Exercices: Monômes et opérations sur les monômes

En algèbre, toutes les expressions ne sont pas des « monômes ». Rappel : un monôme est un produit d'un nombre et d'une ou plusieurs lettres avec des exposants entiers naturels. Indiquer lesquelles des expressions suivantes sont des monômes et lesquelles n'en sont pas. Dans ce dernier cas, expliquer pourquoi :

1. a) $5x^3$
2. b) $2 + a$
3. c) $-3ab^2$
4. d) $\frac{4}{x}$
5. e) $x$
6. f) $\sqrt{x}$

Recopier le tableau suivant dans votre cahier et compléter les éléments manquants pour chaque monôme. Attention aux signes et aux exposants invisibles !

Deux monômes sont « semblables » s'ils ont exactement la même partie littérale. Dans la liste suivante, trois paires de monômes semblables sont cachées. Les retrouver et les regrouper !

• $4x^2$

• $-5ab$

• $\frac{1}{3}x$

• $2x^2$

• $8ab$

• $-7x$

Simplifier ces expressions en additionnant ou en soustrayant les monômes semblables. Si ce n'est pas possible, indiquer pourquoi :

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^2 - a^2$
3. c) $4x + 3y$
4. d) $5ab + ab - 3ab$
5. e) $x^3 + x^3 + x^3$

Dans un jeu vidéo d'aventure, votre personnage récolte des gemmes d'énergie. Les gemmes rouges valent $x$ points chacune. Si, pendant le premier écran, vous obtenez $5x$ gemmes, dans le deuxième vous en trouvez $8x$ autres et dans le troisième vous en perdez $3x$ à cause d'un sortilège, simplifier l'expression pour savoir combien de gemmes vous avez à la fin.

Pour organiser une fête, vous achetez des packs de boissons. Chaque pack contient $6$ canettes et le prix d'une canette est de $y$ euros. Si vous achetez $4$ packs identiques, écrire le monôme qui représente le coût total de l'achat.

Un agriculteur possède un potager rectangulaire pour planter des tomates. L'aider à calculer l'expression de l'aire du potager en multipliant les monômes suivants :

Effectuer les multiplications de monômes suivantes en se rappelant que l'on multiplie les coefficients entre eux et que l'on additionne les exposants des lettres identiques :

• a) $3 \cdot (4x)$

• b) $2x \cdot 5x$

• c) $(-3a^2) \cdot 2a$

• d) $4x \cdot 3y$

Lucie révise les opérations sur les monômes et a écrit dans son cahier ces deux affirmations :

1) $4x^3 + 5x^3 = 9x^6$

2) $2a + 3b = 5ab$

Identifier l'erreur de raisonnement commise par Lucie dans chacune des deux opérations. Expliquer, en s'appuyant sur la distributivité et sur la définition des monômes semblables, pourquoi ses raisonnements sont erronés. Enfin, écrire les réponses corrigées dans les deux cas.

On veut découvrir l'identité d'un monôme inconnu, que l'on appellera $M$, dont on connaît les indices suivants :

1) Son coefficient est un nombre entier relatif négatif strictement supérieur à $-5$.

2) Sa partie littérale est formée des lettres $x$ et $y$, toutes deux d'exposant supérieur ou égal à $1$.

3) En multipliant le monôme inconnu $M$ par le monôme $3x^2y$, on obtient un monôme de coefficient $-12$ et de degré total $6$.

Déduire et justifier le coefficient et les valeurs possibles des exposants de $M$. Écrire au moins un monôme qui vérifie exactement toutes les conditions, puis proposer un autre monôme différent qui lui soit semblable.

Dans un jeu vidéo de stratégie, les ressources sont stockées sous forme d'expressions littérales. Compléter le tableau suivant pour que le programmeur puisse organiser correctement l'inventaire :

Vous organisez les fichiers de votre ordinateur. Pour gagner de la place, vous ne pouvez additionner ou soustraire que les « fichiers » (monômes) qui sont semblables. Réduire au maximum l'expression suivante :

$7x^2 - 3x + 2x^2 - 10x + 5$

Dans la boutique de comics, $x$ représente un nombre de mangas. Si Louis achète le triple du carré de ce nombre, puis qu'on lui retire le double du carré de ce nombre, quel monôme représente le nombre final de mangas qu'il a payés ? Écrire l'opération et simplifier.

