Exercices: Représentation des données

Classer les caractères statistiques suivants, obtenus lors d'une enquête réalisée dans un collège, en indiquant s'ils sont qualitatifs ou quantitatifs (dans ce dernier cas, préciser s'ils sont discrets ou continus) :

1. a) Le nom du réseau social préféré de chaque élève.
2. b) Le nombre d'heures hebdomadaires consacrées aux jeux vidéo.
3. c) La taille, mesurée en mètres, des joueurs de l'équipe de basket.
4. d) Le nombre de frères et sœurs de chaque élève d'une classe.

Un groupe de $20$ adolescents a répondu à la question sur son genre de film préféré. Les résultats sont :

Action, Comédie, Horreur, Action, Comédie, Science-fiction, Horreur, Action, Action, Comédie, Horreur, Science-fiction, Action, Comédie, Horreur, Action, Action, Science-fiction, Comédie, Action.

Construire un tableau d'effectifs qui comprend l'effectif ($n_i$) et réaliser un diagramme en barres pour représenter ces données de façon claire.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Compléter le tableau d'effectifs partiel suivant sur le nombre de fois où un groupe d'amis est allé au cinéma le mois dernier :

Films ($x_i$)	Effectif ($n_i$)	Fréquence ($h_i$)	Pourcentage ($\%$)
$0$	$4$	$0,20$	$20\%$
$1$	$8$
$2$	$5$	$0,25$
$3$		$0,15$	$15\%$
Total	$20$	$1,00$	$100\%$

Le diagramme circulaire suivant montre la répartition des $400$ élèves d'un établissement selon la langue facultative qu'ils ont choisi d'étudier. Observer le graphique et répondre :

1. a) Quel pourcentage d'élèves étudie l'allemand ?
2. b) Combien d'élèves étudient l'anglais au total ?
3. c) Quelle est la langue la moins demandée ?

On a relevé le temps (en minutes) que mettent $15$ élèves pour aller de chez eux au collège. Les données sont les suivantes :

$12, 15, 8, 22, 10, 14, 18, 25, 11, 13, 20, 9, 15, 12, 17$.

Regrouper ces données dans un tableau d'effectifs en utilisant des classes d'amplitude $5$, en commençant à $5$. C'est-à-dire : $[5 ; 10[$, $[10 ; 15[$, $\dots$

À partir du tableau de classes suivant, tracer l'histogramme des effectifs correspondant. Veiller à ce que les barres soient accolées pour indiquer que le caractère est continu.

Classe	Effectif ($f_i$)
$[5\,;\,10[$	2
$[10\,;\,15[$	5
$[15\,;\,20[$	8
$[20\,;\,25[$	6
$[25\,;\,30[$	3

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un influenceur a noté le nombre de nouveaux abonnés gagnés chaque jour pendant une semaine :

Lundi : $120$, Mardi : $150$, Mercredi : $130$, Jeudi : $180$, Vendredi : $210$, Samedi : $250$, Dimanche : $230$.

Représenter cette évolution par un polygone des effectifs. Pour cela, placer les points dans un repère (Jour, Abonnés) et les relier par des segments.

Indiquer quel est le type de graphique statistique le plus adapté (diagramme en barres, histogramme ou diagramme circulaire) pour représenter les situations suivantes :

1. a) On veut comparer le pourcentage de recyclage du verre, du papier et du plastique dans un quartier.
2. b) On veut montrer le nombre d'absences de chaque élève d'une classe (de $0$ à $5$ absences).
3. c) On veut représenter le poids des nouveau-nés d'une maternité pendant un mois (données regroupées en classes).
4. d) On veut comparer les préférences pour $4$ marques de sodas différentes chez les jeunes d'un village.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une classe de 3e, vous organisez les résultats d'un projet sur les habitudes des élèves. Vous avez recueilli des informations sur deux caractères statistiques différents :

• Caractère A : le moyen de transport utilisé par chaque élève pour venir au collège (à pied, bus, vélo, voiture familiale).

• Caractère B : la température moyenne extérieure (en degrés Celsius) relevée dans la cour à 11 h 30 chaque jour de classe pendant trois mois.

