Aufgaben: Zufallsexperimente und Ergebnismenge

Ordne beim Werfen eines Würfels mit $6$ Seiten diese Ereignisse als sicher, möglich oder unmöglich ein:

1. a) Eine $5$ würfeln.
2. b) Eine $7$ würfeln.
3. c) Eine Zahl kleiner als $7$ würfeln.
4. d) Eine Zahl größer als $2$ würfeln.

Welche dieser Situationen sind Zufallsexperimente? Warum?

1. a) Eine Karte aus einem gut gemischten Kartenspiel ziehen und ihre Farbe notieren.
2. b) Die Länge deines Heftes mit einem Lineal messen.
3. c) Die Anzahl der Tore im nächsten Spiel deiner Mannschaft notieren.
4. d) Den Umfang eines Tisches berechnen, dessen Maße bekannt sind.

Schreibe die Ergebnismenge (alle möglichen Ergebnisse) dieser Experimente auf:

1. a) Einen Würfel werfen und die Augenzahl notieren.
2. b) Eine Münze werfen und das Ergebnis notieren.
3. c) Zufällig eine Kugel aus einer Lostrommel mit den Zahlen von $1$ bis $5$ ziehen.

In einer Kiste liegen $6$ Sammelkarten: $4$ von Spielern und $2$ von Wappen. Wenn wir zufällig eine Karte ziehen, ordne diese Ereignisse als sicher, möglich oder unmöglich ein:

1. a) Eine Spielerkarte ziehen.
2. b) Eine Trainerkarte ziehen.
3. c) Eine Spielerkarte oder eine Wappenkarte ziehen.
4. d) Eine Wappenkarte ziehen.

Matteo behauptet im Unterricht Folgendes über drei verschiedene Situationen:

1. „Ein frisches Ei aus dem dritten Stock auf den Boden zu werfen, ist ein Zufallsexperiment, weil wir nicht genau vorhersagen können, in wie viele Stücke die Schale zerbricht.“

2. „In einem Beutel mit $5$ grünen Murmeln, nummeriert von $1$ bis $5$, und $1$ roten Murmel mit der Nummer $6$ ist die Ergebnismenge $E = \{\text{grün}, \text{rot}\}$, also ist es genauso wahrscheinlich, eine rote wie eine grüne zu ziehen.“

3. „In demselben Beutel ist das Ereignis ‚eine Zahl kleiner als $10$ ziehen‘ ein mögliches, aber nicht sicheres Ereignis, weil es vom Glück abhängt.“

1. a) Erkläre, warum Aussage 1 einen begrifflichen Fehler enthält: Unterscheide zwischen dem wesentlichen Ergebnis des Vorgangs (dass das Ei nach den physikalischen Gesetzen zerbricht, was deterministisch ist) und den Nebensächlichkeiten.
2. b) Korrigiere Aussage 2: Schreibe die vollständige Ergebnismenge auf, wenn das Experiment darin besteht, Farbe und Nummer der gezogenen Murmel zu notieren, und erkläre, warum Matteos Überlegung zur Wahrscheinlichkeit falsch ist.
3. c) Korrigiere Aussage 3: Definiere, was ein sicheres Ereignis ist, und begründe, was für ein Ereignis „eine Zahl kleiner als $10$ ziehen“ in diesem Beutel tatsächlich ist.

Für das Schuljahresabschlussfest deiner Schule entwirfst du ein kreisförmiges Glücksrad, das in nummerierte Felder unterteilt ist. Du musst auswählen, welche Zahlen du in die Felder setzt, und dabei gleichzeitig diese vier Bedingungen erfüllen:

1. Die Ergebnismenge $E$ der Zahlen, die auftreten können, muss genau $4$ verschiedene mögliche Ergebnisse haben.

2. Das Ereignis „eine ungerade Zahl erhalten“ muss ein sicheres Ereignis sein.

3. Das Ereignis „eine Zahl größer als $30$ erhalten“ muss ein unmögliches Ereignis sein.

4. Das Ereignis „ein Vielfaches von $5$ erhalten“ muss ein mögliches, aber nicht sicheres Ereignis sein.

1. a) Gib eine Ergebnismenge $E$ an, die alle vier Bedingungen gleichzeitig erfüllt.
2. b) Begründe Schritt für Schritt, warum dein Vorschlag jede der genannten Bedingungen erfüllt.
3. c) Wenn du auf deinem Glücksrad die Zahl $18$ ergänzen würdest, welche der obigen Bedingungen wäre dann nicht mehr erfüllt? Begründe deine Antwort.

