Exercices: Intérêts composés et variation en pourcentage

Écrire le coefficient multiplicateur correspondant à chacune de ces variations en pourcentage :

1. a) Une augmentation de $25\ \%$.

1. b) Une diminution de $15\ \%$.

1. c) Une augmentation de $3\ \%$.

1. d) Une diminution de $60\ \%$.

1. e) Une augmentation de $130\ \%$.

Quelle augmentation ou diminution en pourcentage correspond à chacun de ces coefficients multiplicateurs ?

1. a) $1,45$

1. b) $0,82$

1. c) $2,1$

1. d) $0,05$

1. e) $1,06$

Appliquer le coefficient multiplicateur correspondant pour calculer la valeur finale :

1. a) Une place de festival qui coûte $80\ \text{€}$ augmente de $15\ \%$.

1. b) Des baskets à $64\ \text{€}$ sont soldées de $25\ \%$.

1. c) Le loyer de $950\ \text{€}$ par mois d'un local augmente de $4\ \%$.

Un épargnant dépose $2\,000\ \text{€}$ sur un dépôt à $4\ \%$ par an en intérêts composés, c'est-à-dire que chaque année les intérêts s'ajoutent au capital et produisent eux aussi des intérêts.

1. a) En quoi le capital se transforme-t-il à la fin de la première année ?

1. b) Et à la fin de la deuxième année ?

1. c) Pourquoi l'augmentation de la deuxième année est-elle plus grande que celle de la première, alors que le pourcentage est le même ?

Les pourcentages peuvent être supérieurs à $100\ \%$ :

1. a) La population d'un nouveau quartier a augmenté de $150\ \%$ en dix ans. Quel est le coefficient multiplicateur ? S'il y avait $1\,200$ habitants, combien y en a-t-il maintenant ?

1. b) Le nombre de points d'un club a triplé. À quelle augmentation en pourcentage cela correspond-il ?

1. c) « Augmenter de $200\ \%$ » est-ce la même chose que « doubler » ? Justifier la réponse avec un exemple.

Les pourcentages peuvent aussi être inférieurs à $1\ \%$ :

1. a) Un organisme prélève une commission de $0,3\ \%$ pour chaque virement urgent. Combien prélève-t-il pour un virement de $4\,500\ \text{€}$ ?

1. b) Dans une piscine olympique de $2\,500\,000\ \text{L}$ d'eau, $0,02\ \%$ correspondent à l'eau renouvelée chaque jour pour les apports de chlore et l'équilibrage. Combien de litres cela représente-t-il ?

1. c) Exprimer $0,5\ \%$ sous forme de coefficient multiplicateur et de fraction.

Dans un magasin de vêtements en période de soldes, un manteau coûte initialement $90\ \text{€}$. La première semaine, une réduction de $20\ \%$ est appliquée, et la deuxième semaine, une réduction supplémentaire de $15\ \%$ est appliquée sur le prix déjà soldé.

Mathis calcule le prix final en additionnant les deux pourcentages : $20\ \% + 15\ \% = 35\ \%$, applique donc un unique coefficient multiplicateur de $1 - 0,35 = 0,65$ et affirme que le manteau coûte $90 \cdot 0,65 = 58,50\ \text{€}$.

1. a) Identifier et expliquer en justifiant l'erreur de raisonnement de Mathis. Sur quelle quantité faut-il réellement appliquer la deuxième réduction ?
2. b) Écrire les coefficients multiplicateurs de chaque réduction et calculer, à l'aide des coefficients successifs, le prix final correct du manteau.
3. c) Sans vous contenter du nombre obtenu, expliquer pourquoi le prix réel est plus élevé que celui calculé par Mathis.

La facture d'eau bimestrielle d'une famille a augmenté de $5\ \%$ à cause d'une majoration exceptionnelle liée à la sécheresse, atteignant un montant final de $42\ \text{€}$.