1. a) Pour le caractère A, un camarade propose de tracer un histogramme avec des barres continues accolées, alors que vous proposez un diagramme en barres séparées. Justifier quelle option est la bonne selon la nature du caractère.
2. b) Pour le caractère B, on hésite entre un diagramme circulaire et une courbe. Comparer les deux types de graphiques et argumenter lequel est le plus adapté pour analyser la tendance et l'évolution des températures au cours du temps.

Lors d'une enquête réalisée auprès des $80$ élèves de 3e d'un collège sur leur type de musique préféré, $20$ d'entre eux ont choisi « Musique urbaine ». Sophie veut représenter ces données dans un diagramme circulaire et effectue au tableau l'opération suivante pour calculer l'angle du secteur correspondant :

$$\text{Angle} = \frac{20}{80} \cdot 100 = 25^\circ$$

Sophie conclut que le secteur « Musique urbaine » doit être tracé avec un angle de $25^\circ$.

1. a) Repérer et expliquer l'erreur conceptuelle commise par Sophie. Quelle grandeur a-t-elle réellement calculée en multipliant par $100$ ?
2. b) Corriger sa démarche en appliquant la formule adéquate et calculer l'angle au centre correct (en degrés) que doit avoir le secteur correspondant à la « Musique urbaine ».

Un groupe de 30 adolescents a noté combien d'heures par semaine ils consacrent à regarder des séries sur des plateformes de streaming. Les données obtenues sont :

$4, 7, 5, 8, 10, 4, 6, 7, 5, 9, 12, 6, 8, 7, 5, 4, 10, 8, 7, 6, 5, 9, 11, 4, 7, 6, 5, 8, 7, 6$.

1. a) Classer le caractère statistique.

1. b) Dresser un tableau statistique comprenant l'effectif ($f_i$) et la fréquence ($h_i$).

1. c) Représenter les données par un diagramme en barres.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On a réalisé une étude sur le moyen de transport utilisé par les élèves d'un collège pour venir en cours. Les résultats sont présentés dans le diagramme circulaire suivant, mais certaines données ont été effacées :

• Le secteur « À pied » occupe un angle de $144^\circ$.

• Le secteur « Bus » représente $25\%$ des élèves.

• Les autres élèves viennent à « Vélo ».

1. a) Calculer le pourcentage d'élèves qui viennent à pied.
2. b) Déterminer l'angle en degrés correspondant au secteur « Bus » et au secteur « Vélo ».
3. c) S'il y a 600 élèves dans le collège, combien viennent par chaque moyen de transport ?

Un club d'athlétisme a relevé les temps (en secondes) de ses membres lors d'une course de 400 mètres. Le caractère étant continu, ils ont été regroupés dans les classes suivantes : $[50 ; 55[$, $[55 ; 60[$, $[60 ; 65[$, $[65 ; 70[$. Les effectifs sont respectivement $4, 12, 18$ et $6$.

1. a) Construire le tableau statistique en indiquant le centre de chaque classe.
2. b) Dessiner l'histogramme des effectifs.
3. c) Quel pourcentage des athlètes a mis moins d'une minute ($60$ secondes) pour terminer la course ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lors du contrôle de français, les notes obtenues par une classe de 3e ont été les suivantes :

Notes : $3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10$.

1. a) Dresser un tableau statistique avec les effectifs ($f_i$) et les effectifs cumulés ($F_i$).

1. b) Représenter le diagramme en barres des notes puis, à partir de celui-ci, le polygone des effectifs (relier par des segments les sommets des barres).

1. c) En observant le polygone, entre quelles notes l'effectif augmente-t-il et de combien augmente-t-il sur chaque tronçon ?

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Un influenceur analyse la croissance de ses abonnés sur deux réseaux sociaux différents au cours des 5 derniers mois. Les données (en milliers de nouveaux abonnés par mois) sont :

• Réseau A : $2, 5, 8, 12, 15$

• Réseau B : $6, 7, 6, 8, 7$

1. a) Représenter les deux séries de données sur un même graphique en courbes (polygone des effectifs). Utiliser une couleur différente pour chaque réseau ou un trait en pointillés pour l'un d'eux.
2. b) Expliquer, à partir de la forme des courbes, lequel des deux réseaux sociaux a une croissance plus stable et lequel a une tendance à la hausse plus nette.

