Exercices: Situation d'équiprobabilité

On lance un dé équilibré. Calculer la probabilité de chaque événement :

a) Obtenir un $3$.

b) Obtenir un nombre pair.

c) Obtenir un nombre supérieur à $4$.

d) Ne pas obtenir un $6$.

Dans le sac de la figure, qui contient $5$ boules rouges et $3$ vertes, on tire une boule au hasard.

Calculer la probabilité de :

a) Tirer une boule rouge.

b) Tirer une boule verte.

c) Tirer une boule jaune.

On tire une carte d'un jeu espagnol de $40$ cartes. Ce jeu comporte $4$ couleurs (« oros » = deniers, « copas » = coupes, « espadas » = épées, « bastos » = bâtons) de $10$ cartes chacune : as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, valet, cavalier et roi. Calculer la probabilité que ce soit :

a) Un « oros ».

b) Un as.

c) Une figure (valet, cavalier ou roi).

d) Le roi de « copas ».

Une roue est divisée en $8$ secteurs égaux numérotés de $1$ à $8$. Calculer la probabilité que l'aiguille s'arrête sur :

a) Le $5$.

b) Un multiple de $3$.

c) Un nombre supérieur à $5$.

d) Un nombre inférieur à $9$.

On lance une pièce et un dé. Calculer la probabilité d'obtenir :

a) « Pile » et un $6$.

b) « Face » et un nombre impair.

c) « Pile » et un nombre inférieur à $5$.

Dans une classe de quatrième, il y a $14$ filles et $16$ garçons. On choisit une personne au hasard pour lire à voix haute.

a) Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

b) Et que ce soit un garçon ?

Attribuer sa probabilité à chaque événement et expliquer pourquoi :

a) En lançant un dé, obtenir un nombre inférieur à $7$.

b) En lançant un dé, obtenir un $8$.

c) En tirant une carte d'un jeu espagnol, que ce soit un « oros », une « copa », une « espada » ou un « basto ».

On choisit au hasard un domino dans un jeu complet de $28$ dominos. Calculer la probabilité que ce soit :

a) Le double $6$.

b) Un double quelconque (il y en a $7$).

c) Un domino contenant le nombre $0$ (il y en a $7$).

La roue de la figure a trois secteurs avec les angles indiqués.

Calculer la probabilité que l'aiguille s'arrête sur :

a) Le secteur rouge.

b) Le secteur vert.

c) Un secteur qui ne soit pas jaune.

On écrit les lettres du mot PROBABILIDAD sur des cartes et on en tire une au hasard. Calculer la probabilité que ce soit :

a) Une voyelle.

b) La lettre B.

c) Une consonne.

On lance un dé équilibré. Calculer la probabilité d'obtenir :

a) Un multiple de $3$.

b) Un nombre premier.

c) Un nombre inférieur à $7$.

d) Un nombre supérieur à $6$.

Une boule est tirée d'un tambour contenant des boules numérotées de $1$ à $12$. Calculer la probabilité que ce soit :

a) Un nombre pair.

b) Un nombre supérieur à $8$.

c) Un diviseur de $12$.

d) Un multiple de $5$.

En classe de mathématiques, Lucie présente une roue divisée en trois secteurs colorés : un rouge d'angle au centre $90^\circ$, un bleu également de $90^\circ$ et un jaune de $180^\circ$. Pour calculer la probabilité que la flèche s'arrête sur le rouge, Lucie affirme : « Comme il y a trois résultats possibles (rouge, bleu et jaune) et que le rouge en est un, par la situation d'équiprobabilité la probabilité est $P(\text{rouge}) = \frac{1}{3}$ ».

a) Expliquer en détail l'erreur que commet Lucie en appliquant directement l'équiprobabilité et en ne comptant que les couleurs.

b) Calculer la probabilité réelle que la flèche indique le secteur rouge en utilisant le rapport entre l'angle du secteur et le disque entier. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible et en pourcentage.

c) Utiliser la formule de l'événement contraire pour calculer la probabilité que la flèche ne s'arrête pas sur le secteur jaune, c'est-à-dire $P(\overline{\text{jaune}})$.

