.

Y a-t-il plus d'une solution possible ? Justifier votre réponse.

Résoudre les opérations suivantes comportant des crochets. Penser à effectuer d'abord ce qui est à l'intérieur des parenthèses :

1. a) $18 - [ 2 + (-5) - (4 - 7) ]$

1. b) $[ (-6) \cdot 2 - (-10) ] : (-2)$

1. c) $30 : [ (-4) + (-2) \cdot (-3) ]$

1. d) $(-5) \cdot [ 8 - (12 : (-3)) ]$

Une équipe de recherche marine utilise un sonar pour mesurer la distance entre un hélicoptère de secours et un sous-marin qui effectue des essais de profondeur.

Si l'hélicoptère est à une altitude de $+120$ mètres et le sous-marin à une profondeur de $-85$ mètres :

1. a) Quelle est la distance verticale totale qui les sépare ?
2. b) Si le sous-marin remonte de $25$ mètres et que l'hélicoptère descend de $30$ mètres, quelle sera la nouvelle distance entre eux ? L'exprimer à l'aide d'opérations sur les nombres entiers relatifs.

Le parking souterrain d'une gare à Paris compte $5$ niveaux sous le niveau de la rue (de $-1$ à $-5$) et l'immeuble de bureaux au-dessus compte $6$ étages en surface (de $+1$ à $+6$). Le niveau de la rue est l'étage $0$.

Un employé de maintenance commence sa journée dans la rue et effectue les déplacements consécutifs suivants :

1. Il descend à l'étage $-4$ pour vérifier les compteurs.

2. Il monte de $5$ étages pour déposer du matériel dans les bureaux.

3. Il se déplace d'un nombre d'étages égal à l'opposé de $+3$.

4. Enfin, il monte du double du nombre d'étages dont il est descendu à l'étape précédente.

1. a) Modéliser tout le parcours par une seule opération combinée de nombres entiers relatifs qui détermine l'étage final de l'employé.
2. b) Résoudre l'expression pas à pas et indiquer à quel étage il termine et s'il est au-dessus ou au-dessous du niveau de la rue.
3. c) Si, depuis sa position finale, il doit se rendre à la chaufferie à l'étage $-5$, calculer la variation d'étages à l'aide d'une soustraction d'entiers de la forme : $\text{étage d'arrivée} - \text{étage de départ}$, et interpréter le signe du résultat obtenu.

Pour ouvrir une boîte mystérieuse lors d'un atelier de mathématiques, il faut résoudre deux défis enchaînés en utilisant exclusivement les nombres entiers relatifs $-6$, $+4$, $-2$ et $+3$ :

• Défi 1 : Utiliser chacun des quatre nombres exactement une fois, avec les opérations de votre choix ($+$, $-$, $\times$, $\div$) et les parenthèses nécessaires, pour former une expression dont le résultat est exactement égal à $-12$. Écrire l'expression complète et vérifier son résultat pas à pas.

• Défi 2 : Sans essayer des combinaisons au hasard, expliquer s'il est possible de multiplier trois quelconques de ces quatre nombres et d'ajouter le quatrième pour obtenir un résultat strictement positif. Justifier votre réponse à l'aide de la règle des signes de la multiplication et écrire, si c'est possible, une combinaison qui convient avec son calcul.

Placer les parenthèses et crochets nécessaires dans l'expression suivante pour que le résultat final soit exactement égal à $-5$ :

$-15 + 3 \cdot -4 - 12 : -6 + 1$

Une équipe de spéléologues explore un gouffre profond. Elle commence à l'entrée (niveau $0$ mètres). Elle effectue consécutivement les déplacements suivants :

1. Elle descend de $45$ mètres.

2. Elle remonte de $12$ mètres pour installer un camp de base.

3. Elle descend du triple de ce qu'elle vient de remonter.

4. Enfin, elle descend encore de $18$ mètres jusqu'au fond.

Écrire une seule expression avec des nombres entiers relatifs qui traduise tout le déroulement et calculer à quelle profondeur se trouve le fond du gouffre.

