Ejercicios: Concepto de número complejo

Identifica la parte real, $\text{Re}(z)$, y la parte imaginaria, $\text{Im}(z)$, de los siguientes números complejos:

• $z_1 = 3 - 4i$

• $z_2 = -5i$

• $z_3 = 7$

• $z_4 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

Escribe el conjugado, $\bar{z}$, y el opuesto, $-z$, de los siguientes números complejos:

• $z_1 = -2 + 5i$

• $z_2 = 8 - i$

• $z_3 = -6i$

Observa el siguiente plano complejo donde se ha representado el afijo del número $z = 3 + 2i$. Representa en tu cuaderno este mismo plano y añade los afijos correspondientes a su opuesto $-z$ y a su conjugado $\bar{z}$.

Resuelve la ecuación $x^2 + 49 = 0$ y expresa sus dos soluciones utilizando la unidad imaginaria $i$.

Resuelve la ecuación de segundo grado $x^2 - 6x + 25 = 0$ y comprueba que sus dos soluciones son números complejos conjugados entre sí.

Determina el valor del número real $k$ para que el número complejo $z = (3k - 6) + (k + 2)i$ sea un número imaginario puro.

Determina el valor del parámetro real $m$ para que el número complejo $w = (m^2 - 9) + (2m - 1)i$ sea un número real.

Calcula los valores de los números reales $x$ e $y$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre números complejos:

$(2x + 3) + (y - 5)i = 7 + 4i$

En el análisis de circuitos de corriente alterna, la impedancia se expresa como un número complejo $Z = R + X_L i$, donde $R$ es la resistencia y $X_L$ la reactancia. Si dos componentes tienen impedancias $Z_1 = (3x - 2) + (y + 4)i$ y $Z_2 = 10 + 2xi$, halla los valores reales de $x$ e $y$ para que ambas impedancias sean exactamente iguales.

Resuelve la ecuación bicuadrada $x^4 + 13x^2 + 36 = 0$ y expresa sus cuatro soluciones en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$.

Dado el número complejo $z = 2 + 4i$, halla su opuesto $-z$ y su conjugado $\bar{z}$. Representa los tres afijos en el plano complejo y calcula el área del triángulo que forman.

En el diseño del ala de un avión, la función de flujo aerodinámico en un punto se modela mediante el número complejo $W = (\phi^2 - 4) + (\psi + 3)i$. Para evitar turbulencias en un nodo específico, el flujo debe ser el número complejo nulo ($W = 0$). Determina los posibles valores reales de los parámetros $\phi$ y $\psi$.

Halla los números reales $a$ y $b$ que satisfacen la siguiente igualdad de números complejos:

$(a + b) + (a - b)i = 5 - 3i$

Representa gráficamente en el plano complejo el lugar geométrico de todos los números $z$ que cumplen simultáneamente $\text{Re}(z) = -2$ y $-1 \le \text{Im}(z) \le 3$.

Puedes usar como referencia unos ejes como los de la figura (el eje horizontal es el real y el vertical, el imaginario; cada marca equivale a una unidad):

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Demuestra analíticamente que la suma de un número complejo cualquiera $z = a + bi$ y su conjugado $\bar{z}$ es siempre un número real, y que su resta $z - \bar{z}$ es siempre un número imaginario puro o cero.

En un motor de renderizado 2D, la posición de un objeto se almacena como un número complejo $p = x + yi$. Si a este objeto se le aplica una transformación que lo lleva a su posición conjugada $\bar{p}$ y, a continuación, se le aplica otra transformación que lo lleva a su posición opuesta $-\bar{p}$, describe qué transformación geométrica global ha sufrido el objeto respecto al origen de coordenadas.

Determina los valores reales de $x$ e $y$ que son solución del sistema de ecuaciones no lineal dado por la siguiente igualdad de números complejos:

$(x^2 + y) + (x - y^2)i = 7 - 7i$

En mecánica cuántica, el estado de una partícula en un instante dado se describe mediante una amplitud de probabilidad compleja $\psi = A + Bi$. Si se sabe que dicha amplitud cumple la relación lineal $3\psi - 2\bar{\psi} = 5 + 10i$, halla los valores reales de $A$ y $B$.

Representa en el plano complejo la región formada por todos los afijos de los números complejos $z$ que satisfacen la inecuación $\text{Re}(z) \ge \text{Im}(z) + 1$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Halla el valor del parámetro real $c$ para que la ecuación paramétrica de segundo grado $x^2 - 4x + c = 0$ tenga dos soluciones complejas conjugadas cuya parte imaginaria sea exactamente $3$ y $-3$.

Un ingeniero de telecomunicaciones está ajustando una antena cuya señal de fase se representa matemáticamente por el número complejo $S = (m^2 - 2m) + (m^2 - 4)i$. Determina los valores del parámetro real $m$ para los cuales la señal es un número real, y los valores para los que es un número imaginario puro. ¿Existe algún valor de $m$ para el cual la señal sea completamente nula?

Dibuja en el plano complejo el conjunto de afijos $z$ que cumplen simultáneamente las condiciones $1 \le \text{Re}(z) \le 4$ y $0 \le \text{Im}(z) \le 3$. A continuación, calcula la longitud de la diagonal de la figura geométrica resultante.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Sabiendo que $z = a + bi$ es un número complejo no nulo, demuestra de forma analítica que la condición necesaria y suficiente para que se cumpla la igualdad $z = -\bar{z}$ es que $z$ sea un número imaginario puro.

Encuentra todos los números complejos $z = a + bi$ tales que su cuadrado sea igual a su conjugado, es decir, que cumplan la ecuación no lineal $z^2 = \bar{z}$. (Nota: desarrolla el cuadrado de $z$ y utiliza la definición de igualdad de números complejos para obtener un sistema de ecuaciones).