Exercices: Problèmes avec des nombres entiers relatifs

Dans une station de ski des Pyrénées, le thermomètre indiquait $-5^\circ\text{C}$ à huit heures du matin. À midi, la température avait augmenté de $9^\circ\text{C}$. Quelle température indiquait le thermomètre à midi ?

Marc a $14$ € sur son compte bancaire. S'il effectue un achat sur la boutique d'applications de son téléphone qui coûte $18$ €, quel sera son nouveau solde ? L'exprimer par un nombre entier relatif.

Un ascenseur d'un centre commercial se trouve à l'étage $2$. Il descend d'abord de $4$ étages pour aller au parking, puis monte de $3$ étages pour aller aux salles de cinéma. À quel étage se trouve le cinéma ?

Les étages situés sous le rez-de-chaussée (étage $0$) sont numérotés $-1$, $-2$, $-3$…, comme le montre la figure.

Un plongeur effectue une plongée à une profondeur de $12$ mètres sous le niveau de la mer. S'il décide de descendre encore de $15$ mètres pour observer un corail, à quelle profondeur se trouvera-t-il alors ? L'exprimer par un nombre entier relatif.

Calculer la distance verticale qui sépare un hélicoptère volant à $250$ mètres d'altitude au-dessus du niveau de la mer d'un sous-marin naviguant à $45$ mètres de profondeur.

Un empereur romain est né en l'an $27$ av. J.-C. et mort en l'an $14$ apr. J.-C. À quel âge cet empereur est-il mort ? (On suppose qu'il avait déjà eu son anniversaire à la date de sa mort.)

Dans un jeu de société, chaque bonne réponse rapporte $10$ points et chaque erreur en retire $15$. Si Alba a $45$ points et se trompe aux trois questions suivantes, quel sera son score à la fin ?

Une entreprise de logistique possède une chambre froide pour aliments surgelés qui est à une température de $-18^\circ\text{C}$. À cause d'une panne d'électricité, la température se met à augmenter de $2^\circ\text{C}$ par heure. Quelle température indiquera la chambre après $5$ heures ?

Lors d'une journée d'hiver à Clermont-Ferrand, Météo-France a relevé une température minimale de $-4\ ^\circ\text{C}$ et une maximale de $11\ ^\circ\text{C}$. Lucie a calculé l'amplitude thermique (la différence entre les deux températures) en écrivant dans son cahier : « $11 - 4 = 7\ ^\circ\text{C}$ de variation ». Identifier le point de référence ($0\ ^\circ\text{C}$), expliquer en détail quelle erreur conceptuelle Lucie a commise en ignorant le signe de la température minimale et écrire l'opération correcte, en utilisant la notion de distance entre deux nombres entiers relatifs, $|a - b|$, pour déterminer l'amplitude thermique réelle.

Dans un centre commercial de Toulouse, le niveau de la rue est considéré comme l'étage $0$. Vous garez votre voiture dans le parking souterrain, à l'étage $-3$. De là, vous montez de $5$ étages pour aller dans des magasins de vêtements, puis vous descendez de $4$ étages pour accéder aux cinémas et, enfin, vous montez de $1$ étage pour déjeuner sur la terrasse. a) Avant d'effectuer les opérations pas à pas, estimer en justifiant si vous finirez au-dessus du niveau de la rue, dans la rue même ou en sous-sol, en comparant le total des étages montés avec le total des étages descendus. b) Écrire une seule expression mathématique avec des nombres entiers relatifs qui traduit tout le parcours, calculer l'étage final exact et vérifier si votre estimation initiale était correcte.

Dans une station météorologique de haute montagne, le thermomètre indiquait $-12\ ^\circ\text{C}$ à six heures du matin. À midi, avec le lever du soleil, la température a augmenté de $15\ ^\circ\text{C}$, mais à la tombée de la nuit, un orage l'a fait baisser de $8\ ^\circ\text{C}$.

Écrire une expression avec des nombres entiers relatifs qui représente cette situation et calculer la température finale à la fin de la journée.

Un livreur de repas à domicile entre dans un immeuble et laisse sa moto au troisième sous-sol. Il monte de $7$ étages pour livrer une commande, puis descend de $4$ étages pour récupérer un autre colis que lui remet un voisin et, enfin, monte de $2$ étages de plus pour effectuer la dernière livraison.

À quel étage se trouve le livreur à la fin de son travail ? Exprimer le sous-sol par un nombre négatif.