Un serveur de streaming répartit un paquet de données de taille $24x^6$ entre $4x^2$ utilisateurs. Écrire le monôme qui représente la quantité de données reçue par chaque utilisateur.

On veut entourer d'un ruban LED une étagère de forme polygonale particulière. Calculer le monôme qui représente le périmètre total de la figure en additionnant ses côtés :

Simplifier les divisions de monômes suivantes :

1. a) $\frac{15x^6}{3x^2} =$

1. b) $\frac{-20a^4}{5a^3} =$

1. c) $\frac{8y^3}{8y^3} =$

Appliquer la distributivité pour supprimer les parenthèses et réduire les termes semblables dans l'expression suivante :

$3 \cdot (2x + 4) + 5 \cdot (x - 2)$

Déterminer l'expression de l'aire du rectangle suivant sous forme de monôme. Rappel : l'aire se calcule en multipliant la base par la hauteur ($A = b \cdot h$).

Dans une station Météo-France des Alpes, on étudie les chutes de neige pour évaluer le poids supporté par les toits des bâtiments. Pour un entrepôt à toit plat rectangulaire, la longueur de l'entrepôt mesure $4x$ mètres, la largeur mesure $3x$ mètres et l'épaisseur de la couche de neige accumulée après une tempête est de $0,05x$ mètres.

1. a) Calculer le monôme simplifié qui modélise le volume de neige déposée sur le toit (en $\text{m}^3$). Préciser clairement son coefficient, sa partie littérale et son degré.
2. b) Sachant que chaque mètre cube de cette neige a une masse moyenne de $120\text{ kg}$, obtenir le monôme simplifié qui représente la masse totale de neige accumulée sur le toit.
3. c) Si, lors d'une inspection technique, on constate que $x = 2\text{ mètres}$, calculer la masse totale réelle de neige supportée par l'entrepôt et dire si les dimensions calculées pour le toit ($4x$ de long sur $3x$ de large) sont réalistes.

Nous vous proposons d'analyser l'opération suivante combinant plusieurs monômes :

1. a) Estimer sans calculer : avant d'effectuer les opérations numériques pas à pas, déterminer par un raisonnement quel est le degré du monôme obtenu dans le premier bloc (la fraction littérale) et quel sera le signe de son coefficient. En déduire s'il sera possible ou non de lui soustraire le terme $- 5x^4$.
2. b) Vérifier par le calcul : effectuer l'expression pas à pas en respectant les priorités opératoires : multiplier d'abord les monômes du numérateur, diviser ensuite par le dénominateur et enfin effectuer la soustraction de termes semblables.
3. c) Évaluer : comparer le résultat final avec vos prévisions de la question a). Le degré et le signe correspondent-ils à ce que vous aviez prévu ? Justifier pourquoi le résultat final est un monôme et non une expression irréductible à deux termes.

Un artiste de rue conçoit une fresque avec des formes géométriques entrelacées. Le motif central est un grand rectangle de base $5x^2$ et de hauteur $3y$. À l'intérieur de ce rectangle, l'artiste laisse un espace non peint en forme de triangle dont la base mesure $2x^2$ et la hauteur $y$. Écrire le monôme simplifié qui représente l'aire qui sera finalement peinte en couleur.

Observer la tour suivante construite avec des cubes décoratifs. Chaque cube a une arête qui mesure $a$ cm. On sait que la face supérieure de chaque cube est peinte en or, et que les faces latérales extérieures (qui ne touchent pas un autre cube) sont peintes en argent.

1. Écrire le monôme qui représente l'aire totale peinte en or d'une tour de $n$ étages.

2. Écrire le monôme qui représente l'aire totale peinte en argent si la tour a exactement 4 étages comme celle de l'image.

Compléter la « pyramide de monômes » suivante. Dans cette pyramide, la valeur de chaque case est le produit des deux monômes situés en dessous. Il faut trouver les monômes manquants de la base pour que le monôme du sommet soit correct.

Inventer deux monômes, $M_1$ et $M_2$, qui vérifient toutes ces conditions à la fois :

1. Ils doivent tous deux avoir pour partie littérale $a^2b$.

2. Leur somme doit être un monôme dont le coefficient est $-10$.

3. Lorsqu'on divise $M_1$ par $M_2$, le résultat doit être le nombre $4$.

Écrire les deux monômes et vérifier qu'ils satisfont les conditions.

