Exercices: Fonctions linéaires et affines

Pour chacune des fonctions suivantes, donner la valeur du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine, et préciser si sa représentation graphique est croissante ou décroissante :

1. a) $y = 4x - 3$

1. b) $y = -2x + 7$

1. c) $y = \frac{1}{3}x$

1. d) $y = 5 - x$

Un primeur vend les oranges $1,80\ \text{€}$ le kilogramme.

1. a) Compléter dans le cahier un tableau avec le prix de $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$ kg d'oranges.

1. b) Écrire l'expression de la fonction qui relie la masse $x$ en kilogrammes au prix $y$ en euros.

1. c) Cette fonction est-elle linéaire (situation de proportionnalité) ? Quelle est la valeur de son coefficient directeur et que signifie-t-elle ?

La droite de la figure représente une fonction linéaire, comme on le voit ci-dessous.

1. a) Trouver deux points à coordonnées entières par lesquels passe la droite.

1. b) Calculer son coefficient directeur à partir de ces points.

1. c) Écrire l'expression de la fonction.

Calculer le coefficient directeur de la droite qui passe par chaque couple de points :

1. a) $A(2\,;\,5)$ et $B(6\,;\,13)$

1. b) $P(-1\,;\,4)$ et $Q(3\,;\,-8)$

1. c) $M(0\,;\,-2)$ et $N(5\,;\,-2)$

Parmi les expressions suivantes, indiquer lesquelles correspondent à une fonction linéaire, lesquelles à une fonction affine et lesquelles ne sont ni linéaires ni affines. Justifier la réponse.

1. a) $y = -3x$

1. b) $y = x^2 + 1$

1. c) $y = \frac{x}{2} - 4$

1. d) $y = \frac{2}{x}$

1. e) $y = 7$

Le graphique représente une fonction affine, comme on le voit sur la figure.

1. a) Quelle est son ordonnée à l'origine ?

1. b) De combien $y$ augmente-t-il lorsque $x$ augmente d'une unité ? Quelle est la valeur du coefficient directeur ?

1. c) Écrire son expression.

Une salle de sport facture des frais d'inscription de $20\ \text{€}$ et $15\ \text{€}$ par mois.

1. a) Écrire l'expression qui donne le coût total $y$ en euros en fonction du nombre de mois $x$.

1. b) Quelle est l'ordonnée à l'origine et que représente-t-elle dans ce contexte ?

1. c) Et le coefficient directeur ? Que signifie-t-il ?

Sur la figure apparaissent trois droites, $a$, $b$ et $c$, comme on le voit ci-dessous.

1. a) Associer chaque droite à son équation parmi ces trois : $y = 2x + 1$, $y = -x + 3$, $y = \frac{1}{2}x - 2$.

1. b) Expliquer comment vous avez utilisé le signe du coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine pour décider.

Vérifier, en remplaçant les coordonnées dans l'équation, si les points $A(3\,;\,4)$ et $B(-2\,;\,11)$ appartiennent à la droite $y = -3x + 5$.

Un cycliste se déplace à vitesse constante de $24\ \text{km/h}$. On note $x$ le temps en heures et $y$ la distance parcourue en kilomètres.

1. a) Compléter dans le cahier le tableau de valeurs pour $x = 0$, $0,5$, $1$, $1,5$ et $2$.

1. b) Écrire l'expression de la fonction.

1. c) Si le cycliste part de chez lui, qui se trouve à $6\ \text{km}$ du point où l'on commence à compter le parcours, quelle serait maintenant l'expression de la distance à son domicile ? De quel type de fonction s'agit-il ?

Pendant une vague de chaleur, la station météorologique d'un village a enregistré une température constante de $24\ \text{°C}$ durant toute la nuit.

1. a) Écrire l'expression de la fonction qui donne la température $y$ en fonction de l'heure $x$ pendant cette période.

1. b) Quelle est la valeur de son coefficient directeur ? Quelle est l'allure de sa représentation graphique ?

1. c) Est-ce une fonction linéaire, affine ou ni l'une ni l'autre ? Justifier la réponse.

Recopier et compléter dans le cahier le tableau de valeurs de la fonction $y = -2x + 6$ pour $x = -1$, $0$, $1$, $2$ et $3$, puis représenter la droite dans un repère orthonormé. En quel point coupe-t-elle l'axe $X$ ?

Déterminer l'équation de la droite qui passe par les points $A(1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,8)$ en suivant ces étapes :

1. a) Calculer le coefficient directeur $m$.

1. b) Remplacer les coordonnées de l'un des points dans $y = mx + n$ pour trouver $n$.

1. c) Écrire l'équation finale et vérifier que l'autre point la vérifie aussi.

Le graphique représente le solde de la tirelire numérique d'Adrien au cours des dernières semaines, comme on le voit sur la figure.