Lucie a un solde de $120\ €$ sur son compte bancaire. Dans la matinée, la banque prélève une facture d'internet de $45\ €$ et elle fait un achat dans un magasin de vêtements pour $82\ €$. L'après-midi, son grand-père lui fait un virement de $20\ €$.

Calculer le solde final du compte de Lucie et expliquer si elle est « dans le rouge » (solde négatif) ou non.

Un célèbre philosophe de la Grèce antique est né en l'an $384$ av. J.-C. et mort en l'an $322$ av. J.-C. Un historien contemporain affirme qu'il a vécu plus de $65$ ans.

En utilisant la soustraction de nombres entiers relatifs (en considérant les dates av. J.-C. comme des nombres négatifs), déterminer combien d'années il a vécu et justifier si l'historien a raison.

Un sous-marin d'exploration étudie une fosse marine à une profondeur de $125$ mètres sous le niveau de la mer. Pour éviter un obstacle, il remonte de $40$ mètres. Au même moment, un oiseau survole la zone à une altitude de $15$ mètres au-dessus du niveau de la mer.

1. a) Représenter par des nombres entiers relatifs la position de l'oiseau et celle du sous-marin après sa remontée.

1. b) Calculer la distance verticale qui sépare l'oiseau du sous-marin dans sa position finale.

Dans un jeu vidéo, chaque niveau réussi rapporte $500$ points, mais chaque fois que le personnage perd une vie, on retire $150$ points, et chaque objet magique ramassé ajoute $75$ points.

Si un joueur a réussi $4$ niveaux, perdu $3$ vies et ramassé $12$ objets magiques, quel est son score total ? Écrire le calcul en utilisant des opérations combinées avec des nombres entiers relatifs.

Une équipe de futsal a une différence de buts de $-15$. Lors des trois derniers matchs, les résultats ont été :

• Match 1 : victoire $4$ à $1$.

• Match 2 : défaite $0$ à $3$.

• Match 3 : match nul $2$ à $2$.

Quelle est la différence de buts de l'équipe après ces trois matchs ? (Rappel : la différence de buts est la différence entre les buts marqués et les buts encaissés.)

Une entreprise de logistique possède une chambre froide pour conserver des aliments. La température initiale de la chambre est de $4\ ^\circ\text{C}$. À cause d'une panne d'électricité, la température augmente de $3\ ^\circ\text{C}$ par heure pendant les $5$ premières heures. Une fois la panne réparée, un système de refroidissement rapide fait baisser la température au rythme de $5\ ^\circ\text{C}$ par heure.

Si le système de refroidissement fonctionne pendant $4$ heures, quelle sera la température finale de la chambre ?

Un club d'athlétisme scolaire de Bordeaux tient le registre de son compte bancaire, où le solde $0$ € signifie qu'il n'y a ni fonds ni dettes. Au cours du mois d'octobre, le club paie $4$ inscriptions à des compétitions de $35$ € chacune, reçoit une subvention municipale de $220$ € et achète du matériel sportif pour $150$ €. À la fin du mois, le relevé bancaire indique que le solde final est de $-15$ € (le club est dans le rouge). Poser une expression avec des nombres entiers relatifs où le solde initial inconnu figure comme une inconnue ou un trou à compléter, et déduire par un raisonnement quel était le solde du club au début du mois.

La station de métro La Défense à Paris compte parmi les quais les plus profonds du réseau, situé à une cote de $-45\text{ m}$ par rapport à la surface (niveau de la rue, $0\text{ m}$). Un agent de maintenance se trouve sur ce quai et monte dans un monte-charge à une vitesse constante de $2\text{ m}$ par seconde pendant $12$ secondes. Ensuite, il descend par un escalier de service sur une distance de $7\text{ m}$ puis, enfin, monte de $15\text{ m}$ de plus pour réparer un coffret de ventilation. a) Écrire une seule opération combinée avec des nombres entiers relatifs qui détermine la cote finale de l'agent par rapport à la rue, en représentant la montée dans le monte-charge par une multiplication avec signe. b) À quelle profondeur ou à quelle hauteur se trouve le coffret de ventilation ? c) En utilisant la valeur absolue pour chaque tronçon, calculer la distance totale parcourue par l'agent lors de ses déplacements.

