Aufgaben: Vielfache, Teiler und Teilbarkeitsregeln

Eine Heuschrecke trainiert für einen Wettkampf. Bei jedem Sprung kommt sie genau $6$ Dezimeter weiter.

Schreibe die insgesamt zurückgelegte Strecke nach $1, 2, 3, 4, 5$ und $10$ Sprüngen auf. Wie heißen diese Zahlen in Bezug auf die $6$?

Die Gleichung $15 \cdot 4 = 60$ ist wahr. Vervollständige damit die folgenden Sätze mit den Wörtern Vielfaches oder Teiler:

1. a) Die Zahl $60$ ist ____ von $15$.
2. b) Die Zahl $4$ ist ____ von $60$.
3. c) Die Zahl $60$ ist ____ von $4$.
4. d) Die Zahl $15$ ist ____ von $60$.

Bestimme durch die nötigen Divisionen, welche der folgenden Zahlen Teiler von $24$ sind:

Merke: Eine Zahl ist Teiler einer anderen, wenn beim Dividieren der Rest $0$ ist.

Lina möchte $28$ Sticker gleichmäßig auf ihre $4$ Freunde verteilen.

1. a) Wie viele Sticker bekommt jeder? Bleibt einer übrig?
2. b) Ist $28$ durch $4$ teilbar?
3. c) Ist $4$ ein Teiler von $28$?

Ein Bibliothekar muss Bücher in Regale einsortieren, in die in jedes Fach genau $3$ Bücher passen. Um schnell zu wissen, ob er die Regale füllen kann, ohne dass Bücher übrig bleiben, nutzt er die Teilbarkeitsregel für $3$.

Berechne die Quersumme der folgenden Zahlen und gib an, welche durch $3$ teilbar sind:

1. a) $123$
2. b) $401$
3. c) $516$
4. d) $802$

Vervollständige die folgende Tabelle in deinem Heft, indem du in jedes Feld JA oder NEIN einträgst. Wende dazu die Teilbarkeitsregeln an, die du gelernt hast:

Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern Nullen sind oder ein Vielfaches von $4$ bilden.

Betrachte die folgenden Jahreszahlen und gib an, welche „besondere Jahre“ wären, weil sie durch $4$ teilbar sind:

$1996, 2000, 2010, 2022, 2024, 2030$

Ersetze den Buchstaben $A$ durch eine Ziffer, sodass die entstehende Zahl ein Vielfaches von $9$ ist. Denke daran, dass ihre Quersumme ein Vielfaches von $9$ sein muss.

1. a) $2A5$
2. b) $71A$
3. c) $A08$

In einer Mathematikarbeit der Klasse 7 soll Markus mehrere Zahlen mithilfe der Teilbarkeitsregeln einordnen und schreibt die folgenden drei Aussagen auf sein Antwortblatt:

1. „Die Zahl $253$ ist durch $3$ teilbar, weil ihre letzte Ziffer $3$ ist.“

2. „Die Zahl $410$ ist durch $4$ teilbar, weil sie auf $0$ endet, und da $10$ gerade ist, kann man zweimal durch $2$ teilen.“

3. „Die Zahl $837$ ist durch $9$ teilbar, weil ihre Quersumme $8 + 3 + 7 = 18$ ist und $18$ ein Vielfaches von $9$ ist.“

Deine Aufgabe:

1. a) Gib mit Begründung an, welche der drei Aussagen von Markus falsch sind. Erkläre, welchen Denkfehler er jeweils gemacht hat und welche Regel er laut deinem Heft hätte anwenden müssen.
2. b) Wende die passenden Regeln auf die Zahlen $253$ und $410$ an und gib an, ob sie durch $3$ bzw. durch $4$ teilbar sind oder nicht.

Um das digitale Zahlenschloss des Spinds in der Turnhalle zu öffnen, muss Sarah einen vierstelligen Code der Form $5\text{.}2A4$ eingeben, wobei $A$ eine unbekannte Ziffer ist (von $0$ bis $9$). Sarah erinnert sich an zwei Bedingungen, die ihr Code erfüllt:

• Die Zahl ist durch $3$ teilbar.

• Die Zahl ist nicht durch $9$ teilbar.

1. a) Schreibe die Quersumme der Zahl in Abhängigkeit von $A$ auf und bestimme alle Werte, die die Ziffer $A$ annehmen kann, damit die Zahl ein Vielfaches von $3$ ist.
2. b) Schließe von den gefundenen Werten mit Begründung diejenigen aus, für die die Zahl durch $9$ teilbar ist. Welche gültigen vierstelligen Zahlen bleiben übrig?
3. c) Überprüfe, ob eine der übrig gebliebenen gültigen Zahlen auch durch $4$ teilbar ist. Wende dazu die Regel der letzten beiden Ziffern an, ohne die vollständige Division durchzuführen.