Une professeure de mathématiques prépare un sac opaque contenant $20$ jetons identiques au toucher, mais de trois couleurs différentes : rouges, verts et bleus. Pour que ses élèves découvrent combien il y a de jetons de chaque couleur sans regarder à l'intérieur, elle leur donne les indices suivants :

• En tirant un jeton au hasard, la probabilité qu'il soit rouge est exactement $0,4$.

• La probabilité de tirer un jeton bleu est le double de celle de tirer un jeton vert.

a) Combien de jetons rouges le sac contient-il ?

b) Proposer un raisonnement justifié pour déterminer le nombre de jetons verts et le nombre de jetons bleus que contient le sac.

c) Vérifier numériquement que la somme des probabilités des trois couleurs satisfait la propriété fondamentale des probabilités.

a) Si la probabilité de tirer un « oros » dans un jeu espagnol est $\frac{1}{4}$, quelle est la probabilité de ne pas tirer un « oros » ?

b) Si $P(A) = 0,35$, combien vaut la probabilité de l'événement contraire de $A$ ?

c) Dans une urne, il n'y a que des boules rouges, bleues et vertes. Si la probabilité de tirer une boule rouge est $\frac{2}{7}$ et celle de tirer une boule bleue est $\frac{3}{7}$, quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?

On lance deux dés et on note la somme des points. Aidez-vous d'un tableau à double entrée pour calculer :

a) $P(\text{somme égale à } 7)$

b) $P(\text{somme supérieure à } 9)$

c) $P(\text{somme paire})$

d) $P(\text{somme différente de } 7)$

On lance deux pièces. Calculer la probabilité d'obtenir :

a) Deux « face ».

b) Un « face » et un « pile », dans n'importe quel ordre.

c) Au moins un « face ».

d) Aucun « face ».

On tire une carte d'un jeu espagnol de $40$ cartes. Calculer la probabilité que ce soit :

a) Un « oros » ou une figure.

b) Une « copa » ou un as.

c) Ni une figure ni un as.

d) De la couleur « bastos » ou une carte numérotée inférieure à $4$ (l'as compte pour $1$).

Dans un sac, il y a $5$ boules rouges, $3$ bleues et $2$ blanches. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité que :

a) Elle ne soit pas blanche.

b) Elle soit blanche ou bleue.

c) Elle soit jaune.

d) Elle ne soit pas jaune.

Les élèves d'un établissement qui pratiquent un sport extrascolaire se répartissent ainsi :

On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité que :

a) Il soit en école primaire.

b) Il pratique la natation.

c) Il soit en école primaire et joue au tennis.

d) Sachant qu'il est au collège, il pratique le tennis.

On fait tourner au hasard la petite aiguille d'une horloge. Calculer la probabilité qu'elle indique une heure :

a) Entre $3$ et $4$.

b) Antérieure à $6$.

c) Postérieure à $10$.

d) Entre $2$ et $8$.

On choisit au hasard un nombre de $1$ à $50$. Calculer la probabilité qu'il soit :

a) Multiple de $4$.

b) Multiple de $5$.

c) Multiple de $4$ et de $5$.

d) Multiple de $4$ ou de $5$.

La roue de la figure a quatre secteurs avec les angles indiqués.

Calculer la probabilité que l'aiguille s'arrête sur :

a) Le secteur rouge.

b) Le secteur jaune.

c) Le secteur bleu ou le vert.

d) Un secteur qui ne soit pas rouge.

On lance trois pièces. À l'aide d'un arbre pondéré, calculer la probabilité d'obtenir :

a) Exactement deux « face ».

b) Au moins un « pile ».

c) Trois résultats identiques.

d) Exactement un « face ».

Pour un contrôle de géographie, il faut situer les $17$ régions sur une carte muette. Richard ne connaît l'emplacement que de $9$.

a) Si on lui demande d'en situer une au hasard lors du contrôle, quelle est la probabilité que ce soit l'une de celles qu'il connaît ?

b) S'il tombe sur l'une de celles qu'il ne connaît pas et la place au hasard parmi les $8$ restantes, quelle est la probabilité qu'il tombe juste ?

Le graphique montre les bonbons qui se trouvent dans un sac. On en tire un au hasard.

Calculer la probabilité qu'il soit :

a) À la fraise.

b) Au citron ou à la menthe.

c) Pas à la pomme.

d) À l'orange.