Un créateur de contenu sur une plateforme de streaming commence le mois avec un solde de $-125$ € à cause de l'achat d'un nouveau micro. Pendant la première semaine, il reçoit des dons d'une valeur de $450$ €. Cependant, la plateforme lui prélève une commission de $2$ € pour chacun des $15$ dons reçus. De plus, il doit payer $3$ abonnements de logiciel de $12$ € chacun. Calculer le solde final du créateur à la fin de la semaine et expliquer, à l'aide de la notion de valeur absolue, combien d'argent au total a « circulé » (entrées et sorties) sur son compte.

Le schéma résume les données de l'énoncé dans l'ordre où elles se produisent.

Un drone d'exploration météorologique décolle d'une base située sur une montagne à $+1200$ mètres au-dessus du niveau de la mer. La température à la base est de $+8$ $^\circ C$. Le drone monte de $600$ mètres ; la température baisse de $5$ $^\circ C$ tous les $200$ mètres de montée. Ensuite, il descend rapidement jusqu'à une fosse sous-marine située à $-150$ mètres par rapport au niveau de la mer.

1. Quelle est la température au point le plus haut du vol ?

2. Quelle est la différence d'altitude totale entre le point le plus haut atteint et le fond de la fosse ?

Lors d'un tournoi d'eSports, le score d'une équipe se calcule de la façon suivante : $+100$ points par victoire, $-40$ points par défaite et $-15$ points par pénalité de temps. L'équipe « Cipher » a disputé $24$ parties au total. On sait qu'elle a gagné le triple de parties qu'elle n'en a perdu et qu'elle a reçu $6$ pénalités de temps. Écrire une seule expression avec des nombres entiers relatifs permettant de calculer le score final de l'équipe, puis la calculer.

Une station scientifique sous-marine a son centre de commande au niveau $0$ (au niveau de la mer). Elle dispose d'étages d'habitation vers le haut (positifs) et de laboratoires vers le bas (négatifs). Un chercheur quitte sa cabine à l'étage $+3$, descend de $8$ étages pour récupérer des échantillons, puis monte de $5$ étages pour les analyser et enfin descend encore de $4$ étages pour les stocker dans le dépôt de sécurité.

1. À quel étage se trouve le dépôt de sécurité ?

2. Si chaque étage mesure $4$ mètres de hauteur, à quelle profondeur (en mètres) par rapport au niveau de la mer se trouve le chercheur à la fin de son trajet ?

Un archéologue étudie une civilisation qui a prospéré en l'an $450$ av. J.-C. et a disparu en l'an $120$ apr. J.-C. Lors de ses fouilles dans une ancienne tour, il trouve une inscription au niveau supérieur, à $+18$ mètres de hauteur, et une chambre cachée située exactement à la même distance du sol, mais vers le bas (dans le sous-sol).

1. Combien d'années cette civilisation a-t-elle duré ?

2. Si l'archéologue se trouve dans la chambre cachée et monte jusqu'à l'inscription du niveau supérieur, combien de mètres a-t-il parcourus au total ? Exprimer les niveaux par des nombres entiers relatifs.

Dans une chambre froide de haute précision, la température baisse de $3$ $^\circ C$ toutes les $15$ minutes jusqu'à atteindre la température de conservation de $-24$ $^\circ C$. Si, à l'allumage de la chambre, la température intérieure était de $+12$ $^\circ C$ :

1. Combien d'heures faut-il pour que la chambre atteigne $-24$ $^\circ C$ ?

2. Si, après avoir atteint cette température, une panne d'électricité survient et que la température augmente de $2$ $^\circ C$ par heure, quelle sera la température après $7$ heures de panne ?

Un robot industriel se déplace sur un axe vertical. Sa programmation lui impose de répéter le cycle de mouvements suivant : monter de $12$ cm, descendre de $15$ cm et monter de $7$ cm.

1. Si le robot répète ce cycle $8$ fois de suite, quelle est sa position finale par rapport au point de départ ?

2. Quelle est la distance totale (en valeur absolue) parcourue par le robot après avoir terminé les $8$ cycles ?

La classe de 4e organise le voyage de fin d'année et tient un compte commun des recettes et des dépenses par trimestre. Au premier trimestre, elle a gagné $12000$ € grâce à la vente de calendriers. Au deuxième, elle a dépensé $15000$ € pour la réservation des autocars. Au troisième, les dépenses ont été le double de celles du deuxième (paiement de l'auberge). Pour qu'à la fin de l'année la classe ne soit pas dans le rouge (solde final égal à $0$ €), combien devra-t-elle gagner grâce aux activités du quatrième trimestre ? Écrire le calcul complet en utilisant des nombres entiers relatifs pour représenter les gains et les dépenses.