1. a) Avant d'effectuer des calculs complexes, faire une estimation mentale : le prix avant l'augmentation était-il d'environ $40\ \text{€}$, $35\ \text{€}$ ou moins ? Justifier la réponse en calculant mentalement ce que représenterait une augmentation de $5\ \%$ sur $40\ \text{€}$.
2. b) Écrire le coefficient multiplicateur associé à l'augmentation et calculer le prix initial exact en divisant le montant final par ce coefficient.
3. c) Vérifier si le résultat exact confirme votre estimation. Si, des $42\ \text{€}$ finaux, vous retranchiez directement les $5\ \%$ ($42 \cdot 0,95$), obtiendriez-vous le prix initial ? Effectuer la vérification numérique et expliquer pourquoi les résultats ne coïncident pas.

Un magasin augmente le prix de ses produits de $20\ \%$ puis, un mois après, les baisse de $20\ \%$.

1. a) Des écouteurs coûtaient initialement $50\ \text{€}$. Combien coûtent-ils après l'augmentation ? Et après la baisse ?

1. b) Calculer le coefficient multiplicateur global en multipliant les coefficients de chaque variation.

1. c) Les prix sont-ils revenus à leur valeur initiale ? Quelle a été la variation globale en pourcentage ?

Des grands-parents déposent $3\,000\ \text{€}$ sur un compte d'épargne à $5\ \%$ par an d'intérêts composés pour leur petite-fille.

1. a) Écrire l'expression donnant le capital final au bout de $4$ ans à l'aide d'une puissance.

1. b) Calculer le capital final à la calculatrice.

1. c) Combien d'euros correspondent aux intérêts ?

Après une réduction de $25\ \%$, un manteau coûte $54\ \text{€}$.

1. a) Quel est le coefficient multiplicateur de la réduction ?

1. b) Calculer le prix initial en divisant par le coefficient multiplicateur.

1. c) Vérifier le résultat en appliquant la réduction au prix initial que vous avez obtenu.

Comparer deux façons de placer $1\,000\ \text{€}$ pendant $3$ ans à $6\ \%$ par an, comme le montre la figure :

• Intérêts simples : chaque année, les mêmes intérêts sont générés sur le capital initial.

• Intérêts composés : chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital.

1. a) Calculer le capital final en intérêts simples.

1. b) Calculer le capital final en intérêts composés.

1. c) Quelle est la différence ? D'où vient cette différence ?

Une banque propose un dépôt de $1\,200\ \text{€}$ à $6\ \%$ par an avec versement des intérêts chaque mois (intérêts composés mensuels).

1. a) Quel pourcentage d'intérêt est appliqué chaque mois ?

1. b) Écrire l'expression du capital final au bout de $2$ ans, sachant qu'il y a $24$ périodes mensuelles.

1. c) Calculer le capital final et le comparer à celui que l'on obtiendrait avec un versement annuel des intérêts : $1\,200 \cdot 1,06^2$. Lequel est le plus grand ?

Les actions d'une entreprise technologique ont augmenté de $40\ \%$ la première année, baissé de $30\ \%$ la deuxième et augmenté de $10\ \%$ la troisième.

1. a) Calculer le coefficient multiplicateur de chaque année et le coefficient multiplicateur global des trois années.

1. b) Si un paquet d'actions valait $2\,500\ \text{€}$ au départ, combien vaut-il à la fin de la troisième année ?

1. c) Quelle a été la variation globale en pourcentage ? Pourquoi ne coïncide-t-elle pas avec la somme des trois pourcentages ?

Un compte d'épargne pour jeunes offre un intérêt composé de $3\ \%$ par an. Une personne dépose $1\,500\ \text{€}$ et décide de ne pas toucher à l'argent pendant $4$ ans. Deux élèves proposent deux chemins différents pour calculer le capital accumulé à la fin de la période :

• Hélène propose la méthode pas à pas : calculer les $3\ \%$ de $1\,500\ \text{€}$ et les ajouter ; sur le résultat obtenu, calculer de nouveau les $3\ \%$ et les ajouter, en répétant le processus quatre fois de suite.

• Lucie propose la méthode globale : poser la formule des intérêts composés à l'aide du coefficient multiplicateur : $C_f = 1\,500 \cdot 1,03^4$.