On a pesé le cartable de 40 élèves à l'entrée du collège pour une étude sur la santé. Les résultats ont été organisés dans le tableau suivant :

Masse (kg)	$[0 ; 2[$	$[2 ; 4[$	$[4 ; 6[$	$[6 ; 8[$	$[8 ; 10]$
Élèves ($f_i$)	$3$	$8$	$15$	$10$	$4$

1. a) Dessiner l'histogramme des effectifs.

1. b) Tracer, sur le même graphique, le polygone des effectifs.

1. c) Combien d'élèves portent un cartable qui pèse $6$ kg ou plus ? Calculer la fréquence de ce groupe (la fraction du total qu'il représente), exprimée sous forme décimale.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lors d'un contrôle qualité dans une usine d'ampoules connectées, on a mesuré la durée de vie (en milliers d'heures) d'un échantillon de $100$ unités. On sait que :

• $20\%$ ont duré entre $10$ et $15$ mille heures.

• $50\%$ ont duré entre $15$ et $20$ mille heures.

• Les autres ont duré entre $20$ et $25$ mille heures.

1. a) Construire le tableau des effectifs et des fréquences.
2. b) Représenter l'histogramme des fréquences. Que représente l'aire de chaque rectangle dans ce cas ?
3. c) Si une ampoule est considérée comme « excellente » lorsqu'elle dure plus de $20$ mille heures, combien d'ampoules de l'échantillon le sont ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le service environnement d'une mairie veut représenter la consommation d'eau mensuelle des familles d'un quartier. Il a recueilli les données de la dernière facture et les a classées en mètres cubes ($\text{m}^3$) :

Consommation ($\text{m}^3$)	$[0 ; 10[$	$[10 ; 20[$	$[20 ; 30[$	$[30 ; 40[$
Familles ($f_i$)	$15$	$45$	$30$	$10$

1. a) Calculer la fréquence cumulée ($H_i$) de chaque classe.

1. b) Représenter les données dans un graphique des fréquences cumulées (ou polygone des fréquences cumulées).

1. c) Si la mairie décide d'accorder une réduction aux familles qui consomment moins de $20\ \text{m}^3$, à quel pourcentage de la population du quartier cette mesure profite-t-elle ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une étude sur la mobilité durable dans une commune française, on recueille les données de $720$ déplacements quotidiens d'élèves : $360$ se font à pied, $180$ en transport en commun, $120$ à vélo ou en trottinette électrique et $60$ en voiture particulière. On va représenter ces données dans un diagramme circulaire.

1. a) Avant de calculer un angle exact, estimer de façon argumentée la fraction du disque et le pourcentage que représentera le déplacement « à pied » et en déduire si son angle sera aigu, droit ou plat. Estimer aussi si le secteur des « transports en commun » occupera exactement un quart de disque ($90^\circ$).
2. b) À l'aide de la formule $\text{Angle} = h_i \cdot 360^\circ$ (où $h_i$ est la fréquence), calculer exactement l'angle au centre en degrés pour chacun des quatre modes de transport.
3. c) Vérifier si vos calculs confirment les estimations faites à la question a) et vérifier mathématiquement que la somme de tous les angles obtenus est égale à l'angle d'un tour complet.

L'équipe de direction d'une médiathèque municipale a analysé les prêts de livres pour la jeunesse effectués au cours du dernier mois à l'aide d'un diagramme circulaire. Dans le rapport final, le nombre total de prêts n'apparaît pas, mais les angles au centre des catégories enregistrées y figurent :

• Comics et manga : $144^\circ$

• Roman d'aventures : $108^\circ$

• Science-fiction : $72^\circ$

• Poésie et théâtre : le secteur restant.

De plus, le registre informatique indique que exactement $54$ livres de « Roman d'aventures » ont été prêtés.

