Exercices: Notions

Classer les expériences suivantes comme aléatoires ou déterministes, en justifiant brièvement la réponse dans chaque cas :

1. a) Observer si le prochain bus qui passe à l'arrêt devant le collège est de la ligne 5.
2. b) Mesurer le temps que met un objet à tomber au sol depuis une hauteur de 2 mètres dans le vide.
3. c) Prédire le gagnant du prochain tirage du Loto.
4. d) Calculer le coût de 3 kg de pommes sachant que le prix est de $1,50 \text{ €/kg}$.

On joue avec une roue divisée en huit secteurs égaux, numérotés de 1 à 8. Écrire l'univers $E$ de cette expérience et décrire les éléments des événements suivants :

1. a) $A =$ « Obtenir un nombre supérieur à 5 ».
2. b) $B =$ « Obtenir un nombre pair ».
3. c) $C =$ « Obtenir un multiple de 3 ».

Dans un sac de sport, il y a 4 maillots rouges, 3 bleus et 1 blanc. Si l'on tire un maillot sans regarder, indiquer laquelle des options suivantes décrit le mieux la probabilité de chaque événement (utiliser les termes : très probable, peu probable, impossible, certain) :

1. a) Tirer un maillot de couleur verte.
2. b) Tirer un maillot qui ne soit pas blanc.
3. c) Tirer un maillot rouge, bleu ou blanc.
4. d) Tirer un maillot bleu.

On lance deux pièces en l'air et on note le résultat de chacune (F pour Face, P pour Pile).

1. a) Utiliser un arbre pour trouver tous les résultats possibles.
2. b) Écrire l'univers de l'expérience.
3. c) Quelle est l'issue « obtenir deux faces » ?

On considère l'expérience aléatoire consistant à choisir au hasard une lettre du mot MATHEMATIQUES. Définir les notions suivantes associées à cette expérience :

1. a) L'univers $E$.
2. b) L'événement $V =$ « Choisir une voyelle ».
3. c) L'événement $C =$ « Choisir une consonne ».
4. d) Vérifier si $V$ et $C$ sont des événements contraires.

Un dé a ses faces peintes de couleurs : 3 faces sont rouges, 2 sont vertes et 1 est jaune. On lance le dé :

1. a) Quelle est la probabilité d'« obtenir la couleur rouge » ? Exprimer le résultat sous forme de fraction.
2. b) Quelle est la probabilité de « ne pas obtenir la couleur rouge » ?
3. c) Comment appelle-t-on techniquement l'événement de la question b) par rapport à celui de la question a) ?

Dans un jeu espagnol de 40 cartes, on tire une carte au hasard. Soient les événements $A =$ « Tirer un Roi » et $B =$ « Tirer une carte d'Oros (deniers) ». Indiquer :

1. a) $A$ et $B$ sont-ils des événements compatibles ou incompatibles ? Pourquoi ?
2. b) Quel est l'événement intersection $A \cap B$ ?
3. c) Décrire avec des mots l'événement réunion $A \cup B$.

La figure montre comment le jeu est organisé : 4 couleurs et 10 cartes par couleur (numérotées de 1 à 7, et les figures 10 = valet, 11 = cavalier et 12 = roi).

Dans le tambour d'un loto, il y a des boules numérotées de 1 à 20. On tire une boule au hasard. Classer les événements suivants en élémentaires ou composés :

1. a) $S_1 =$ {obtenir le numéro 13}.
2. b) $S_2 =$ {obtenir un nombre premier inférieur à 10}.
3. c) $S_3 =$ {obtenir un multiple de 7}.
4. d) $S_4 =$ {obtenir le plus grand nombre pair du sac}.

En classe de mathématiques, Marc analyse l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Après un moment de réflexion, il affirme : « Considérons les événements $A = \text{« obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 »}$ et $B = \text{« obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 »}$. Ce sont des événements contraires car, en les réunissant, ils couvrent toutes les issues possibles : $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = E$ ».\n\na) Expliquer en détail quelle est l'erreur dans le raisonnement de Marc. Quelles deux conditions doivent être remplies simultanément pour que deux événements soient formellement contraires ?\nb) Écrire en extension (en listant ses éléments) le véritable événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$.\nc) Déterminer l'intersection $A \cap B$ et en déduire si $A$ et $B$ sont des événements compatibles ou incompatibles.

