Exercices: Opérations sur les nombres entiers relatifs

Dans une station de ski des Alpes, le thermomètre indiquait $-5^{\circ}C$ à sept heures du matin. À midi, la température a augmenté de $12^{\circ}C$ puis, à la tombée de la nuit, elle a de nouveau baissé de $9^{\circ}C$. Quelle température indiquait le thermomètre en fin de journée ? Écrire l'opération complète en utilisant des nombres entiers relatifs.

Observer la droite graduée suivante et les déplacements effectués par une sauterelle en partant du point $0$. Indiquer le nombre entier relatif qui correspond à chaque position finale après les sauts représentés.

1. a) À quel nombre arrive-t-elle après le premier saut de $+4$ ?
2. b) Sur quel nombre atterrit-elle finalement après le deuxième déplacement ?

Calculer la valeur absolue des nombres suivants et les ranger dans l'ordre croissant :

$|-12|, |+5|, |0|, |-3|, |+1|$

Sur votre compte d'épargne pour le voyage de fin d'année, vous avez un solde initial de $45 €$. Pendant la semaine, vous effectuez les mouvements suivants :

• Vous déposez $20 €$ que vous a donnés votre grand-mère.

• Vous payez une place de cinéma qui coûte $9 €$.

• Vous achetez un livre d'occasion pour $6 €$.

• On vous rembourse $3 €$ que vous aviez prêtés à un ami.

Calculer le solde final à l'aide d'une expression comportant des nombres positifs et négatifs.

Calculer les multiplications et divisions suivantes en appliquant correctement la règle des signes :

1. a) $(+6) \cdot (-3) =$
2. b) $(-20) : (-5) =$
3. c) $(-8) \cdot (-4) =$
4. d) $(+35) : (-7) =$

Un livreur entre dans un immeuble et gare sa camionnette au deuxième sous-sol (étage $-2$). Il effectue les trajets suivants :

1. Il monte de 5 étages pour livrer un colis.

2. Il descend de 4 étages pour récupérer un autre carton.

3. Il monte de 7 étages pour la dernière livraison.

Calculer à quel étage se trouve le livreur à la fin de son travail. Aidez-vous du schéma suivant, où l'étage de départ est indiqué ; vous pouvez y marquer chaque trajet.

Calculer le résultat de ces opérations combinées en respectant les priorités opératoires :

1. a) $10 + 2 \cdot (-3) =$
2. b) $(-15) : 3 - 4 =$
3. c) $8 - (-10) : 2 =$
4. d) $(-5) \cdot (-2) + (-6) =$

Supprimer les parenthèses et calculer le résultat final des expressions suivantes :

1. a) $+(+7) + (-3) - (+5) =$
2. b) $-(-4) - (+8) + (-2) =$
3. c) $+(-10) - (-6) - (-1) =$

Mathis a résolu au tableau l'opération combinée suivante avec des nombres entiers relatifs :

Son développement étape par étape a été le suivant :

1) $12 - 4 = 8$

2) À l'intérieur du crochet : $(-3) - 5 = -8$

3) Multiplication à l'intérieur du crochet : $(-8) \cdot (-2) = 16$

4) Résultat final : $8 \cdot 16 = 128$

Identifier et expliquer de façon argumentée les deux erreurs commises par Mathis concernant les priorités opératoires. Ensuite, calculer correctement l'opération étape par étape, en appliquant avec soin les règles des signes.

Considérer l'expression suivante avec des nombres entiers relatifs :

1. a) Avant de faire le moindre calcul sur papier, estimer en justifiant si le résultat final sera un nombre positif, négatif ou nul. Pour cela, analyser mentalement la taille cumulée des termes qui se retranchent par rapport à ceux qui s'ajoutent.
2. b) Calculer la valeur exacte étape par étape en respectant la priorité des opérations et la règle des signes.
3. c) Comparer votre résultat avec l'estimation initiale et expliquer pourquoi votre prévision était juste ou non.

Dans un jeu vidéo de survie, un joueur commence avec $150$ points d'énergie. Pour chaque heure passée à explorer des grottes obscures, il perd $25$ points, mais pour chaque « cristal de lumière » qu'il ramasse, il gagne $40$ points.

Si le joueur passe $4$ heures dans les grottes et réussit à ramasser $3$ cristaux, écrire une expression avec des nombres entiers relatifs qui représente son énergie finale et la calculer.