Calculer pas à pas la valeur de l'expression suivante, en respectant scrupuleusement les priorités opératoires :

$(-2)^4 + \sqrt{25} \cdot (-3) - [(-8 + 10)^3 : (-2^2)]$

Remarque : faire attention à la différence entre $(-2)^2$ et $-2^2$.

Dans un jeu vidéo de stratégie, un joueur commence avec $500$ points d'honneur. Les règles sont :

• Pour chaque bataille gagnée : $+120$ points.

• Pour chaque bataille perdue : $-150$ points.

• S'il perd trois batailles de suite, il est pénalisé : son score négatif accumulé sur ces trois batailles est doublé.

Si un joueur gagne $2$ batailles puis perd $3$ batailles de suite, écrire l'opération permettant de calculer son score final et la résoudre.

Déterminer le nombre entier relatif inconnu $x$ dans chacune des égalités suivantes :

1. a) $x \cdot (-4 + 9) = -25$

1. b) $(-30) : x + (-12) = -18$

1. c) $2 \cdot |x| = 14$ (Chercher toutes les solutions possibles pour $x$).

On dit qu'un « trio d'entiers » est équilibré si la somme des deux premiers multipliée par le troisième est égale à $-24$.

Déterminer lesquels des trios suivants sont équilibrés en effectuant les opérations correspondantes :

1. a) $(+5, -8, +8)$
2. b) $(-10, +2, +3)$
3. c) $(-4, -2, +4)$

Compléter le « mur des entiers » suivant. Le nombre de chaque case supérieure doit être le résultat de la multiplication des deux nombres des cases sur lesquelles elle repose.

Inventer un problème concret qui se résout avec l'expression mathématique suivante, puis calculer le résultat final pour répondre à votre problème :

$100 + 4 \cdot (-15) - 3 \cdot (10 - 4)$

Deux élèves, Lucie et Manon, doivent calculer la valeur de l'expression suivante avec des nombres entiers relatifs :

• Lucie applique les priorités opératoires habituelles : elle effectue d'abord les deux multiplications séparément, puis additionne les résultats obtenus.

• Manon observe la structure du calcul et applique la distributivité dans l'autre sens (factorisation) : $C = (-15) \cdot (74 + 26)$.

1. a) Calculer le résultat en suivant en détail la méthode de Lucie et celle de Manon. Vérifier que les deux chemins aboutissent à la même solution.
2. b) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus efficace pour le calcul mental et pourquoi elle réduit le risque de se tromper dans les signes et les calculs intermédiaires.
3. c) Concevoir une nouvelle opération formée de la somme ou de la différence de trois produits de nombres entiers relatifs, pour laquelle la stratégie de Manon permet de la résoudre mentalement en quelques secondes sans longs calculs sur le papier. Présenter votre expression et sa résolution justifiée.

Trois nombres entiers relatifs inconnus, $a$, $b$ et $c$, vérifient simultanément les trois conditions suivantes :

1. Leur produit est strictement négatif : $a \cdot b \cdot c < 0$.

2. La division $a : b$ est exacte et donne un nombre entier positif : $a : b > 0$.

3. La somme de deux d'entre eux est nulle : $a + c = 0$, sachant de plus que $a \neq 0$.

1. a) Déduire de façon logique et argumentée le signe (positif ou négatif) de chacun des trois nombres ($a$, $b$ et $c$). Justifier chaque étape en vous appuyant sur la notion de nombres opposés et sur la règle des signes de la multiplication et de la division.
2. b) Sachant que $|b| = 2$ et que le produit des trois nombres est $a \cdot b \cdot c = -72$, déterminer les valeurs exactes de $a$, $b$ et $c$.
3. c) Avec les valeurs trouvées à la question précédente, calculer le résultat de l'opération suivante en respectant les priorités opératoires et la règle des signes :