1. a) Démontrer algébriquement que les deux méthodes donnent le même résultat en factorisant les deux premières années de la méthode d'Hélène.
2. b) Comparer les deux chemins : quels sont les avantages et les inconvénients de chacun ? Si la durée était de $20$ ans, lequel choisiriez-vous et pourquoi ?
3. c) Calculer le capital final accumulé et les intérêts totaux gagnés au bout des $4$ ans en utilisant la méthode que vous jugez la plus efficace.

D'après les données du recensement de l'INSEE, une commune rurale de la Creuse comptait $1\,200$ habitants au 1er janvier 2020. À cause de la dépopulation, son nombre d'habitants diminue à un rythme constant estimé à $4\ \%$ par an.

1. a) Écrire l'expression littérale qui modélise la population $P(t)$ en fonction du nombre d'années écoulées $t$ depuis 2020, en indiquant clairement le coefficient multiplicateur annuel utilisé.
2. b) Utiliser le modèle pour estimer la population de la commune au 1er janvier 2024 (arrondir le résultat au nombre entier de personnes le plus proche).
3. c) Quel pourcentage total de population le village aura-t-il perdu en ces $4$ ans ? Comparer ce pourcentage global avec la multiplication directe $4\ \text{ans} \cdot 4\ \% = 16\ \%$ et expliquer mathématiquement pourquoi la perte réelle cumulée est inférieure à $16\ \%$.

Le prix de la carte de transport d'une ville a baissé de $20\ \%$ grâce à une aide publique.

1. a) Si le ticket unitaire coûtait $1,55\ \text{€}$, combien coûte-t-il maintenant ?

1. b) Si l'aide est supprimée et que le prix revient à son niveau initial, de quel pourcentage faut-il augmenter le prix actuel pour retrouver le prix d'origine ?

1. c) Justifier, à l'aide des coefficients multiplicateurs, pourquoi la réponse n'est pas $20\ \%$, puis énoncer la règle générale : après une baisse de $r\ \%$, quelle augmentation en pourcentage ramène le prix à sa valeur initiale ?

Deux banques proposent un dépôt à un an pour $5\,000\ \text{€}$ :

• Banque A : $4,9\ \%$ par an avec versement des intérêts semestriel (la moitié du taux chaque semestre, soit $2,45\ \%$, avec intérêts composés).

• Banque B : $5\ \%$ par an avec un unique versement des intérêts à la fin de l'année.

1. a) Calculer le capital final à la banque A, sachant que l'on applique un taux de $2,45\ \%$ chaque semestre.

1. b) Calculer le capital final à la banque B.

1. c) Le TAEG (taux annuel effectif) est le pourcentage annuel réel que rapporte un dépôt en tenant compte de la fréquence des versements. Quel est le taux annuel effectif de chaque offre ? Quelle banque est la plus avantageuse ?

Tâche de décision. Inès a économisé $900\ \text{€}$ en travaillant le week-end et veut les placer pendant $3$ ans pour s'acheter un ordinateur à la fin du lycée. Comparer trois options, comme le montre la figure :

• Option 1 : compte jeune à $2\ \%$ par an à intérêts simples.

• Option 2 : dépôt à $1,8\ \%$ par an à intérêts composés.

• Option 3 : bons du Trésor à $2,5\ \%$ par an à intérêts composés, mais avec une pénalité de $15\ \text{€}$ en cas de retrait avant $3$ ans.

1. a) Calculer le capital final de chaque option.

1. b) Quelle est la différence en euros entre la meilleure et la moins bonne option ?

1. c) Inès pense qu'elle aura peut-être besoin de l'argent avant $3$ ans pour un stage d'été. Cela change-t-il votre recommandation ? Justifier votre choix.

Le prix du menu du jour dans un quartier a suivi l'inflation : il a augmenté de $6\ \%$ en 2023, de $3,5\ \%$ en 2024 et de $2\ \%$ en 2025. En 2022, le menu coûtait $11\ \text{€}$.

1. a) Calculer le prix du menu à la fin de chaque année à l'aide des coefficients multiplicateurs.

1. b) De quel pourcentage total le menu a-t-il augmenté en trois ans ?