Dans un jeu de société, on tire au hasard un jeton numéroté dans un sac. L'univers de l'expérience est $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. On vous demande de construire et de déterminer les éléments de deux événements, $A$ et $B$, qui vérifient simultanément les quatre conditions suivantes :\n1. L'événement $A$ doit être formé d'exactement 5 issues.\n2. L'intersection des deux événements doit être $A \cap B = \{2, 6\}$.\n3. La réunion des deux événements doit contenir tous les éléments de l'univers sauf le 8, c'est-à-dire $A \cup B = E \setminus \{8\}$.\n4. L'événement $B$ a exactement 4 éléments.\n\na) Écrire les éléments qui forment l'événement $A$ et l'événement $B$, en justifiant pas à pas comment vous décidez de l'emplacement de chaque nombre.\nb) Écrire l'événement contraire de $B$, $\bar{B}$, et déterminer si $A$ et $\bar{B}$ sont des événements compatibles ou incompatibles.

Sur votre téléphone portable, vous avez installé 3 applications de réseaux sociaux, 2 de jeux et 1 de musique. Lorsque vous recevez une notification, elle peut provenir de n'importe laquelle de ces 6 applications avec la même probabilité.

1. a) Définir l'univers $E$ de cette expérience aléatoire.
2. b) Décrire l'événement $A$ = « La notification ne provient pas d'un réseau social ».
3. c) Écrire un événement impossible lié à ce contexte.

On réalise une enquête auprès des 30 élèves d'une classe sur leurs préférences de streaming. On sait que 18 élèves regardent Netflix ($N$), 12 regardent Disney+ ($D$) et 5 élèves regardent les deux plateformes. On choisit un élève au hasard :

1. a) Utiliser un diagramme de Venn pour représenter la situation.

1. b) Calculer la probabilité que l'élève regarde uniquement Netflix.

1. c) Calculer la probabilité que l'élève ne regarde aucune des deux plateformes (événement contraire de la réunion).

Dans un jeu de cartes à collectionner de fantasy, un paquet contient les cartes suivantes : 8 de type « Guerrier », 6 de type « Mage », 4 de type « Elfe » et 2 de type « Dragon ». On pioche une carte au hasard. Calculer la probabilité que :

1. a) Ce soit un « Mage ».
2. b) Ce soit un « Guerrier » ou un « Elfe ».
3. c) Ce ne soit pas un « Dragon ».

Un créateur de contenu a lancé 500 fois un dé à 8 faces (octaèdre) pour vérifier s'il est truqué. Les résultats obtenus pour la face portant le numéro « 8 » sont donnés dans le tableau suivant :

1. a) Calculer les fréquences pour chaque étape de l'expérience.

1. b) Vers quelle valeur la probabilité d'obtenir un « 8 » semble-t-elle se stabiliser ?

1. c) Si le dé était parfait (régulier), quelle devrait être sa probabilité théorique dans une situation d'équiprobabilité ?

Lors d'une convention de jeux vidéo, 200 participants ont été classés selon leur âge et leur console préférée, ce qui donne le tableau croisé suivant :

On choisit un participant au hasard. Déterminer la probabilité que :

1. a) Il préfère Nintendo.
2. b) Il ait plus de 14 ans.
3. c) Il ait moins de 14 ans et préfère PlayStation.
4. d) Sachant qu'il préfère Nintendo, il ait moins de 14 ans.

Pour aller à un festival, Lucie a dans son armoire 3 sweats (noir, blanc et rouge) et 2 pantalons (jean et jogging). Elle choisit au hasard un sweat et un pantalon, tous les choix étant équiprobables.

1. a) Dessiner l'arbre qui représente toutes les tenues possibles (sweats et pantalons).
2. b) Quelle est la probabilité que Lucie choisisse le sweat rouge ?
3. c) Quelle est la probabilité qu'elle ne choisisse pas le pantalon de jogging ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer deux dés cubiques et à additionner leurs résultats. Soient les événements :

• $A$ = « La somme est un nombre pair ».

• $B$ = « La somme est un multiple de 5 ».

1. a) Calculer $P(A)$ et $P(B)$.
2. b) Les événements $A$ et $B$ sont-ils compatibles ou incompatibles ? Justifier en déterminant les éléments de $A \cap B$.
3. c) Calculer la probabilité de la réunion $P(A \cup B)$.

Dans une foire technologique, il y a une roue divisée en 12 secteurs égaux numérotés de 1 à 12. Le jeu consiste à faire tourner la roue et à observer le numéro gagnant.

1. a) Déterminer la probabilité d'obtenir un nombre premier.
2. b) Déterminer la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4 et strictement inférieur à 9.
3. c) Si l'on gagne un lot lorsque le numéro obtenu est un multiple de 3 ou un nombre impair, quelle est la probabilité de gagner ?