Eine Grafikdesignerin ordnet eine Galerie aus $30$ gleichen quadratischen Icons für eine Webseite an. Sie möchte sie zu einem vollständigen Rechteck anordnen (ohne dass Icons übrig bleiben).

1. a) Finde alle möglichen Anordnungen der Icons (zum Beispiel: $1$ Reihe mit $30$).
2. b) Welchen mathematischen Zusammenhang haben die Seitenlängen dieser Rechtecke mit der Zahl $30$?
3. c) Wenn die kürzere Seite des Rechtecks laut Design mindestens $3$ Icons haben muss, wie viele Möglichkeiten gibt es dann noch?

Betrachte das folgende Schema der „Zahlensprünge“ und vervollständige die Sätze mit den Wörtern Vielfaches, Teiler oder teilbar:

1. a) $60$ ist .................... von $12$.
2. b) $12$ ist .................... von $180$.
3. c) $180$ ist .................... durch $60$.
4. d) Wenn wir die Zahl $5$ in das Schema aufnehmen, in welcher Beziehung stünde sie zur $60$?

Ein Tierheim hat eine Spende von $48$ Dosen Katzenfutter erhalten. Die Dosen sollen in kleinen Kartons gelagert werden, sodass in allen Kartons gleich viele Dosen sind und keine übrig bleibt.

1. a) Schreibe alle Teiler von $48$ auf.
2. b) Der Verantwortliche möchte, dass in jedem Karton mehr als $5$, aber weniger als $15$ Dosen sind. Welche Verpackungsmöglichkeiten gibt es? Gib jeweils die Anzahl der Dosen pro Karton und die Anzahl der benötigten Kartons an.

Im Kunstunterricht gestalten wir Muster mit quadratischen Plättchen. Für ein „Superquadrat“ muss die Gesamtzahl der Plättchen eine Quadratzahl sein.

1. a) Wir haben eine Dose mit $80$ Plättchen. Wie viele Plättchen bleiben übrig, wenn wir das größtmögliche Quadrat legen wollen?

1. b) Wie viele Plättchen fehlen mindestens, um das nächstgrößere Quadrat legen zu können?

Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und gib jeweils ein Beispiel oder ein Gegenbeispiel an:

1. a) Wenn eine Zahl ein Teiler von $10$ ist, dann ist sie auch ein Teiler aller Vielfachen von $10$ (wie $20, 30, 40...$).
2. b) Die Menge der Teiler einer Zahl ist unendlich.
3. c) Wenn eine Zahl $a$ ein Vielfaches von $b$ ist, dann ist $b$ ein Teiler von $a$.
4. d) Jede natürliche Zahl ist mindestens durch sich selbst und durch 1 teilbar.

Bestimme in jeder der folgenden Zahlen den Wert der fehlenden Ziffer, die durch den Buchstaben $A$ dargestellt wird, sodass die angegebene Bedingung erfüllt ist:

1. a) $24A$ ist sowohl durch $4$ als auch durch $3$ teilbar.
2. b) $51A$ ist durch $11$ teilbar.
3. c) $A72$ ist durch $9$, aber nicht durch $10$ teilbar.

Ein Konditor hat ein Blech Kekse gebacken. Er weiß, dass es mehr als $70$, aber weniger als $85$ Kekse sind. Verteilt er sie auf Schachteln mit je $6$ Stück, bleibt kein Keks übrig. Verteilt er sie auf Schachteln mit je $9$ Stück, bleibt ebenfalls keiner übrig.

1. a) Wie viele Kekse hat er genau gebacken?
2. b) Begründe deine Antwort mithilfe der Teilbarkeitsregeln für $2$ und $3$ und erkläre, warum die Zahl durch $6$ teilbar ist.

Wende die Teilbarkeitsregel für $11$ an, um zu bestimmen, welche der folgenden Zahlen Vielfache von $11$ sind. Gib bei den Zahlen, die es nicht sind, an, was du addieren müsstest, damit sie es werden:

1. a) $1.232$
2. b) $5.049$
3. c) $8.175$

Die Fachschaft Sport einer Schule organisiert einen Wandertag für die $198$ Schülerinnen und Schüler der Klasse 7. Sie sollen in gleich große Gruppen mit mindestens $10$ und höchstens $25$ Personen eingeteilt werden, sodass niemand ohne Gruppe bleibt und alle Gruppen genau gleich groß sind.