On lance simultanément deux dés cubiques équilibrés à six faces (numérotées de $1$ à $6$) et on additionne les points obtenus. On définit l'événement $A = \text{« la somme est inférieure ou égale à } 4\text{»}$.

a) Avant de faire le moindre calcul, faire une estimation intuitive : pensez-vous que la probabilité de l'événement $A$ soit supérieure, inférieure ou à peu près égale à $25\,\%$ ? Écrire une phrase justifiant votre première impression.

b) Élaborer un tableau à double entrée de $6 \times 6$ avec les $36$ résultats possibles pour la somme des deux faces.

c) Appliquer le calcul d'une probabilité en situation d'équiprobabilité à partir de votre tableau pour déterminer la valeur exacte de $P(A)$. Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible et de pourcentage avec un chiffre après la virgule.

d) Comparer le résultat mathématique obtenu avec votre estimation de la question a) et expliquer pourquoi beaucoup de personnes ont tendance à surestimer intuitivement la fréquence des sommes faibles dans cette expérience.

Dans une gare du RER à Paris, on enregistre les arrivées de $80$ trains pendant une matinée afin d'analyser la ponctualité de trois lignes (C-3, C-4 et C-5). Les données recueillies sont :

• De la ligne C-5 circulent $48$ trains, dont $42$ arrivent à l'heure et $6$ avec du retard.

• De la ligne C-3 circulent $20$ trains, avec $15$ à l'heure et $5$ en retard.

• De la ligne C-4 circulent $12$ trains, avec $9$ à l'heure et $3$ en retard.

a) Organiser toutes les données dans un tableau à double entrée montrant les lignes en lignes et la ponctualité (à l'heure / en retard) en colonnes, en ajoutant les totaux.

b) Si un usager monte dans un train choisi au hasard parmi tous ceux enregistrés ce matin-là, calculer la probabilité qu'il voyage dans un train de la ligne C-5 arrivé à l'heure. Calculer aussi la probabilité qu'il monte dans un train en retard (quelle que soit la ligne).

c) Une association d'usagers affirme : « La ligne C-5 fonctionne deux fois plus mal que la C-4 parce qu'elle cumule $6$ trains en retard et la C-4 seulement $3$ ». Utiliser le calcul d'une probabilité en situation d'équiprobabilité pour calculer et comparer la probabilité qu'un train soit en retard sur la ligne C-5 avec la probabilité qu'il soit en retard sur la ligne C-4. Justifier si la plainte de l'association est fondée mathématiquement.

Pour entrer dans un jeu de la fête du collège, vous devez lancer un dé et obtenir plus de points que le « gardien », qui lance un autre dé avant vous.

a) Construire un tableau à double entrée avec les $36$ confrontations possibles.

b) Quelle est la probabilité que vous entriez dans le jeu ?

c) Quelle est la probabilité d'égalité avec le gardien ?

d) Si la règle était « obtenir au moins le double des points du gardien », quelle serait la probabilité d'entrer ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

On lance deux dés et on note le produit des points.

a) Construire le tableau à double entrée avec les $36$ produits.

b) Calculer la probabilité que le produit soit pair.

c) Calculer la probabilité que le produit soit un multiple de $5$.

d) Calculer la probabilité que le produit soit supérieur à $20$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Dans une urne, il y a $4$ boules rouges et $6$ vertes. Combien de boules bleues faut-il ajouter pour que la probabilité de tirer une boule rouge soit $\frac{1}{4}$ ? Poser l'équation et la résoudre.

Dans une classe de $30$ élèves, il y a $18$ filles, dont $12$ ont validé toutes les matières. Au total, $10$ élèves de la classe n'ont pas validé au moins une matière.

a) Construire un tableau à double entrée (filles/garçons selon tout validé/au moins une matière non validée).

b) Si l'on choisit une personne au hasard, quelle est la probabilité que ce soit un garçon qui ait tout validé ?

c) Sachant que la personne choisie n'a pas validé au moins une matière, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Dans une famille avec deux enfants, Chloé raisonne : « Il y a trois cas possibles : deux garçons, deux filles ou un de chaque ; donc la probabilité que les deux soient des garçons est $\frac{1}{3}$ ».

a) Expliquer pourquoi son raisonnement est incorrect.

b) Écrire l'univers correct, en tenant compte de l'ordre de naissance, et calculer la probabilité correcte.

c) Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins une fille ?

