Aufgaben: Lage- und Streumaße

Die Alter von Noas Cousins und Cousinen sind: $8$, $10$, $12$, $10$ und $10$ Jahre. Berechne das arithmetische Mittel ihrer Alter.

Die Punkte, die eine Spielerin in ihren letzten $7$ Spielen erzielt hat, sind: $9$, $14$, $6$, $11$, $8$, $12$ und $10$.

1. a) Ordne die Daten der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten.
2. b) Was ist der Median?

Die Schuhgrößen der $11$ Spieler einer Hallenfußballmannschaft sind: $38$, $39$, $40$, $39$, $41$, $39$, $40$, $42$, $39$, $38$ und $39$. Was ist der Modalwert? Was bedeutet dieser Wert für den Zeugwart?

Eine Wetter-App hat in einer Januarwoche diese Tiefsttemperaturen (in °C) aufgezeichnet: $2$, $-1$, $0$, $-3$, $1$, $4$ und $-2$. Berechne die Spannweite der Tiefsttemperaturen dieser Woche.

Das Punktdiagramm zeigt die Tore, die eine Mannschaft in ihren letzten Spielen erzielt hat.

1. a) Wie viele Spiele hat die Mannschaft bestritten?
2. b) In wie vielen Spielen hat sie kein Tor erzielt?
3. c) Was ist der Modalwert der Torzahl? Gibt es nur einen Modalwert?
4. d) Wie groß ist die Spannweite?

Bei einem Schulschachturnier hat Alex in den $5$ Runden diese Punkte erzielt: $3$, $5$, $4$, $5$ und $3$. Berechne seinen Mittelwert an Punkten pro Runde.

Die Tabelle zeigt, wie viele Bücher die Schülerinnen und Schüler einer Klasse in diesem Trimester gelesen haben:

1. a) Was ist der Modalwert der Anzahl gelesener Bücher?
2. b) Wie viele Schülerinnen und Schüler hat die Klasse?
3. c) Wie viele Schülerinnen und Schüler haben mehr als $1$ Buch gelesen?

Die Zeiten (in Sekunden) von $6$ Schwimmern über $25$ Meter sind: $31$, $28$, $35$, $29$, $33$ und $30$. Wir berechnen ihren Median Schritt für Schritt:

1. a) Ordne die Zeiten der Größe nach, beginnend mit der kleinsten.
2. b) Da die Anzahl der Daten gerade ist: Welche beiden Werte stehen in der Mitte?
3. c) Der Median ist das arithmetische Mittel dieser beiden Werte: Berechne ihn.

Um den Median und die Spannweite der Anzahl der Bücher zu berechnen, die eine Gruppe von $5$ Freunden im letzten Jahr gelesen hat ($4$, $1$, $5$, $2$ und $8$), hat Markus Folgendes in sein Heft geschrieben:

„Der Wert in der Mitte der Liste, so wie sie uns gegeben wurde, ist die $5$, also ist der Median $Me = 5$. Die Spannweite ist $8 - 4 = 4$, weil ich den letzten Wert minus den ersten gerechnet habe.“

1. a) Finde die zwei Fehler, die Markus gemacht hat, und erkläre mit eigenen Worten, warum seine Überlegung in beiden Fällen nicht richtig ist.
2. b) Korrigiere Markus’ Rechnungen und bestimme die richtigen Werte von Median und Spannweite.

Der Deutsche Wetterdienst hat in einer Aprilwoche in Münster die folgenden Höchsttemperaturen (in $^\circ\text{C}$) aufgezeichnet: $14$, $16$, $15$, $19$, $17$, $13$ und $18$.

1. a) Betrachte die Daten, bevor du schriftlich rechnest, und schätze, zwischen welchen beiden ganzen Zahlen das arithmetische Mittel liegen muss. Glaubst du, dass es näher bei $14\text{ }^\circ\text{C}$ oder bei $17\text{ }^\circ\text{C}$ liegt? Begründe deine Schätzung.
2. b) Berechne das arithmetische Mittel, den Median und die Spannweite der aufgezeichneten Höchsttemperaturen exakt.
3. c) Überprüfe, ob der exakte Wert des Mittels deine anfängliche Schätzung bestätigt, und begründe, ob das Ergebnis unter Berücksichtigung der Spannweite der Woche plausibel ist.