Observer le plan de cette aire de jeux pour un parc technologique. La mairie doit calculer l'aire totale pour installer du gazon synthétique de différentes couleurs dans chaque section.

Calculer, à l'aide d'opérations sur les monômes :

1. L'aire de la zone A.

2. L'aire de la zone B (formée de deux triangles identiques).

3. L'aire totale de l'enceinte en simplifiant la somme des monômes obtenus.

Observer la série de figures suivante construites avec des carreaux carrés blancs et gris. Les mathématiciens appellent cela des « motifs de croissance ».

1. Si $n$ représente le rang de la figure, écrire un monôme qui représente le nombre de carreaux gris de la figure $n$.

2. Écrire un binôme pour le nombre de carreaux blancs de la figure $n$.

3. Additionner les deux expressions pour obtenir l'expression du nombre total de carreaux. Quelle figure aurait 101 carreaux au total ?

Un « monôme mystérieux » a perdu certaines de ses parties en passant dans une machine à opérations. Votre mission est de reconstituer l'égalité d'origine en trouvant le monôme manquant dans chaque cas (représenté par le signe $?$) :

1. a) $? + 7a^2b - 3a^2b = 10a^2b$

1. b) $(? \cdot 5x^4) : 2x^2 = 15x^5$

1. c) $\frac{24y^{10}}{?} = 4y^5$

Simplifier l'expression combinée suivante, en faisant très attention à l'ordre des opérations et aux propriétés des puissances :

Expliquer étape par étape comment vous avez réduit chaque terme avant d'effectuer l'addition et la soustraction finales. Quel est le degré du polynôme obtenu avant la simplification totale ?

Lors d'une séance de révision, le professeur propose de simplifier l'expression suivante avec des monômes :

Deux élèves proposent deux stratégies différentes :

• Méthode de Marc : il calcule d'abord la puissance de la parenthèse au numérateur, puis multiplie entre eux tous les monômes du numérateur et ceux du dénominateur pour former une seule fraction, et enfin divise les coefficients et soustrait les exposants.

• Méthode de Sarah : après avoir développé la puissance de la parenthèse, elle simplifie directement les facteurs numériques et les puissances de même base que le numérateur et le dénominateur ont en commun, avant d'effectuer les produits complets.

1. a) Développer et calculer l'expression étape par étape en suivant la méthode de Marc.
2. b) Développer et calculer l'expression étape par étape en suivant la méthode de Sarah.
3. c) Comparer les deux procédures : aboutit-on au même résultat ? Quels avantages et inconvénients présente chaque stratégie en ce qui concerne la taille des nombres intermédiaires et le risque d'erreur ? Justifier laquelle vous choisiriez si les coefficients étaient des nombres beaucoup plus grands.

Une fabrique de carton de Marseille produit des boîtes sans couvercle à partir d'une plaque rectangulaire de carton de dimensions $6x$ mètres de long sur $4x$ mètres de large. Pour monter chaque boîte, on découpe dans chacun des quatre coins de la plaque un carré de côté $y$ mètres (avec $y < 2x$) et on replie vers le haut les quatre rabats obtenus.

1. a) Écrire l'expression littérale qui représente la surface utile de carton servant à construire la boîte (l'aire initiale de la plaque moins les quatre coins découpés). Justifier si cette expression est ou non un monôme d'après la définition.
2. b) L'équipe de conception impose que, pour conserver des proportions optimales, la découpe des coins soit exactement $y = 0,5x$ :

1. Remplacer cette condition dans l'expression de la surface utile et la simplifier jusqu'à obtenir un unique monôme. Indiquer son coefficient, sa partie littérale et son degré.

2. Déterminer les monômes qui représentent la longueur de la base, la largeur de la base et la hauteur de la boîte une fois pliée.

3. Déterminer le monôme simplifié qui modélise le volume intérieur de la boîte.

1. c) Un client commande une série de boîtes pouvant contenir un volume minimal de $7500\text{ litres}$ ($7,5\text{ m}^3$). Si la fabrique règle la machine pour que $x = 1\text{ mètre}$, vérifier, en calculant le volume à partir du monôme obtenu, si la boîte répond à la commande du client et justifier la réponse.