Un dé tétraédrique a ses faces numérotées $1$, $2$, $2$ et $3$, et un autre dé tétraédrique $2$, $3$, $3$ et $4$. On lance les deux et on note le produit.

a) Construire le tableau à double entrée avec les $16$ produits possibles.

b) Calculer la probabilité que le produit soit pair.

c) Calculer la probabilité que le produit soit $6$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Une association vend $200$ tickets numérotés de $000$ à $199$ pour une tombola caritative. On en tire un au hasard. Calculer la probabilité que le numéro gagnant :

a) Contienne le chiffre $7$.

b) Soit un multiple de $10$.

c) Commence par le chiffre $1$.

d) Ait ses trois chiffres identiques.

On tire deux cartes d'un jeu espagnol de $40$ cartes, sans remettre la première dans le paquet.

a) Quelle est la probabilité que la première carte soit un « oros » (carreau) ?

b) Si la première carte était un « oros », quelle est la probabilité que la deuxième en soit aussi un ?

c) Quelle est la probabilité que les deux cartes soient des « oros » ?

d) Et celle qu'aucune des deux ne soit un « oros » ?

Dans un jeu de société coopératif, pour activer un sort protecteur, on lance en même temps $3$ dés cubiques équilibrés à six faces. La condition pour que le sort fonctionne est d'obtenir au moins un $6$ parmi les trois dés. Deux élèves discutent de la façon de calculer la probabilité de réussite :

• Sophie propose : « C'est beaucoup plus rapide de calculer d'abord la probabilité de n'obtenir aucun $6$ sur aucun des dés, puis d'appliquer la propriété de l'événement contraire : $P(\text{gagner}) = 1 - P(\text{aucun } 6)$ ».

• Daniel propose : « Il vaut mieux calculer les cas favorables en additionnant trois situations différentes : obtenir exactement un $6$, obtenir exactement deux $6$ ou obtenir trois $6$ ».

a) Déterminer le nombre total de cas possibles lorsqu'on lance simultanément les trois dés à six faces.

b) Développer pas à pas la méthode de Sophie : calculer combien de cas ne contiennent aucun $6$, obtenir la probabilité de ne pas gagner et en déduire la probabilité finale de gagner sous forme de fraction irréductible et de pourcentage approché.

c) Développer la méthode de Daniel : compter de manière raisonnée et ordonnée combien de résultats possibles correspondent à l'obtention d'exactement un $6$, combien à exactement deux $6$ et combien à trois $6$. Vérifier que le total des cas favorables coïncide exactement avec le résultat de Sophie.

d) Justifier laquelle des deux méthodes vous choisiriez si la règle du jeu changeait et que l'on lançait $5$ dés au lieu de $3$, en évaluant la difficulté du dénombrement dans chaque cas.

Une association de jeunes conçoit une roue circulaire de $360^\circ$ pour organiser une tombola caritative et collecter des fonds pour une cause sociale. La roue a quatre secteurs : Or, Argent, Bronze et Blanc (sans lot). Les consignes convenues pour sa conception sont :

• La probabilité de tomber sur le secteur « Or » doit être exactement la moitié de celle de tomber sur le secteur « Argent ».

• Le secteur « Bronze » doit avoir un angle au centre de $90^\circ$.

• La probabilité de ne rien gagner (secteur « Blanc ») doit être exactement $0,4$.

• Chaque tour coûtera $1$ euro aux participants et l'on prévoit un total de $600$ tours au cours de la journée.

a) Déterminer l'angle au centre en degrés ($^\circ$) et la probabilité théorique correspondant à chacun des quatre secteurs de la roue.

b) Les lots prévus sont : le secteur « Or » donne un bon de $5$ euros, le secteur « Argent » donne un bon de $2$ euros, le « Bronze » offre un petit souvenir qui a coûté $0,50$ euros à l'association, et le « Blanc » ne donne rien. Calculer la dépense totale attendue en lots si les $600$ tours prévus sont effectués.

c) Comparer les recettes prévues par la vente des $600$ tours avec la dépense estimée en lots : l'association réalisera-t-elle un bénéfice avec cette conception ou subira-t-elle des pertes ? Justifier votre réponse par des calculs et proposer un changement concret dans la répartition des secteurs pour corriger la situation en conservant les quatre types de lots.