1. a) Schätze: Runde $198$ auf $200$, bevor du nach Teilern suchst, und berechne im Kopf ungefähr, wie viele Gruppen es bei Gruppen mit $10$, $15$ oder $20$ Personen gäbe. Begründe anhand dieser Schätzung und mithilfe der Teilbarkeitsregeln, warum es unmöglich ist, dass die Gruppen genau $10$ oder $20$ Personen groß sind.
2. b) Berechne: Untersuche mithilfe der Teilbarkeitsregeln (für $2$, $3$, $5$, $9$ und $11$) und der daraus folgenden Primfaktorzerlegung von $198$, welche Zahlen zwischen $10$ und $25$ Teiler von $198$ sind. Leite alle möglichen Arten ab, die Aktion zu organisieren (gib an, wie viele Gruppen entstehen und wie viele Personen in jeder Gruppe sind).
3. c) Überprüfe: Denke über deine Ergebnisse nach: Warum ist es nicht möglich, Gruppen mit $15$ Personen zu bilden, obwohl $198$ durch $3$ teilbar ist?

Eine Genossenschaftsmühle in Jaén füllt eine Sondercharge von $2\text{.}772\text{ Liter}$ natives Olivenöl extra ab. Die gesamte Charge soll in gleichen Kanistern mit ganzzahligem Fassungsvermögen (ohne Dezimalstellen) verkauft werden, ohne dass Öl übrig bleibt oder fehlt. Die Genossenschaft hat handelsübliche Standardbehälter mit folgendem Fassungsvermögen: $2\text{ L}$, $3\text{ L}$, $4\text{ L}$, $5\text{ L}$, $9\text{ L}$, $10\text{ L}$ und $11\text{ L}$.

1. a) Wende die Teilbarkeitsregeln ausführlich an, um zu bestimmen, welche dieser Behälter verwendet werden können, um genau die $2\text{.}772\text{ Liter}$ abzufüllen, ohne schriftlich zu dividieren.
2. b) Wenn die Genossenschaft, um Behälter zu sparen, die größtmöglichen Kanister unter den geeigneten der obigen Liste verwenden will, welche muss sie wählen? Wie viele Kanister füllt sie insgesamt?
3. c) Ein Händler möchte einen Teil der Charge in Kanister zu $6\text{ Liter}$ abfüllen lassen. Begründe, ohne die Division $2\text{.}772 : 6$ durchzuführen, anhand der in Teilaufgabe a) überprüften Teilbarkeitseigenschaften, ob das möglich ist.

Eine Eventagentur möchte ein Konzert in einem rechteckigen Saal veranstalten. Sie hat insgesamt $150$ Stühle gekauft. Der Veranstalter möchte sie so aufstellen, dass alle Reihen gleich viele Stühle haben, allerdings mit folgenden Einschränkungen:

• Es muss mehr als $5$ Reihen geben.

• In jeder Reihe müssen mehr als $10$ Stühle stehen.

• Die Anzahl der Stühle pro Reihe muss ein Teiler von $450$ sein, darf aber kein Vielfaches von $4$ sein.

Bestimme alle möglichen Anordnungen der Stühle (Reihen und Stühle pro Reihe), die diese Bedingungen erfüllen.

Betrachte eine natürliche Zahl $n$, die die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt:

1. $n$ ist ein gemeinsames Vielfaches von $12$ und $15$.

2. $n$ ist ein Teiler von $360$.

Schreibe alle möglichen Werte von $n$ auf. Gib für jeden gefundenen Wert den kleinsten Teiler (außer $1$) und das kleinste Vielfache von $n$ an, das größer als $1\,000$ ist.

Bestimme den Wert der unbekannten Ziffern $A$ und $B$ in der Zahl $5A1B$, wenn gilt:

• Die Zahl ist gleichzeitig durch $2$ und durch $3$ teilbar.

• Die Zahl ist ein Vielfaches von $11$.

• Die Ziffer $A$ ist ein Teiler von $16$ und die Ziffer $B$ ist ein Vielfaches von $4$ (ungleich null).

Begründe Schritt für Schritt, wie du Möglichkeiten ausschließt, bis du die richtige Zahl gefunden hast.

Ein Hacker hat einen Hinweis hinterlassen, um das Passwort eines Servers zu entschlüsseln. Das Passwort ist die kleinste vierstellige Zahl $2A3B$, die gleichzeitig diese drei Bedingungen erfüllt:

• Sie ist durch $2$ teilbar, aber nicht durch $4$.

• Sie ist durch $9$ teilbar.

• Sie ist durch $5$ teilbar.

Wie lautet das Passwort des Servers? Begründe deine Antwort, indem du die Teilbarkeitsregeln Schritt für Schritt anwendest.