Calculer le résultat des expressions suivantes en respectant la priorité des opérations et en portant une attention particulière aux signes :

1. a) $-5 \cdot [ -3 + 2 \cdot (4 - 7) ]$

1. b) $( -12 + 16 ) : ( 1 - 5 ) - 3 \cdot ( -2 )$

Un bathyscaphe de recherche océanographique est immergé à $-450$ mètres par rapport au niveau de la mer. Il effectue une manœuvre en trois étapes :

1. Il descend d'une distance équivalente au tiers de sa profondeur actuelle.

2. Il remonte de $120$ mètres pour éviter un courant thermique.

3. Il descend du double de ce qu'il a remonté à l'étape précédente.

À quelle profondeur se trouve le bathyscaphe à la fin de la manœuvre ? L'exprimer par une expression avec des nombres entiers relatifs.

Compléter les cases vides avec le nombre entier relatif qui convient pour que les égalités soient vraies :

1. a) $-15 + ( \square ) = -32$

1. b) $4 \cdot ( \square ) = -36$

1. c) $( \square ) : (-3) = +12$

1. d) $-10 - ( \square ) = -4$

Appliquer la distributivité pour calculer les expressions suivantes de deux façons différentes (en calculant d'abord la parenthèse, puis en distribuant le facteur) :

1. a) $-3 \cdot ( 8 - 12 )$

1. b) $5 \cdot [ -4 + ( -6 ) ]$

1. c) $( -10 + 2 ) \cdot ( -4 )$

Sur le compte bancaire d'un jeune épargnant, les mouvements suivants sont enregistrés au cours d'une semaine : un versement de $45$ €, un paiement par carte de $-12$ €, un virement reçu de $20$ € et trois prélèvements automatiques d'abonnements de $-9$ € chacun.

Si le solde au début de la semaine était de $-15$ €, quel est le solde final ? Écrire le calcul sous la forme d'une somme de nombres positifs et négatifs.

Compléter la pyramide numérique de multiplication suivante. La valeur de chaque case est le produit des deux nombres entiers relatifs situés juste en dessous.

Écrire une expression mathématique qui utilise au moins une multiplication, une division, une addition et des parenthèses, de sorte que le résultat final soit $-10$.

À la station Météo-France de Mont-Aigoual (Gard), un jour d'hiver, les variations de température suivantes ont été relevées :

• À 4 h, le thermomètre indiquait $-9\,^{\circ}\text{C}$.

• Entre 4 h et 10 h, la température a augmenté à un rythme constant de $2\,^{\circ}\text{C}$ par heure.

• Entre 10 h et 16 h, la température a augmenté au total de $5\,^{\circ}\text{C}$ supplémentaires.

• De 16 h à 23 h, l'arrivée d'un front froid a provoqué une baisse constante de $3\,^{\circ}\text{C}$ par heure.

1. a) Écrire une seule expression mathématique qui regroupe toutes ces variations pour calculer la température à 23 h.
2. b) La calculer pas à pas en appliquant la priorité des opérations.
3. c) Justifier, à partir du signe du résultat obtenu, si à 23 h l'eau à l'extérieur serait gelée ou à l'état liquide.

Pour calculer la valeur numérique de l'expression :

deux élèves de 4e proposent deux stratégies différentes :

• Charles dit : « Le mieux est d'appliquer la distributivité : multiplier $-7$ par chaque terme à l'intérieur du crochet, puis additionner et soustraire les résultats ».

• Lucie dit : « C'est beaucoup plus rapide de calculer d'abord les opérations regroupées à l'intérieur du crochet, puis de multiplier le résultat par $-7$ ».

1. a) Calculer l'expression en suivant en détail la méthode de Charles.
2. b) Calculer l'expression en suivant en détail la méthode de Lucie.
3. c) Comparer les deux méthodes : laquelle des deux s'est avérée la plus avantageuse dans ce cas ? Expliquer quelle particularité numérique avaient les termes du crochet qui justifie votre choix.

Calculer l'expression suivante en portant une attention particulière à la priorité des opérations et à l'usage des parenthèses, crochets et accolades :

$15 - \{ -3 \cdot [8 - (12 - 15) \cdot (-2)] + (-18) : (5 - 11) \}$

Calculer la valeur que doit avoir l'inconnue $x$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée. Détailler toutes les étapes intermédiaires du raisonnement :

$24 : \{ -2 \cdot [x - (12 - 17)] \} = -3$

Une entreprise technologique cotée en bourse a commencé la semaine avec une valeur par action de $45$ €. Pendant les cinq jours ouvrés, elle a subi les variations quotidiennes suivantes :

• Lundi : monte de $3$ €.