Die $30$ Schülerinnen und Schüler einer Klasse wurden gefragt, wie oft sie im letzten Monat im Sportzentrum des Stadtteils waren. Die Ergebnisse sind:

1. a) Berechne das arithmetische Mittel der Anzahl der Besuche.
2. b) Was ist der Modalwert? Was bedeutet er in diesem Zusammenhang?

Ein Onlineshop vergleicht die Preise derselben Sportschuhe auf $8$ verschiedenen Portalen und findet diese Werte in Euro: $42$, $38$, $45$, $39$, $50$, $36$, $41$ und $44$.

1. a) Ordne die Preise von klein nach groß.
2. b) Berechne den Median der Preise. Denke daran: Bei einer geraden Anzahl von Daten gibt es zwei mittlere Werte.
3. c) Wie groß ist die Spannweite? Deute sie: Gibt es große Preisunterschiede zwischen den Portalen?

Bei einem Schulwettbewerb im Zielwerfen mit dem Ball wirft jede Teilnehmerin und jeder Teilnehmer $10$-mal, und die Treffer werden notiert. Die Tabelle zeigt die Ergebnisse aller Teilnehmenden:

1. a) Wie viele Teilnehmende gab es insgesamt?
2. b) Was ist der Modalwert der Trefferzahl?
3. c) Berechne die Spannweite der Verteilung.
4. d) Berechne das arithmetische Mittel der Treffer pro Teilnehmenden, gerundet auf Zehntel.

Die Grafik zeigt die Höchsttemperaturen, die in einer Stadt während einer Frühlingswoche gemessen wurden.

1. a) Berechne das arithmetische Mittel der Höchsttemperaturen der Woche, gerundet auf Zehntel.
2. b) Berechne die Temperaturspannweite der Woche (Differenz zwischen Höchst- und Tiefstwert).
3. c) Welcher Wochentag wich am stärksten vom Mittelwert ab? Begründe deine Antwort.

Das Säulendiagramm zeigt die Noten der letzten Mathematikarbeit einer Klasse.

1. a) Wie viele Schülerinnen und Schüler haben die Arbeit geschrieben?
2. b) Was ist der Modalwert der Noten?
3. c) Berechne den Median der Noten.
4. d) Berechne das arithmetische Mittel, gerundet auf Hundertstel. Besteht die Klasse „im Durchschnitt“?

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Lösung senden.

In einem Fach werden Punkte von $0$ bis $10$ vergeben; ab $5$ Punkten hat man bestanden. Die Endnote des Halbjahres wird so berechnet: Das arithmetische Mittel der drei Projektarbeiten zählt zu $40\%$ der Endnote und die Klassenarbeit zu $60\%$. Finns Projektarbeiten wurden mit $7$, $8$ und $6$ Punkten bewertet, und in der Klassenarbeit hat er $7,5$ Punkte erreicht.

1. a) Berechne das arithmetische Mittel der drei Projektarbeiten.
2. b) Berechne seine Endnote unter Anwendung der Prozentanteile.
3. c) Hätte er bestanden, wenn die Klassenarbeit zu $50\%$ und die Projektarbeiten zu den anderen $50\%$ gezählt hätten? Überprüfe es.

Die Alter der $6$ Mitglieder einer Clique sind: $11$, $12$, $11$, $13$, $12$ und $12$ Jahre.

1. a) Berechne das arithmetische Mittel und den Median der Alter.
2. b) Der ältere Bruder eines von ihnen, der $24$ Jahre alt ist, trifft sich nun auch mit der Clique. Berechne das neue arithmetische Mittel und den neuen Median.
3. c) Welcher der beiden Werte hat sich stärker verändert? Welcher beschreibt das „typische Alter“ der Gruppe nach der Änderung besser? Begründe deine Antwort.

Es wurden $40$ Schülerinnen und Schüler nach ihrem Lieblingsfilmgenre gefragt. Die Ergebnisse: Abenteuer $12$ Stimmen; Komödie $12$ Stimmen; Animation $9$ Stimmen; Science-Fiction $5$ Stimmen; Dokumentarfilm $2$ Stimmen.

1. a) Was ist der Modalwert dieses Merkmals?
2. b) Ist es sinnvoll, das arithmetische Mittel oder den Median dieser Daten zu berechnen? Erkläre, warum.
3. c) Hat ein Merkmal zwei Werte mit derselben größten Häufigkeit, nennt man es bimodal. Ist das hier der Fall? Begründe deine Antwort.