Gib an, ob jede der folgenden Situationen ein Zufallsexperiment oder deterministisch ist, und begründe deine Antwort:

1. a) Berechnen, was $3$ kg Orangen bei $2,10\ \text{€}$ pro Kilo kosten.
2. b) Das Ergebnis des Wurfs einer Reißzwecke notieren und sehen, ob sie auf der Spitze oder auf der Seite landet.
3. c) Die Zeit messen, die ein Liter Wasser auf dem Herd zum Kochen braucht.
4. d) Notieren, wer das Basketballspiel am Samstag gewinnt.
5. e) Den Flächeninhalt eines Quadrats mit $5$ cm Seitenlänge berechnen.

Schreibe die Ergebnismenge jedes dieser Zufallsexperimente auf:

1. a) Eine Münze werfen und das Ergebnis notieren.
2. b) Aus einer Urne, die eine rote, eine grüne, eine blaue und eine gelbe Kugel enthält, eine Kugel ziehen und ihre Farbe notieren.
3. c) Ein Glücksrad mit den Zahlen von $1$ bis $6$ drehen und die Zahl notieren.
4. d) Zufällig einen Wochentag auswählen und notieren, ob er „Werktag“ oder „Wochenende“ ist.

Wir werfen zwei Münzen in die Luft und notieren, ob jeweils Kopf (K) oder Zahl (+) fällt. Die Abbildung zeigt die Ergebnismenge des Experiments.

1. a) Wie viele mögliche Ergebnisse hat das Experiment? Schreibe sie auf.
2. b) Sind sie gleich wahrscheinlich? Begründe deine Antwort.
3. c) Auf wie viele Arten kann das Ereignis „mindestens einmal Kopf“ eintreten?
4. d) Und das Ereignis „beide Münzen zeigen dasselbe“?

In einem Beutel sind $9$ rote Kugeln und $1$ blaue Kugel. Ordne die folgenden Ereignisse des Experiments „zufällig eine Kugel ziehen“ vom wahrscheinlichsten bis zum unwahrscheinlichsten und erkläre dein Kriterium:

• Ereignis A: „eine rote Kugel ziehen“.

• Ereignis B: „eine blaue Kugel ziehen“.

• Ereignis C: „eine Kugel ziehen, die nicht grün ist“.

• Ereignis D: „eine grüne Kugel ziehen“.

Der Deutsche Wetterdienst gibt für eine Gemeinde im Mittelgebirge eine Schneefallwarnung mit drei möglichen Warnstufen heraus, abhängig von der in $24$ Stunden vorhergesagten Schneehöhe: Stufe Grün (kein Risiko, weniger als $2\text{ cm}$), Stufe Gelb (geringes Risiko, zwischen $2$ und $5\text{ cm}$) und Stufe Orange (erhebliches Risiko, mehr als $5\text{ cm}$).

1. a) Ordne das Experiment „beobachten, welche Warnstufe am Samstag schließlich ausgelöst wird“ als Zufallsexperiment oder deterministisch ein. Begründe deine Antwort unter Berücksichtigung der Natur von Wettervorhersagen.
2. b) Schreibe die Ergebnismenge $E$ der für diesen Tag vorgesehenen Warnstufen auf.
3. c) Ordne die folgenden Ereignisse als sicher, möglich oder unmöglich ein und begründe jeden Fall anhand der Ergebnismenge:

• Ereignis $A$: „Es wird Stufe Grün oder Stufe Orange ausgelöst.“

• Ereignis $B$: „Es wird Stufe Rot (extremes Risiko) ausgelöst“, wobei bekannt ist, dass der Wetterdienst diese Stufe für diesen Tag nicht vorgesehen hat.

• Ereignis $C$: „Es wird eine der Stufen Grün, Gelb oder Orange ausgelöst.“

1. d) Wenn die Behörden beschließen, den Schulbusverkehr nur dann auszusetzen, wenn Stufe Orange ausgelöst wird: Ist die Aussetzung des Schulbusverkehrs am Samstagmorgen, bevor die endgültige Warnung bekannt ist, ein sicheres, mögliches oder unmögliches Ereignis? Begründe deine Antwort.