1. a) Calculer la mesure en degrés de l'angle au centre correspondant à la catégorie « Poésie et théâtre ».
2. b) Déterminer la fréquence ($h_i$) et le pourcentage que représente chacune des quatre catégories de livres par rapport au total des prêts.
3. c) À partir des données précédentes, déterminer combien de livres pour la jeunesse ont été prêtés au total pendant le mois et reconstituer l'effectif ($f_i$) de chacune des quatre catégories.

Deux groupes de 3e ont relevé le temps quotidien (en minutes) qu'ils consacrent aux jeux vidéo. Les résultats ont été représentés dans les diagrammes en boîte suivants.

Analyser les graphiques et répondre en justifiant :

1. a) Quel est le temps de jeu maximal dans le groupe B ? Et la valeur du troisième quartile ($Q_3$) dans le groupe A ?
2. b) Dans quel groupe les données sont-elles les plus dispersées ? Utiliser l'étendue et l'écart interquartile pour le justifier.
3. c) Si un élève affirme que $75\%$ des élèves du groupe B jouent plus longtemps que la médiane du groupe A, a-t-il raison ? Pourquoi ?

Une marque de boissons gazeuses a réalisé une étude sur le nombre de canettes consommées par semaine par un groupe d'adolescents. Cependant, le tableau d'effectifs a été taché et seules quelques données des fréquences cumulées ($H_i$) sont lisibles :

Canettes ($x_i$)	Effectif ($f_i$)	Fréq. cumulée ($H_i$)
0		$0,15$
1	$12$
2		$0,65$
3		$0,85$
4	$6$	$1,00$

Sachant que la taille de l'échantillon est de $40$ individus :

1. a) Reconstituer le tableau statistique complet (en calculant $f_i$, $F_i$, $n_i$ et $H_i$).
2. b) Représenter les données par un polygone des effectifs cumulés.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une mairie veut connaître l'opinion des jeunes sur les nouveaux skateparks. La population totale est de $12\,000$ jeunes, répartis en trois quartiers : Centre ($5\,000$), Nord ($4\,000$) et Sud ($3\,000$). Elle décide de prélever un échantillon représentatif de $600$ individus par un sondage aléatoire stratifié.

1. a) Combien de jeunes de chaque quartier faut-il sélectionner pour que l'échantillon soit représentatif ?
2. b) Après l'enquête, on obtient que $40\%$ dans le Centre, $60\%$ dans le Nord et $30\%$ dans le Sud sont « Très satisfaits ». Représenter ces résultats de satisfaction par un diagramme en barres comparatif (barres accolées).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Observer l'histogramme suivant qui représente la fréquence cardiaque au repos d'un groupe de sportifs. Attention : les classes n'ont pas toutes la même amplitude.

Dans ce type de graphique, l'effectif est proportionnel à l'aire du rectangle, et non à sa hauteur. Si dans la classe $[40 ; 50[$ il y a $10$ sportifs :

1. a) Combien de sportifs y a-t-il au total dans l'étude ?
2. b) Construire le tableau des effectifs regroupés selon les classes représentées, en indiquant le centre de chaque classe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un créateur de contenu sur les réseaux sociaux analyse la durée (en secondes) de ses dernières vidéos. Les données obtenues sont : $15, 42, 55, 12, 18, 30, 45, 95, 110, 20, 35, 48$.

1. a) Calculer l'écart interquartile et identifier s'il existe une valeur aberrante (celles qui se situent à une distance supérieure à $1,5 \cdot \text{IQR}$ des quartiles).
2. b) Représenter le diagramme en boîte en marquant clairement, s'il y en a, les valeurs aberrantes par un point bien visible.

Un diagramme circulaire montre la répartition des types de déchets collectés lors d'une campagne scolaire de recyclage (papier, plastique et verre), où le secteur du papier mesure $120^\circ$ et celui du verre mesure $60^\circ$. On sait qu'on a collecté un total de $180$ kg de déchets.

1. a) Calculer l'angle correspondant au secteur « Plastique ».
2. b) Calculer combien de kilogrammes de chaque type de déchets ont été collectés.
3. c) Si l'année prochaine on prévoit de doubler la quantité de verre au détriment du papier, en gardant constant le total des déchets, comment changerait la mesure en degrés du secteur du papier ?