• Mardi : baisse du double de la hausse de lundi.

• Mercredi : perd $4$ €.

• Jeudi : récupère la moitié de ce qui a été perdu entre mardi et mercredi.

• Vendredi : monte du triple de la variation de lundi.

Quelle est la valeur finale de l'action à la clôture du vendredi ? Exprimer tout le processus par une seule opération sur des nombres entiers relatifs.

Utiliser la distributivité dans le sens inverse (factorisation) pour calculer le plus rapidement et le plus simplement possible le résultat de l'expression suivante :

$(-12) \cdot 35 + (-12) \cdot (-18) + (-12) \cdot 33$

Une fois le facteur commun mis en évidence, calculer la parenthèse et obtenir le résultat final.

Un drone sous-marin d'exploration se trouve immergé à une profondeur de $-150$ mètres par rapport au niveau de la mer. Il effectue les déplacements suivants :

1. Il remonte de $80$ mètres pour éviter un courant.

2. Il descend du triple de ce qu'il vient de remonter.

3. Il remonte de la moitié de la profondeur à laquelle il se trouvait après le deuxième déplacement.

Calculer la profondeur finale du drone et l'exprimer par une expression qui comporte des valeurs absolues pour les distances parcourues.

Simplifier l'expression suivante en supprimant les parenthèses et en utilisant les propriétés de la valeur absolue et de l'opposé :

$- | -8 + 3 \cdot (-2) | - [ - ( - 10 ) + ( - 4 ) \cdot ( - 3 ) ]$

Dans un gratte-ciel très haut, un agent de maintenance se trouve au sous-sol $-4$. Il monte de $12$ étages pour réparer une climatisation. Ensuite, il descend du double du nombre d'étages qu'il avait montés au départ. Enfin, il monte du nombre d'étages égal à la valeur absolue de l'étage où il se trouve à ce moment pour atteindre sa dernière tâche.

À quel étage l'agent termine-t-il sa journée de travail ?

Compléter les cases vides de cette pyramide de nombres entiers relatifs sachant que la valeur de chaque case est égale à la somme des deux nombres situés juste en dessous. Il faut d'abord calculer les cases de la base pour pouvoir compléter le reste.

On dispose des six nombres entiers relatifs suivants : $\{-6, -4, -2, 3, 5, 8\}$.

Il faut choisir exactement quatre nombres distincts dans la liste pour compléter les cases vides de cette structure, de sorte que le résultat final soit exactement $-1$ :

1. a) Trouver quel nombre doit être placé dans chaque case et écrire l'expression complète sans répéter aucun des nombres choisis.
2. b) Calculer pas à pas l'expression obtenue en justifiant chaque transformation selon la priorité des opérations.
3. c) Sans changer la position ni remplacer aucun des quatre nombres sélectionnés, raisonner pour trouver l'unique changement de signe sur l'un d'eux qui permettrait d'obtenir le résultat final $+1$, en s'appuyant sur les propriétés de la division des nombres entiers relatifs.

Deux robots sous-marins de l'Ifremer explorent une faille marine au large du Parc national des Calanques :

• Le robot Alpha part du niveau de la mer ($0\text{ m}$) et descend à vitesse constante de $5\text{ m/min}$ pendant $6\text{ minutes}$. Puis, à cause d'un courant, il remonte de $8\text{ mètres}$ et, enfin, descend du double des mètres qu'il vient de remonter.

• Le robot Beta est situé à une cote de $-18\text{ mètres}$ et reçoit l'ordre de se déplacer verticalement jusqu'à se placer exactement à la moitié de la profondeur finale atteinte par le robot Alpha.

1. a) Écrire une seule expression avec des nombres entiers relatifs qui détermine la cote finale du robot Alpha et calculer sa valeur.
2. b) Déterminer la cote finale du robot Beta et écrire une soustraction de nombres entiers relatifs qui exprime de combien de mètres il doit se déplacer depuis sa cote initiale ($-18\text{ m}$) jusqu'à la cote finale. Interpréter le sens du déplacement à partir du signe de cette différence.
3. c) La distance entre deux cotes $x$ et $y$ se définit par la valeur absolue de leur différence : $|x - y|$. Si la consigne de sécurité de la mission exige que la distance entre les deux robots ne dépasse à aucun moment $15\text{ mètres}$, calculer la distance finale entre Alpha et Beta et justifier si la consigne est respectée ou non.