Pour préparer les activités de la semaine des mathématiques du collège, on propose d'analyser l'univers de deux expériences différentes :\n- Expérience 1 : Lancer simultanément deux dés cubiques à 6 faces et calculer la différence positive entre le plus grand et le plus petit résultat (si les deux sont égaux, la différence est 0).\n- Expérience 2 : Répondre au hasard à un questionnaire rapide de 4 questions où chacune n'admet que deux réponses possibles : Vrai ($V$) ou Faux ($F$).\n\na) Comparer les deux outils habituels pour décrire des expériences composées : le tableau à double entrée et l'arbre. Justifier lequel des deux est le plus adapté à l'expérience 1 et lequel à l'expérience 2, en expliquant pourquoi un tableau à double entrée n'est pas pratique pour l'expérience 2.\nb) Appliquer le principe multiplicatif ($m \cdot n \dots$) pour calculer combien d'issues possibles composent l'univers de chacune des deux expériences.\nc) En utilisant la méthode que vous avez jugée la plus adaptée pour l'expérience 1, représenter toutes les issues possibles et décrire en extension l'événement $D = \text{« la différence entre les faces est supérieure ou égale à 4 »}$.

Une entreprise de bus métropolitains en France classe chaque véhicule qui arrive à la gare selon deux variables d'observation indépendantes : la technologie du moteur, qui peut être Électrique ($E$) ou Hybride ($H$), et la ponctualité du service, qui peut être Ponctuel ($P$), avec Léger retard ($R$) ou Annulé ($C$). On observe l'arrivée du prochain service.\n\na) Justifier pourquoi l'observation du prochain service constitue une expérience aléatoire et non déterministe.\nb) Écrire explicitement l'univers $\Omega$ sous la forme d'un ensemble de couples. Combien d'issues possède-t-il ?\nc) Définir en extension (en écrivant entre accolades tous leurs éléments) les événements :\n - $A = \text{« le bus est hybride »}$.\n - $B = \text{« le bus subit un incident (léger retard ou annulation) »}$.\nd) Déterminer les ensembles d'issues qui forment les événements $A \cap B$, $A \cup B$ et l'événement contraire $\bar{B}$. Expliquer ce que signifie concrètement l'événement $\bar{B}$ pour une personne qui attend à l'arrêt.

Un groupe d'amis crée un mot de passe pour son serveur de jeux vidéo. Le mot de passe doit comporter 3 caractères distincts choisis parmi les lettres $\{A, B, C\}$ et les chiffres $\{1, 2, 3\}$.

1. a) Décrire l'univers $\Omega$ si le premier caractère doit obligatoirement être une lettre et le dernier un chiffre.

1. b) Si l'on choisit un mot de passe au hasard parmi tous les possibles (sans les contraintes de la question précédente, mais en gardant 3 caractères distincts), quelle est la probabilité que le mot de passe soit formé uniquement de chiffres ?

Dans un collège de Paris, $60\%$ des élèves de 3e utilisent la plateforme Twitch, $50\%$ utilisent TikTok et $20\%$ n'utilisent aucune des deux. On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité des événements suivants :

1. a) Il utilise les deux plateformes.

1. b) Il utilise TikTok mais pas Twitch.

1. c) Les événements « Utiliser Twitch » et « Utiliser TikTok » sont-ils incompatibles ? Justifier la réponse en utilisant les valeurs des probabilités.

Deux streamers populaires, Alice et Brice, vont réaliser une collaboration. Ils ont une urne contenant 4 cartes de défis physiques et 6 cartes de défis mentaux. Ils décident de tirer deux cartes successivement et sans remise.

1. a) Dessiner l'arbre pondéré qui représente toutes les possibilités et indiquer la probabilité sur chaque branche.

1. b) Calculer la probabilité que le deuxième défi tiré soit mental, sachant que le premier était physique.

1. c) Quelle est la probabilité qu'ils réalisent un défi de chaque type ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un drone de livraison doit atterrir sur une parcelle carrée de $10$ mètres de côté. Dans la parcelle, il y a une zone circulaire de sécurité (où il ne doit pas atterrir) de rayon $2$ mètres, et une zone d'atterrissage optimal qui est un petit carré central de $1$ mètre de côté.

On suppose que le drone atterrit en n'importe quel point de la parcelle avec la même probabilité :

1. a) Quelle est la probabilité que le drone atterrisse dans la zone d'atterrissage optimal ?

1. b) Quelle est la probabilité qu'il atterrisse en dehors de la zone circulaire de sécurité ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$).

Lors d'un championnat d'e-sport, on étudie les périphériques utilisés par 120 participants. On sait que 75 utilisent un clavier mécanique et les autres un clavier à membrane. Parmi ceux qui utilisent un clavier mécanique, 45 utilisent aussi une souris sans fil. Au total, 65 participants utilisent une souris sans fil.

1. a) Organiser ces données dans un tableau croisé d'effectifs.

1. b) On choisit un participant au hasard. Quelle est la probabilité qu'il utilise un clavier à membrane et une souris filaire ?

1. c) On sait qu'un participant utilise une souris sans fil. Quelle est la probabilité que son clavier soit à membrane ?