Bei einem Schulbasketballturnier in Essen hat die Mannschaft deiner Schule $5$ Spiele bestritten. Über ihre Punktzahlen sind folgende statistische Kennwerte bekannt:

• Das arithmetische Mittel der Punkte beträgt genau $46$.

• Der Modalwert ist $52$ Punkte (und der einzige Wert, der mehrfach vorkommt).

• Der Median beträgt $46$ Punkte.

• Die Spannweite der Punktzahlen beträgt $14$ Punkte.

1. a) Bestimme die genauen Punktzahlen, die die Mannschaft in jedem der $5$ Spiele erzielt hat, und schreibe sie der Größe nach geordnet auf. Erkläre Schritt für Schritt, wie du jeden Wert aus den statistischen Hinweisen abgeleitet hast.
2. b) Wenn die Mannschaft in einem sechsten Spiel $58$ Punkte erzielt, was passiert dann mit der Spannweite und mit dem Mittelwert der Saison? Begründe, ob sie größer oder kleiner werden oder gleich bleiben, ohne die neuen Werte zu berechnen.

Das Umweltamt einer Gemeinde hat $20$ Familien eines Stadtviertels befragt, wie oft sie im Laufe eines Monats zum Altglascontainer gehen. Die Antworten lauten:

$1$, $4$, $2$, $3$, $2$, $1$, $5$, $2$, $3$, $4$, $2$, $6$, $3$, $2$, $1$, $2$, $4$, $3$, $2$ und $8$.

1. a) Erstelle eine Tabelle der absoluten Häufigkeiten, um die Daten zu ordnen, und berechne Modalwert, Median und Spannweite der Besuche.
2. b) Berechne mithilfe der Häufigkeitstabelle das arithmetische Mittel der Besuche pro Familie am Altglascontainer und deute das Ergebnis.
3. c) Im Gemeindeblatt hat eine Ratsfrau veröffentlicht: „Die Mehrheit der Familien im Viertel bringt $8$ Mal im Monat Glas zum Recycling, deshalb füllt sich der Container schnell.“ Argumentiere mithilfe der berechneten Mittelwerte, warum die Aussage der Ratsfrau falsch ist und welchen statistischen Begriff sie mit der Realität verwechselt hat.

Die täglichen Bildschirmzeiten (in Stunden) von $9$ Schülerinnen und Schülern einer Klasse sind: $2$, $3$, $3$, $4$, $4$, $5$, $5$, $6$ und $12$.

1. a) Berechne das arithmetische Mittel und den Median dieser Daten.
2. b) Einer der Werte ist viel größer als die anderen. Welches der beiden Maße wird davon stärker beeinflusst? Begründe deine Antwort.
3. c) Angenommen, der Wert $12$ Stunden wäre ein Fehler in der Umfrage gewesen und es wären in Wirklichkeit $2$ Stunden. Berechne Mittel und Median neu und erkläre, was sich verändert hat.

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Antwort oder gib ein Gegenbeispiel an:

1. a) Bei einer Umfrage zur Lieblingsfarbe einer Klasse kann man weder das arithmetische Mittel noch den Median berechnen.
2. b) Wenn man zu allen Daten einer Verteilung $2$ addiert, steigt das arithmetische Mittel um $2$, aber die Spannweite ändert sich nicht.
3. c) Der Modalwert ist immer der größte Wert der Verteilung.
4. d) Zur Berechnung des Medians ist es egal, ob die Daten ungeordnet sind.

Martina hat in den ersten vier Mathematikarbeiten auf einer Punkteskala von $0$ bis $10$ (je mehr Punkte, desto besser) diese Ergebnisse erzielt: $5,5$; $6$; $7$ und $6,5$ Punkte. Es steht nur noch eine Arbeit bis zum Ende des Halbjahres aus, und sie möchte, dass ihr Mittelwert genau $6,5$ beträgt.

1. a) Welche Punktzahl muss sie in der letzten Arbeit erreichen?
2. b) Und wenn sie sich mit einem Mittelwert von $6$ zufriedengäbe?
3. c) Könnte sie einen Mittelwert von $7$ erreichen? Begründe deine Antwort.