Auf einer Videospielmesse liegt die Besucherzahl zwischen $700$ und $750$. Wenn wir wissen, dass diese Zahl gleichzeitig durch $3$, durch $11$ und durch $2$ teilbar ist, wie viele Personen haben dann genau die Messe besucht? Erkläre, wie du die anderen Möglichkeiten ausgeschlossen hast.

Suche alle möglichen Werte für die Ziffern $X$ und $Y$, sodass die fünfstellige Zahl $4X12Y$ gleichzeitig durch $4$ und durch $9$ teilbar ist. Beachte, dass es mehr als eine passende Kombination geben kann.

Eine dreistellige Palindromzahl ist eine Zahl, die man von links nach rechts genauso liest wie von rechts nach links (zum Beispiel $525$). Bestimme eine dreistellige Palindromzahl, die durch $11$ teilbar ist und deren Quersumme ein Vielfaches von $3$ ist. Ist das die einzige mögliche Lösung?

Bestimme ohne schriftliche Division, ob die Zahl $N = 10^5 + 8$ durch $2, 3, 4, 9$ und $11$ teilbar ist. Begründe jede Antwort, indem du die entsprechende Eigenschaft bzw. Teilbarkeitsregel nennst. (Tipp: Schreibe die Zahl zuerst mit allen Ziffern auf.)

Um zu prüfen, ob die Zahl $43\text{.}956$ durch $4$, durch $9$ und durch $11$ teilbar ist, schlagen drei Schülerinnen aus Klasse 7 verschiedene Wege vor:

• Beate (Methode 1 – schriftliche Division): Sie möchte lieber die drei Divisionen mit Stift und Papier durchführen ($43\text{.}956 : 4$, $43\text{.}956 : 9$ und $43\text{.}956 : 11$) und prüfen, ob der Rest $0$ ist.

• Clara (Methode 2 – Teilbarkeitsregeln): Sie wendet die Regeln aus dem Unterricht an: Sie betrachtet die letzten beiden Ziffern für die $4$, addiert die Ziffern für die $9$ und bildet für die $11$ die Differenz aus der Summe der Ziffern an ungeraden und an geraden Stellen.

• Diana (Methode 3 – geschickte Zerlegung): Sie bemerkt, dass $43\text{.}956 = 44\text{.}000 - 44$. Da $44\text{.}000$ und $44$ offensichtlich Vielfache von $4$ und von $11$ sind, schließt sie, dass auch ihre Differenz eines sein muss.

Deine Aufgabe:

1. a) Wende Claras Methode Schritt für Schritt an, um die Teilbarkeit von $43\text{.}956$ durch $4$, $9$ und $11$ zu überprüfen.
2. b) Führe Dianas Methode aus, um die Teilbarkeit durch $4$ und durch $11$ zu untersuchen. Versuche anschließend, mit ihrer Zerlegung zu entscheiden, ob die Zahl durch $9$ teilbar ist: Sind $44\text{.}000$ oder $44$ Vielfache von $9$? Was passiert in diesem Fall?
3. c) Vergleiche die drei Methoden: Welche ist für diese konkrete Zahl die schnellste? Wenn du die Zahl $43\text{.}951$ untersuchen müsstest, wäre Dianas Methode gegenüber Claras dann immer noch vorteilhaft? Begründe, welche du als allgemeine Regel wählen würdest.

Eine deutsche Bank erzeugt vierstellige Sicherheitscodes der Form $C = A\text{.}32B$ (dabei steht $A$ für die Tausenderziffer und $B$ für die Einerziffer). Damit das System den Code akzeptiert, müssen gleichzeitig drei Bedingungen erfüllt sein:

1. Die Zahl ist sowohl durch $4$ als auch durch $5$ teilbar.

2. Die Zahl ist durch $11$ teilbar.

3. Die Zahl ist durch $3$ teilbar, aber nicht durch $9$.

1. a) Leite mithilfe der Teilbarkeitsregeln Schritt für Schritt den Wert her, den die Ziffer $B$ annehmen muss. Zeige anschließend, dass es für die Ziffer $A$ nur einen möglichen Wert gibt. Wie lautet der endgültige Code $C$?
2. b) Der Informatiker der Bank behauptet: „Jede vierstellige Zahl, die auf dieselben beiden Ziffern endet wie $C$, ist durch $4$ teilbar, egal welche Ziffern wir bei den Tausendern und Hundertern einsetzen.“ Begründe mithilfe der Erklärung aus deinem Heft zur Zahl $100$ ($100 = 4 \cdot 25$), ob diese Aussage wahr oder falsch ist.
3. c) Begründe ohne schriftliche Division mithilfe der Eigenschaften von Vielfachen und Teilern, ob der erhaltene Code $C$ durch $33$ und ob er durch $60$ teilbar ist.