On lance un dé à six faces que l'on soupçonne d'être truqué. Après 500 lancers, on a obtenu les fréquences suivantes : le numéro 6 est sorti 125 fois, le numéro 1 est sorti 35 fois, et les numéros 2, 3, 4 et 5 sont sortis le même nombre de fois.

1. a) Calculer la fréquence de l'événement « Obtenir un 6 ».

1. b) D'après la loi des grands nombres, quelle probabilité attribuerais-tu à l'événement « Obtenir un nombre inférieur à 6 » ?

1. c) Si le dé n'était pas truqué, quelle serait la probabilité théorique d'obtenir un 6 ? Comparer les deux résultats.

Un jeu de société consiste à lancer une pièce équilibrée (pile et face sont équiprobables) et, selon le résultat, à faire ce qui suit :

• Si on obtient face, on lance un dé équilibré à 4 faces (numérotées de 1 à 4).

• Si on obtient pile, on tire une boule dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules vertes.

1. a) Représenter l'expérience par un arbre pondéré, en indiquant la probabilité de chaque branche.

1. b) Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair avec le dé si la pièce est tombée sur face.

1. c) Quelle est la probabilité totale que le résultat final de l'expérience soit une boule rouge ?

Lors de la finale d'un tournoi de tennis entre Charles et Rafa, le premier qui remporte 3 sets gagne. Le tournoi est interrompu par la pluie alors que Charles mène 2 sets à 1. Sachant que les deux joueurs ont la même probabilité de gagner chacun des sets restants :

1. a) Utiliser un arbre pondéré pour calculer la probabilité que chacun a de gagner le tournoi si le match avait continué.

1. b) Si le prix total est de $12\,000$ €, comment devrait-il être réparti équitablement selon les probabilités de victoire de chacun au moment de l'interruption ?

Trois élèves de 3e (Alex, Béa et Charles) organisent un championnat d'échecs pendant les récréations du mercredi, du jeudi et du vendredi. Pour décider qui arbitre chaque jour, ils mettent trois papiers portant leurs noms dans une urne et en tirent un au hasard chaque matin, en le remettant dans l'urne pour que le lendemain tous aient de nouveau la même chance.\n\na) Estimer : Avant de calculer ou d'énumérer les cas, comparer intuitivement ces deux événements :\n - Événement $M = \text{« les trois jours, la même personne arbitre »}$.\n - Événement $D = \text{« les trois jours, des personnes différentes arbitrent »}$.\n Expliquer, sans faire encore de calculs numériques, lequel des deux événements aura selon vous le plus de issues favorables dans l'univers et pourquoi.\nb) Modéliser l'expérience par un arbre ou par le principe multiplicatif pour déterminer le nombre total d'issues de l'univers $E$.\nc) Énumérer de façon exhaustive toutes les issues qui forment l'événement $M$ et toutes celles qui forment l'événement $D$.\nd) Vérifier : Compter les cas favorables de $M$ et de $D$. Apprécier si le résultat coïncide avec votre estimation initiale et expliquer mathématiquement pourquoi le nombre de façons d'ordonner trois personnes distinctes ($3 \cdot 2 \cdot 1$) est très supérieur à celui de répéter une même personne ($3 \cdot 1 \cdot 1$).

Une station météorologique automatique de Météo-France dans un col de montagne enregistre à minuit deux variables pour résumer la journée :\n- Type de précipitation : Neige ($N$), Pluie ($L$) ou Sec/Sans précipitation ($S$).\n- Température moyenne : Négative ($B$) ou Nulle ou positive ($C$).\nDans un modèle purement combinatoire, on obtiendrait $3 \cdot 2 = 6$ résultats possibles. Cependant, les conditions physiques du lieu introduisent une contrainte réelle : il est physiquement impossible qu'il neige si la température est nulle ou positive, donc le résultat $(N, C)$ ne peut jamais se produire.\n\na) Écrire l'univers réel $E$ de l'expérience aléatoire en tenant compte de cette contrainte physique. Combien d'issues le composent ?\nb) Écrire en extension les événements suivants :\n - $A = \text{« des précipitations sont enregistrées (neige ou pluie) »}$.\n - $B = \text{« la température moyenne est négative »}$.\nc) Déterminer les éléments de $A \cap B$, $A \cup B$ et de l'événement $\overline{A \cup B}$ (contraire de la réunion).\nd) Justifier si les événements « la température est négative sans précipitation » et « le jour est neigeux » sont compatibles ou incompatibles à l'aide de la définition mathématique de l'intersection.\ne) Un opérateur affirme : « Comme il faut obligatoirement que la température soit négative pour qu'il neige, l'événement “neiger” et l'événement “température négative” sont égaux. » Expliquer avec la rigueur de l'algèbre des ensembles pourquoi cette affirmation est fausse, en utilisant la notion d'inclusion d'événements.