1. c) Le salaire des travailleurs du quartier n'a augmenté que de $9\ \%$ sur cette période. Ont-ils gagné ou perdu du pouvoir d'achat pour payer le menu ? Justifier en comparant les coefficients multiplicateurs.

Une coopérative agricole a souscrit un emprunt de $8\,000\ \text{€}$ à rembourser en une seule fois au bout de $3$ ans, selon un système d'intérêts composés annuels, pour renouveler son matériel. À l'échéance des $3$ ans, la coopérative solde sa dette en versant au total $9\,528,13\ \text{€}$ (capital initial plus intérêts cumulés).

1. a) Écrire l'équation des intérêts composés dont la seule inconnue est le coefficient multiplicateur annuel $I_v$.
2. b) Isoler $I_v$ à l'aide de la racine cubique et déterminer le taux d'intérêt annuel nominal $r\ \%$ appliqué par l'établissement financier (arrondir $r$ à l'unité).
3. c) Si le contrat avait prévu de régler les intérêts mensuellement plutôt qu'annuellement avec ce même taux $r\ \%$, écrire l'expression complète permettant de calculer le montant total à rembourser après $36$ mois. Expliquer si, avec une capitalisation mensuelle, la coopérative paierait plus ou moins qu'avec la capitalisation annuelle.

Sur deux années consécutives, l'inflation en France mesurée par l'indice des prix à la consommation (IPC) a enregistré une hausse de $6\ \%$ la première année et de $4\ \%$ la seconde. Sur la même période, la convention collective d'Irène a fixé une hausse de salaire de $5\ \%$ la première année et de $5\ \%$ la seconde. Irène affirme : « Comme $5 + 5 = 10\ \%$ et que l'inflation totalise aussi $6 + 4 = 10\ \%$, mon pouvoir d'achat n'a pas varié du tout ».

1. a) Repérer l'erreur d'Irène. Calculer le coefficient multiplicateur global des prix (inflation) et celui du salaire d'Irène au bout des deux années.
2. b) Le coefficient multiplicateur du pouvoir d'achat est défini comme le quotient du coefficient global du salaire par celui des prix : $I_p = \frac{I_{\text{salaire}}}{I_{\text{prix}}}$. Calculer cette valeur avec quatre décimales et en déduire le pourcentage exact de pouvoir d'achat qu'Irène a réellement gagné ou perdu.
3. c) Si le salaire d'Irène était de $1\,500\ \text{€}$ au début de la période, calculer son salaire final après les deux années. Calculer ensuite quel pourcentage d'augmentation unique il faudrait appliquer à ce salaire final pour retrouver exactement le pouvoir d'achat initial.

Défi du thème. Imaginer que vous organisez le financement d'une coopérative scolaire et que vous devez présenter un plan économique réaliste dans un tableur ou un document numérique.

1. Données réelles et variation : consulter sur le site de l'INSEE la donnée officielle d'inflation (indice des prix) actuelle sur un an. Appliquer ce taux de variation pour actualiser un budget de base de $1500$ €.

2. Modélisation directe et inverse : exprimer la fonction directe du coût de transport en fonction de la distance ($y = 0,18x$). Puis, avec GeoGebra ou un tableur, représenter la fonction de proportionnalité inverse donnant le coût par membre pour la location d'un stand de $360$ € selon le nombre de participants ($y = 360/x$).

3. Partage et intérêts : partager $450$ € de bénéfices de façon proportionnelle aux heures consacrées par trois membres ($10$, $15$ et $25$ heures). Ensuite, comparer dans un tableau le capital final obtenu en plaçant un fonds de $1000$ € pendant $3$ ans au taux de $2,5$ % en intérêts simples puis en intérêts composés.

4. Proposition finale : rédiger un rapport justifiant quelle formule d'épargne est la plus avantageuse et joindre vos tableaux et graphiques.

Seront évalués :

• La précision mathématique des calculs de pourcentages, de partages et d'intérêts.

• La justesse technique de la modélisation et du graphique de la proportionnalité inverse.

• La rigueur dans l'intégration de la donnée réelle de l'INSEE et la cohérence des conclusions du rapport.