Laquelle de ces trois formules correspond au graphique ? Justifier le choix en écartant les deux autres.

• $y = 5x + 10$

• $y = -5x + 40$

• $y = 10x - 5$

Un taxi facture $3,50\ \text{€}$ de prise en charge et $1,20\ \text{€}$ par kilomètre parcouru.

1. a) Écrire la fonction qui donne le prix $y$ d'un trajet de $x$ kilomètres.

1. b) Combien coûtera un trajet de $12\ \text{km}$ ?

1. c) Si un trajet a coûté $16,70\ \text{€}$, combien de kilomètres ont été parcourus ?

Deux randonneurs partent en même temps de deux refuges de montagne distants de $18\ \text{km}$ et marchent l'un vers l'autre sur le même sentier. Le premier avance à $5\ \text{km/h}$ et le second à $4\ \text{km/h}$, comme on le voit sur la figure.

1. a) Écrire l'expression qui donne la distance au premier refuge de chaque randonneur en fonction du temps $x$ en heures.

1. b) Représenter les deux droites dans le cahier.

1. c) Au bout de combien de temps se croisent-ils ? À quelle distance du premier refuge ?

Le graphique montre le prix du stationnement dans un parking en fonction du temps, comme on le voit sur la figure.

1. a) Combien coûte un stationnement de $4$ heures ?

1. b) Quel est le prix fixe d'entrée et combien coûte chaque heure ?

1. c) Écrire l'expression de la fonction pour $x \ge 0$.

Déterminer le point d'intersection des droites $y = 2x + 1$ et $y = -x + 7$ :

1. a) Poser l'équation obtenue en égalant les deux expressions et la résoudre.

1. b) Calculer l'ordonnée du point d'intersection.

1. c) Vérifier le résultat en remplaçant dans les deux équations.

Pour convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit, on utilise la fonction $F = 1,8C + 32$.

1. a) Combien de degrés Fahrenheit correspondent à $25\ \text{°C}$ ?

1. b) Que signifie le coefficient $1,8$ ? Et le terme $32$ ?

1. c) La météo annonce $86\ \text{°F}$ dans une ville des États-Unis. Combien cela fait-il de degrés Celsius ?

Le réservoir d'eau d'une association d'irrigants contient $1\,200\ \text{m}^3$ et se vide au rythme de $75\ \text{m}^3$ par jour, comme on le voit sur la figure.

1. a) Écrire la fonction qui donne le volume d'eau $y$ en fonction du jour $x$.

1. b) Quel est le coefficient directeur ? Pourquoi est-il négatif ?

1. c) Quel volume restera-t-il au bout de $9$ jours ?

1. d) Quel jour le réservoir sera-t-il vide s'il ne pleut pas ?

Indiquer si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifier la réponse par un exemple :

1. a) « Toute fonction linéaire est aussi une fonction affine. »

1. b) « Si une droite a un coefficient directeur négatif, alors elle passe par l'origine. »

1. c) « Les droites $y = 3x + 2$ et $y = 3x - 5$ sont parallèles. »

1. d) « La fonction $y = 4$ n'a pas de coefficient directeur. »

Le tableau montre le coût d'impression de photographies dans une boutique de reprographie selon le nombre de copies :

1. a) Vérifier que le coût augmente toujours de la même quantité pour chaque $10$ copies.

1. b) Quel est le coefficient directeur de la fonction ? Et l'ordonnée à l'origine ?

1. c) Écrire l'équation qui relie $x$ et $y$.

1. d) Que représente l'ordonnée à l'origine dans ce contexte ?

Lors de la course solidaire du collège, Nora donne un avantage à son petit frère : il part $40\ \text{m}$ devant et court à $3\ \text{m/s}$, tandis que Nora court à $4,5\ \text{m/s}$, comme on le voit sur la figure.

1. a) Écrire la fonction donnant la distance au départ en fonction du temps pour chaque coureur.

1. b) Au bout de combien de secondes Nora rattrape-t-elle son frère ?

1. c) À quelle distance du départ cela se produit-il ?

1. d) Si la course se termine au bout de $150\ \text{m}$, Nora gagne-t-elle ou son frère arrive-t-il avant elle ? Justifier par des calculs.

Un opérateur de téléphonie propose deux forfaits, comme on le voit sur la figure (axe horizontal : minutes d'appels par mois ; axe vertical : coût mensuel en euros) :

• Forfait A : abonnement fixe de $12\ \text{€}$ par mois et $0,04\ \text{€}$ par minute d'appel.

• Forfait B : sans abonnement, à $0,08\ \text{€}$ la minute.

1. a) Écrire la fonction du coût mensuel en fonction des minutes consommées pour chaque forfait.

1. b) À partir de combien de minutes par mois le forfait A est-il le moins cher ?

1. c) Manon téléphone en moyenne $250$ minutes par mois. Quel forfait lui convient et combien économise-t-elle par an ?