Wir werfen zwei Tetraederwürfel (Würfel mit $4$ Seiten, nummeriert von $1$ bis $4$) und berechnen das Produkt der beiden erhaltenen Zahlen.

1. a) Schätze und überlege vorab: Glaubst du, ohne die vollständige Tabelle schon zu erstellen, dass die Ergebnismenge der Produkte mehr als $10$ verschiedene Ergebnisse oder weniger als $10$ enthält? Glaubst du, dass ein gerades oder ein ungerades Produkt häufiger vorkommt? Begründe deine anfängliche Vermutung.
2. b) Überprüfe deine Schätzung: Zeichne in dein Heft eine Tabelle mit $4 \times 4$, in der die Zeilen den ersten Würfel und die Spalten den zweiten Würfel darstellen, und schreibe in jedes Feld das Produkt beider Zahlen.
3. c) Schreibe anhand der Tabelle die Ergebnismenge $E$ aller verschiedenen Produkte, die auftreten können, in Mengenklammern auf. Wie viele Elemente hat sie? Vergleiche diese Anzahl mit deiner Schätzung aus Teilaufgabe a).
4. d) Zähle, in wie vielen Feldern der Tabelle ein gerades Produkt steht und in wie vielen ein ungerades. War deine Vermutung richtig? Erkläre mathematisch, warum bei diesem Experiment gerade Ergebnisse viel häufiger sind als ungerade.

Wir werfen zwei Würfel in verschiedenen Farben (einen blauen und einen grünen) und notieren die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

1. a) Welche verschiedenen Ergebnisse kann die Summe annehmen? Schreibe sie alle auf.
2. b) Sind diese Ergebnisse gleich wahrscheinlich? Überprüfe es, indem du in deinem Heft eine Tabelle mit den $36$ möglichen Paaren (blauer Würfel, grüner Würfel) ausfüllst und zählst, auf wie viele Arten sich jede Summe ergibt.
3. c) Welche Summe ist am wahrscheinlichsten? Auf wie viele Arten kann man sie erhalten?
4. d) Und welche ist die unwahrscheinlichste?

Gib an, ob die folgenden Aussagen über den Zufall wahr oder falsch sind, und begründe deine Antwort:

1. a) Beim Werfen eines Würfels eine $7$ zu würfeln, ist ein unmögliches Ereignis.
2. b) Wenn ein Ereignis sehr unwahrscheinlich ist, dann ist es unmöglich.
3. c) Wenn ich eine Münze $10$ Mal werfe, fällt sicher genau $5$ Mal Kopf.
4. d) Wenn $4$ Mal hintereinander Kopf gefallen ist, ist es beim nächsten Wurf wahrscheinlicher, dass Zahl fällt, „um es auszugleichen“.

1. a) Erfinde ein Zufallsexperiment, dessen Ergebnismenge genau $6$ gleich wahrscheinliche Ergebnisse hat. Schreibe seine Ergebnismenge auf.
2. b) Erfinde nun ein Zufallsexperiment, das ebenfalls $6$ mögliche Ergebnisse hat, die aber nicht gleich wahrscheinlich sind, und erkläre, warum sie es nicht sind.
3. c) Beschreibe für dein Experiment aus Teilaufgabe b) ein sicheres Ereignis, ein unmögliches und ein unwahrscheinliches.

In einem undurchsichtigen Beutel befinden sich nur rote und blaue Kugeln, insgesamt $10$ Kugeln, aber wir wissen nicht, wie viele von jeder Farbe.

1. a) Beschreibe ein sicheres Ereignis dieses Experiments (zufälliges Ziehen einer Kugel).
2. b) Beschreibe ein unmögliches Ereignis.
3. c) Wenn man dir sagt, dass das Ereignis „rote Kugel ziehen“ sehr unwahrscheinlich ist, was kannst du dann über die Zusammensetzung des Beutels schließen? Gib zwei mögliche Zusammensetzungen an, die zu dieser Information passen.
4. d) Und wenn „rote Kugel ziehen“ genauso wahrscheinlich wäre wie „blaue Kugel ziehen“?