In einer Basketball-Stadtteilliga zeigt die Tabelle die von einer Mannschaft in den gespielten Partien erzielten Tore, aber eine Häufigkeit wurde gelöscht:

Das arithmetische Mittel der Tore pro Spiel beträgt genau $1,4$:

1. a) Stelle die Gleichung auf, mit der man $x$ bestimmen kann, und löse sie.
2. b) Wie viele Spiele hat die Mannschaft insgesamt gespielt?
3. c) Was ist mit den vollständigen Daten der Modalwert der Verteilung?

Um das arithmetische Mittel der Geschwisterzahl ihrer Klasse zu berechnen, hat Hannah diese Tabelle:

Hannah rechnet so: $(0 + 1 + 2 + 3) : 4 = 1,5$ und behauptet: „Das Mittel beträgt $1,5$ Geschwister.“

1. a) Erkläre, welchen Fehler Hannah gemacht hat.
2. b) Berechne das arithmetische Mittel richtig.
3. c) Hannah behauptet außerdem: „Der Median ist $1,5$, weil er zwischen $1$ und $2$ liegt.“ Hat sie recht? Berechne den Median, indem du die $30$ Daten ordnest, und überprüfe es.

Zwei Handballmannschaften haben in ihren letzten $5$ Spielen diese Punkte erzielt:

• Mannschaft Alfa: $60$, $62$, $58$, $61$, $59$.

• Mannschaft Beta: $45$, $80$, $52$, $70$, $53$.

1. a) Berechne das arithmetische Mittel der Punkte jeder Mannschaft.
2. b) Berechne die Spannweite jeder Mannschaft.
3. c) Wenn du der gegnerische Trainer wärst: Welche Mannschaft erscheint dir gleichmäßiger? Und welche unberechenbarer? Begründe deine Antworten mit den berechneten Maßen.

Beim Spendenlauf der Schule haben die $12$ Läuferinnen und Läufer des Teams der Klasse 7 diese Zeiten (in Minuten) für die Strecke von $5$ km benötigt: $24$, $26$, $25$, $31$, $28$, $26$, $30$, $27$, $25$, $26$, $29$ und $33$.

1. a) Berechne das arithmetische Mittel, den Median, den Modalwert und die Spannweite der Zeiten.
2. b) Der Trainer sagt, eine Zeit sei „gut“, wenn sie unter dem Mittelwert des Teams liegt. Wie viele Läuferinnen und Läufer haben eine „gute“ Zeit erreicht?
3. c) Nächstes Jahr verspricht der langsamste Läufer, seine Zeit um $5$ Minuten zu verbessern. Wenn er das schafft und die anderen dieselben Zeiten laufen, wie verändern sich Mittelwert und Median? Berechne es.

Das Alter der $5$ Mitglieder eines Leseclubs beträgt: $10$, $14$, $15$, $21$ und $23$ Jahre.

1. a) Berechne das aktuelle arithmetische Mittel und den aktuellen Median.
2. b) Ein neues Mitglied tritt bei und der Median wird zu $16$ Jahren. Wie alt ist das neue Mitglied?
3. c) Wenn der Club stattdessen möchte, dass das arithmetische Mittel durch den Beitritt einer sechsten Person genau um $1$ Jahr steigt: Wie alt müsste diese Person sein?

Ein junges Technologieunternehmen in Bonn hat $8$ Beschäftigte, deren monatliche Bruttogehälter wie folgt sind: fünf Junior-Programmierer, die jeweils $1250\text{ \euro}$ verdienen, zwei Senior-Programmierer, die jeweils $1750\text{ \euro}$ verdienen, und der Geschäftsführer, der $6250\text{ \euro}$ verdient. Für eine Stellenanzeige überlegt die Personalabteilung, wie das typische Gehalt angegeben werden soll, und erwägt zwei Möglichkeiten:

• Methode A: Das Durchschnittsgehalt angeben (arithmetisches Mittel).

• Methode B: Das mittlere Gehalt angeben (Median).