Dans le parc national des Écrins, un groupe de randonneurs analyse les variations d'altitude par rapport au refuge de départ (qui sert de point de référence $0\text{ m}$). Pendant l'itinéraire, ils effectuent quatre tronçons consécutifs avec les variations d'altitude suivantes : ils descendent de $160\text{ m}$, montent de $420\text{ m}$, descendent de $290\text{ m}$ et montent de $130\text{ m}$. Pour savoir à quelle altitude par rapport au refuge ils se trouvent en fin de journée et planifier l'effort, deux randonneurs proposent des méthodes différentes : la méthode de Marc consiste à calculer de gauche à droite dans l'ordre chronologique : $[((-160) + 420) - 290] + 130$ ; la méthode de Sophie consiste à regrouper d'un côté toutes les montées et de l'autre toutes les descentes : $(420 + 130) + [(-160) + (-290)]$. a) Calculer le résultat final avec les deux méthodes et nommer les propriétés des opérations sur les nombres entiers relatifs qui garantissent que les deux résultats coïncident. b) Si le guide de montagne leur demande de calculer en plus le « dénivelé cumulé total » (la somme de tous les mètres parcourus, en montée comme en descente, en utilisant la valeur absolue $|a|$), justifier laquelle des deux méthodes facilite ce calcul sans avoir à reprendre le problème depuis le début, puis calculer ce dénivelé.

Un barrage de la vallée de la Loire prend comme niveau de référence ($0\text{ hm}^3$) sa capacité de réserve optimale. Un dimanche d'hiver à 8 h, le niveau du barrage est à $+18\text{ hm}^3$ par rapport à ce niveau. En raison de la fonte des neiges en altitude, le barrage reçoit en continu un apport de $+14\text{ hm}^3$ par jour. Parallèlement, pour l'approvisionnement urbain et le débit écologique, on en évacue de façon contrôlée $-21\text{ hm}^3$ par jour. a) Modéliser par une expression avec des opérations combinées la situation du barrage après $5$ jours complets (le vendredi à 8 h). Expliquer si, pendant ces $5$ jours, le niveau s'est rapproché ou éloigné du niveau optimal, en justifiant la réponse avec la notion de valeur absolue. b) L'agence de l'eau a besoin que le dimanche à 8 h (exactement $2$ jours plus tard) le barrage atteigne exactement le niveau optimal ($0\text{ hm}^3$). En supposant que l'apport dû à la fonte reste constant à $+14\text{ hm}^3$ par jour pendant le week-end, calculer à l'aide d'une expression avec des nombres entiers relatifs combien d'hectomètres cubes au total il faut évacuer au cours de ces deux jours pour atteindre cet objectif.

Défi du thème. Quel est l'impact du froid sur le budget ? Dans le rôle d'un gestionnaire de l'énergie, élaborer un rapport d'urgence contre la précarité énergétique.

1. Données réelles : Se rendre sur le site de Météo-France et relever les températures maximale et minimale de 5 localités de l'intérieur ou de montagne ayant des relevés négatifs. Les identifier comme éléments de $\mathbb{Z}$ et calculer l'amplitude thermique ($T_{\text{max}} - T_{\text{min}}$) de chacune.

2. Modèle de dépense : Le coût de base du chauffage quotidien est de $14,25$ €. Pour chaque degré en dessous de zéro de la température minimale ($T_{\text{min}} < 0$), on ajoute une majoration de $1,30$ €, et pour chaque degré au-dessus de zéro de la température maximale ($T_{\text{max}} > 0$), on accorde une réduction de $0,65$ €. Poser et résoudre les opérations combinées avec des nombres entiers relatifs et des nombres décimaux pour trouver la dépense réelle quotidienne de chaque commune.

3. Représentation : Saisir les relevés dans un tableur, représenter les températures sur une droite graduée et calculer la température moyenne de chaque localité, $\frac{T_{\text{max}} + T_{\text{min}}}{2}$ (avec des décimales).

4. Proposition : Rédiger une proposition argumentée en priorisant la localité à laquelle attribuer l'enveloppe financière d'aide.

Rendre un rapport bref avec votre tableau, vos calculs et votre graphique.

Seront évalués :

• L'emploi rigoureux de l'ensemble $\mathbb{Z}$ et le calcul correct des amplitudes.

• La précision dans les opérations combinées avec des nombres décimaux.

• La représentation adaptée des données sur la droite graduée.

• La justification critique et cohérente de la proposition d'aide.