An einem Schulschachturnier nehmen vier Schulen teil: das Gymnasium Ramón y Cajal ($R$), das Gymnasium Severo Ochoa ($S$), das Gymnasium Clara Campoamor ($C$) und das Gymnasium Miguel Delibes ($M$). Für den Eröffnungstag soll per Los eine Paarung aus zwei Schulen ausgewählt werden (die Reihenfolge spielt keine Rolle: Das Spiel $R-S$ ist dasselbe wie $S-R$). Drei Schüler diskutieren, wie man die Ergebnismenge aller möglichen Begegnungen bestimmen kann, ohne eine auszulassen:

• Elias schlägt vor, die Kombinationen einfach direkt aufzuschreiben, so wie sie ihm einfallen.

• Beatrice schlägt vor, eine Tabelle mit $4 \times 4$ zu zeichnen, die Diagonale zu streichen (eine Schule spielt nicht gegen sich selbst) und nur die Felder oberhalb der Diagonale auszuwählen, um keine Paarung doppelt zu haben.

• Karl schlägt vor, ein zweistufiges Baumdiagramm zu zeichnen und dann die Äste, die sich als doppelte Spiele herausstellen, von Hand zu streichen.

1. a) Vergleiche die drei Methoden hinsichtlich Ordnung und Wirksamkeit: Welche ist am besten geeignet, um sicherzustellen, dass wir kein Ergebnis vergessen und keine Spiele doppelt zählen? Begründe deine Wahl gegenüber den anderen beiden.
2. b) Wende die von dir gewählte, am besten geeignete Methode an und schreibe die Ergebnismenge $E$ aller möglichen Spiele ausführlich auf. Wie viele Elemente hat $E$?
3. c) Betrachte die folgenden Ereignisse bei diesem Experiment und ordne sie als sicher, möglich oder unmöglich ein; gib dabei die Elemente an, aus denen jedes Ereignis besteht:

• Ereignis $A$: „Am Spiel nimmt das Gymnasium Clara Campoamor teil.“

• Ereignis $B$: „Im Spiel treten zwei Schulen gegeneinander an, die mit demselben Buchstaben beginnen.“

• Ereignis $C$: „Am Spiel nimmt mindestens eine der vier gemeldeten Schulen teil.“

Du entwirfst ein Kartenspiel zu einem Thema für einen Mathematik-Workshop. Dir stehen leere Karten zur Verfügung, auf die du jeweils eine natürliche Zahl von $1$ bis $20$ schreiben und eine geometrische Figur (Stern oder Kreis) zeichnen musst. Dein Ziel ist es, eine Menge von Karten auszuwählen, die gleichzeitig die folgenden fünf Bedingungen genau erfüllt:

1. Das Kartenspiel muss genau $6$ verschiedene Karten enthalten (diese Menge von $6$ Karten ist die Ergebnismenge $E$ beim zufälligen Ziehen einer Karte).

2. Das Ereignis „eine Zahl ziehen, die ein Vielfaches von $3$ ist“ muss ein sicheres Ereignis sein.

3. Das Ereignis „eine Karte mit einem Dreieck ziehen“ muss ein unmögliches Ereignis sein.

4. Das Ereignis „einen Stern mit einer Primzahl ziehen“ muss ein mögliches, aber nicht sicheres Ereignis sein.

5. Nennen wir Ereignis $A$ „eine Zahl größer als $10$ ziehen“ und Ereignis $B$ „eine Karte mit Kreis ziehen“, dann darf kein Element der Ergebnismenge gleichzeitig zu $A$ und zu $B$ gehören (das heißt, kein Kreis darf eine Zahl größer als $10$ tragen).

1. a) Entwirf ein Kartenspiel, das alle Bedingungen erfüllt, und gib die Ergebnismenge $E$ mit ihren $6$ Elementen explizit an (mit Zahl und Figur jeder Karte).
2. b) Zeige, indem du die fünf Bedingungen einzeln untersuchst, dass deine vorgeschlagene Ergebnismenge alle Anforderungen erfüllt.
3. c) Begründe mathematisch: Wäre es möglich, alle Bedingungen zu erfüllen, wenn wir Bedingung 2 durch „eine Zahl ziehen, die zugleich prim und gerade ist“ ersetzen würden und weiterhin verlangen, dass das Kartenspiel $6$ verschiedene Karten hat? Begründe deine Antwort mithilfe der Definition der Primzahlen.