Un graphique a été publié dans un article sur l'augmentation du prix des loyers dans une ville. Certains critiques disent que le graphique est trompeur parce que l'axe des ordonnées ne commence pas à zéro.

1. a) D'après le graphique, quel pourcentage d'augmentation semble-t-il y avoir visuellement en comparant la hauteur des barres (mesurée depuis l'axe horizontal) ?

1. b) Calculer l'augmentation réelle en pourcentage du prix du loyer entre l'année 2022 ($800$ €) et 2024 ($900$ €).

1. c) Redessiner mentalement (ou décrire) comment la perception de l'augmentation changerait si l'axe $Y$ commençait à $0$ €.

Une station météorologique a relevé les températures maximales durant le mois de novembre. En regroupant les données en classes, on a obtenu le polygone des effectifs suivant :

Les valeurs de l'axe $X$ sont les centres de classes d'amplitude $4^\circ\text{C}$.

1. a) Déterminer les classes de température qui ont été utilisées.
2. b) Sachant que les points représentent l'effectif ($f_i$), combien de jours le mois de novembre a-t-il compté d'après ce relevé ? Le nombre total de jours est-il correct ?
3. c) Dans quelle classe de température se trouve le mode ?

Météo-France a relevé la quantité de pluie cumulée (en litres par mètre carré, $\text{l/m}^2$) pendant $50$ jours d'orage dans une région agricole. S'agissant d'un caractère continu, les données ont été regroupées dans les classes suivantes : $[0\,;\,10[$, $[10\,;\,20[$, $[20\,;\,30[$, $[30\,;\,40[$ et $[40\,;\,50]$. Le nombre de jours relevés dans chaque classe a été $18$, $15$, $10$, $5$ et $2$, respectivement.

1. a) Expliquer pourquoi, pour modéliser ces données, il faut employer un histogramme à rectangles adjacents (accolés) et non un diagramme en barres séparées. Préciser quelle grandeur est représentée sur l'axe horizontal ($X$) et laquelle sur l'axe vertical ($Y$).
2. b) Pour construire le polygone des effectifs associé, il faut un point représentatif de chaque classe. Définir la notion mathématique de « centre de classe », calculer sa valeur pour chacune des cinq classes et déterminer les coordonnées $(x\,;\,y)$ des points qui seraient reliés pour tracer le polygone.
3. c) Analyser la forme du polygone obtenu : la distribution est-elle symétrique par rapport au centre ou présente-t-elle une asymétrie ? Calculer quel pourcentage cumulé des jours d'orage a enregistré moins de $20\text{ l/m}^2$ et interpréter ce que cette concentration des précipitations implique pour l'exploitation agricole de la zone.

Un technicien municipal des sports doit présenter les statistiques annuelles d'un complexe sportif et a proposé trois graphiques préliminaires pour le rapport de gestion :

• Graphique 1 : un histogramme pour représenter le sport principal pratiqué par les usagers (futsal, natation, tennis, padel, gymnastique).

• Graphique 2 : un diagramme en barres séparées pour montrer l'évolution du nombre d'usagers quotidiens de la salle de sport au cours des $52$ semaines de l'année.

• Graphique 3 : un diagramme circulaire pour représenter la répartition des $1\,200$ adhérents selon leur tranche d'âge : enfants ($180$ adhérents), jeunes ($360$ adhérents), adultes ($480$ adhérents) et plus de 65 ans ($180$ adhérents).

1. a) Détecter et expliquer l'erreur méthodologique commise dans le choix du graphique 1. Justifier pourquoi il est conceptuellement incorrect d'utiliser un histogramme pour ce caractère et quel type de graphique il faut employer à la place.
2. b) Comparer la pertinence du graphique 2 à celle d'une courbe pour montrer les données des $52$ semaines. Justifier laquelle des deux options reflète le mieux la continuité temporelle et permet d'identifier plus clairement les pics de fréquentation ou la saisonnalité.
3. c) Dans le graphique 3, calculer l'angle au centre correspondant à chacun des quatre groupes d'âge. Argumenter s'il serait possible de remplacer ce diagramme circulaire par un histogramme, en expliquant quelle difficulté technique pose le groupe « plus de 65 ans » pour définir l'amplitude des classes.