1. a) Berechne das Durchschnittsgehalt, das mittlere Gehalt (Median) und die Gehaltsspannweite des Unternehmens.
2. b) Vergleiche beide Methoden und begründe, welche das Gehalt einer normalen Beschäftigten bzw. eines normalen Beschäftigten in diesem Unternehmen gerechter und realistischer darstellt. Erkläre, welchen verzerrenden Effekt das Gehalt des Geschäftsführers auf das arithmetische Mittel hat.
3. c) Stell dir vor, das Unternehmen verzichtet auf Mittelwert und Median und veröffentlicht nur, dass „die Gehaltsspannweite $5000\text{ \euro}$ beträgt“. Wäre diese Information ausreichend, damit ein Bewerber ungefähr weiß, wie viel er verdienen wird? Begründe, was die Spannweite aussagt und warum sie die Lagemaße nicht ersetzt.

Der Deutsche Leichtathletik-Verband muss eine Vertreterin für einen internationalen Wettkampf im $100\text{ m}$-Hürdenlauf auswählen. Untersucht werden die gestoppten Zeiten (in Sekunden) zweier Athletinnen, Sophie und Emilia, in ihren letzten $6$ Läufen:

• Zeiten von Sophie: $13,1$; $13,2$; $13,3$; $13,3$; $13,4$ und $13,5$.

• Zeiten von Emilia: $12,6$; $12,8$; $13,1$; $13,5$; $13,8$ und $14,0$.

1. a) Berechne das arithmetische Mittel, den Median und die Spannweite der Zeiten jeder der beiden Athletinnen.
2. b) Wenn ein Sportanalyst nur auf Mittelwert und Median achten würde: Könnte er einen Unterschied zwischen der Gesamtleistung von Sophie und der von Emilia erkennen? Erkläre, welche entscheidende Information die Spannweite in dieser Situation über das Profil jeder Läuferin liefert.
3. c) Das Trainerteam muss eine Athletin für einen Mannschaftswettbewerb auswählen, in dem eine gleichmäßige Leistung ohne Ausreißer durch Disqualifikation oder Rückstand verlangt wird, und eine andere Athletin für einen Einzelwettbewerb, bei dem man nur dann Aussicht auf eine Medaille hat, wenn man unter $13\text{ s}$ bleibt. Begründe mithilfe der berechneten statistischen Kennwerte, welche Athletin du zu welchem Wettbewerb schicken würdest.
4. d) Wenn Sophie in einem siebten Lauf an einer Hürde hängen bleibt und eine untypische Zeit von $16,8\text{ s}$ erzielt, begründe, welches ihrer statistischen Maße (Mittelwert oder Median) sich stärker verändert und welches besser geschützt bleibt, ohne die Werte neu zu berechnen.

Herausforderung zum Thema. Wie beeinflussen Bildschirme unser Umfeld? Du leitest eine echte statistische Untersuchung, um diese Gewohnheit in deinem Umfeld zu analysieren.

1. Datenerhebung: Frage $15$ Personen (aus der Familie oder Mitschüler), wie viele Stunden täglich sie mit dem Handy verbringen (Dezimalzahlen sind erlaubt, z. B. $1,5$ h oder $2,0$ h), oder sammle die Höchsttemperaturen der letzten $15$ Tage auf der Website des Deutschen Wetterdienstes. Bestimme klar die Grundgesamtheit, die Stichprobe, das Merkmalsträger und die Art des Merkmals.

2. Tabellieren und Berechnen: Gib die Daten in eine Tabellenkalkulation ein (Excel, Calc oder Google Sheets). Erstelle die Häufigkeitstabelle (absolute und relative Häufigkeiten sowie Prozentwerte). Berechne die Lagemaße (arithmetisches Mittel $\bar{x}$, Median und Modalwert) und das Streumaß (Spannweite).

3. Darstellung: Erstelle das passendste statistische Diagramm (Säulen- oder Liniendiagramm) und achte auf Titel, Skalen und Legenden.

4. Abschlussbericht: Verfasse einen kurzen Bericht mit deinem Vorschlag: Analysiere, ob die Daten homogen oder gestreut sind, und formuliere eine begründete Schlussfolgerung zum gesunden Umgang mit der Freizeit.

Bewertet wird:

• Richtige Erfassung der Schlüsselbegriffe und genaue Erstellung der Häufigkeitstabelle.

• Genaue Berechnung der Lage- und Streumaße mit der Tabellenkalkulation.

• Klarheit und Sorgfalt bei der digitalen grafischen Darstellung.

• Kritische Begründung der Schlussfolgerungen anhand der ermittelten Kennwerte.