La fonction $F = 1,8C + 32$ convertit des degrés Celsius en degrés Fahrenheit.

1. a) Il existe une unique température pour laquelle les thermomètres Celsius et Fahrenheit indiquent la même valeur numérique. Poser l'équation $C = F$ et la résoudre.

1. b) Le résultat a-t-il un sens physique ? Expliquer ce qui se passe à cette température.

1. c) Représenter la fonction dans le cahier et interpréter le point d'intersection de la courbe avec la droite $F = C$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une boutique en ligne de t-shirts personnalisés facture $18\ \text{€}$ pour la création du logo et $7,50\ \text{€}$ par t-shirt. Une autre boutique ne facture pas la création, mais chaque t-shirt coûte $10,20\ \text{€}$.

1. a) Écrire la fonction du coût total en fonction du nombre de t-shirts pour chaque boutique.

1. b) L'équipe de basket du quartier a besoin de $14$ t-shirts. Quelle boutique est la moins chère et de combien ?

1. c) Pour quel nombre de t-shirts les deux boutiques coûtent-elles le même prix ? Que se passe-t-il pour des commandes plus importantes ?

Déterminer la valeur de $k$ dans chaque cas :

1. a) Pour que la droite $y = kx + 3$ passe par le point $(2 ; 11)$.

1. b) Pour que la droite $y = 5x + k$ passe par le point $(-1 ; 2)$.

1. c) Pour que la droite $y = kx - 4$ ait le même coefficient directeur que celle qui passe par $(0 ; 1)$ et $(4 ; 9)$.

Un élève a résolu ainsi l'exercice « déterminer le coefficient directeur de la droite qui passe par $A(2 ; 5)$ et $B(6 ; 13)$ et dire si elle est croissante » :

« Le coefficient directeur est $m = \frac{6 - 2}{13 - 5} = \frac{4}{8} = 0,5$. Comme $0,5 < 1$, la droite est peu inclinée, donc elle est presque horizontale et décroissante. »

1. a) Trouver les deux erreurs qu'il a commises.

1. b) Calculer le bon coefficient directeur et préciser la nature de la droite.

1. c) Expliquer avec vos propres mots quelle relation existe entre le signe du coefficient directeur et le sens de variation de la fonction.

Tâche de décision. Trois amis veulent économiser pour le voyage de fin d'année, qui coûte $420\ \text{€}$ par personne. Ils ont déjà mis un peu d'argent de côté et ajoutent chaque semaine une somme fixe, comme on le voit sur la figure :

• Lucie : a $120\ \text{€}$ et économise $15\ \text{€}$ par semaine.

• Paul : a $40\ \text{€}$ et économise $25\ \text{€}$ par semaine.

1. a) Écrire la fonction de l'argent économisé en fonction des semaines pour chacun.

1. b) Qui met le moins de semaines à atteindre $420\ \text{€}$ ?

1. c) À quelle semaine Paul rattrape-t-il Lucie en argent économisé ?

1. d) Si le voyage a lieu dans $16$ semaines, les deux seront-ils prêts à temps ? Combien d'argent aura chacun ?

Dans un laboratoire de physique, on suspend des masses à un ressort et on mesure sa longueur :

1. a) Vérifier que la longueur augmente de façon constante pour chaque $50\ \text{g}$ et écrire la fonction qui donne la longueur $y$ en fonction de la masse $x$.

1. b) Quelle longueur aura le ressort avec une masse de $320\ \text{g}$ ?

1. c) Quelle masse faut-il suspendre pour que le ressort mesure $30,5\ \text{cm}$ ?

1. d) Quelle est la signification physique de l'ordonnée à l'origine ?

1. a) Déterminer l'équation de la droite qui passe par les points $A(-1 ; 7)$ et $B(2 ; -5)$.

1. b) Vérifier si le point $C(5 ; -17)$ est aligné avec $A$ et $B$.

1. c) Et le point $D(0 ; 5)$ ? Justifier la réponse sans faire de représentation graphique.

La réglementation sur l'accessibilité limite la pente des rampes : une rampe accessible ne doit pas dépasser $10\ \,\%$ de dénivelé. La pente, exprimée en pourcentage, est le quotient de la hauteur gagnée par la distance horizontale parcourue, multiplié par $100$, comme le montre la figure.

1. a) Une rampe franchit un dénivelé de $0,54\ \text{m}$ sur une distance horizontale de $6\ \text{m}$. Calculer sa pente en pourcentage. Respecte-t-elle la réglementation ?

1. b) Si l'on veut franchir le même dénivelé avec une pente de $8\ \,\%$, quelle longueur horizontale minimale doit avoir la rampe ?

1. c) Exprimer la rampe de la question a) sous la forme d'une fonction $y = mx$ en prenant le début de la rampe comme origine. Que signifie $m$ ?