Aufgaben: Näherungswerte und Runden

In einem Videospielladen kostet ein Poster $7,82$ €. Du hast nur Ein-Euro-Münzen dabei und willst ungefähr wissen, wie viele volle Euro es kostet:

Auf dem Zahlenstrahl der Abbildung sind die beiden langen Striche zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen (die mit „?“ markierten) und jeder kleine Strich ist ein Zehntel.

1. a) Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt der Preis?
2. b) Welcher der beiden Zahlen liegt er näher? Runde auf Einer.

Für ein Experiment im Naturwissenschaftsunterricht müssen wir genau $4,576$ Gramm Salz abmessen. Vervollständige die folgende Tabelle mit den beiden verlangten Näherungsverfahren:

Näherung auf Hundertstel	Ergebnis
Abschneiden
Runden

Ein 100-m-Läufer hat auf der Stoppuhr eine Zeit von $12,45$ Sekunden erzielt. Wir wollen diese Zeit mit nur einer Nachkommastelle angeben:

1. a) Runde auf Zehntel.
2. b) Wurde auf- oder abgerundet? Erkläre, warum du dir die Hundertstelstelle angesehen hast.

Auf dem Zahlenstrahl ist die Zeit des Läufers mit einem Punkt zwischen $12,4$ und $12,5$ markiert, und jeder kleine Strich steht für $0,01$ s.

Betrachte die folgenden Dezimalzahlen und runde sie auf Zehntel:

1. a) $3,14$
2. b) $9,68$
3. c) $0,45$
4. d) $1,03$

Die Download-Geschwindigkeit einer Internetverbindung beträgt $92,578$ Mbit/s. Der Techniker sagt uns, dass wir die Zahl zur Vereinfachung auf Hundertstel abschneiden können.

1. a) Welchen Wert erhalten wir?
2. b) Zeichne einen kleinen Zahlenstrahl und markiere den ursprünglichen und den abgeschnittenen Wert.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Im Supermarkt runden die Obstwaagen das Gewicht oft. Wir kaufen einen Beutel Orangen mit $2,341$ kg. Gib an, welches Gewicht angezeigt würde, wenn die Waage

1. a) auf Einer rundet.
2. b) auf Hundertstel rundet.

Nähere die Zahl $\pi \approx 3,141592...$ auf folgende Weisen an:

1. a) Durch Runden auf Tausendstel.
2. b) Durch Abschneiden auf Tausendstel.
3. c) In welchem Fall ist das Ergebnis größer?

Stell dir vor, du bezahlst einen Einkauf von $14,23$ € mit einem $20$-€-Schein. Der Kassierer hat keine kleinen Cent-Münzen und schlägt vor, den Preis auf den nächsten Zehntel-Euro zu runden (also auf ein Vielfaches von $10$ Cent, mit nur einer Nachkommastelle).

1. a) Wie lautet der neue, gerundete Preis?
2. b) Wie viel Geld bekommst du nach dem Runden zurück?

Leon soll in einer Klassenaufgabe die Zahl $6,378$ auf Hundertstel runden. In sein Heft schreibt er: „$6,378 \approx 6,37$, weil die $8$ an der Tausendstelstelle nicht bis zehn reicht, also ändert sich die vorherige Ziffer nicht."

1. a) Erkläre, welchen Denkfehler Leon macht und welches Näherungsverfahren er in Wirklichkeit unbemerkt angewendet hat.
2. b) Runde richtig auf Hundertstel und erkläre mithilfe des Abstands zwischen Dezimalzahlen, warum dein Ergebnis näher an der ursprünglichen Zahl liegt als der Wert, den Leon geschrieben hat.

In einem Schreibwarenladen im Viertel möchte Sarah ein Heft für $2,85$ €, eine Packung Filzstifte für $4,15$ € und einen Ordner für $1,90$ € kaufen. Im Portemonnaie hat sie eine $5$-€-Münze und zwei $2$-€-Münzen.

1. a) Schätze vor der genauen Rechnung die Gesamtkosten, indem du den Preis jedes Artikels auf den nächsten ganzen Euro rundest. Hat sie nach deiner Schätzung genug Geld, um den Einkauf zu bezahlen?
2. b) Berechne die genauen Kosten des Einkaufs, indem du die drei Preise addierst.
3. c) Prüfe, ob deine Schätzung zutreffend war, indem du die Differenz zwischen dem genauen und dem geschätzten Preis berechnest. Findest du, dass die Schätzung für eine schnelle Entscheidung vor dem Gang zur Kasse nützlich war? Begründe deine Antwort.

Übertrage die folgende Tabelle in dein Heft und vervollständige sie, indem du die angegebenen Näherungen für die Dezimalzahl $n = 14,3728$ durchführst.

Näherung auf …	Abschneiden	Runden
Zehntel
Hundertstel
Tausendstel

Betrachte den folgenden Zahlenstrahl, auf dem eine Dezimalzahl $x$ mit einer Lupe dargestellt ist.

Der orangefarbene Punkt stellt die Zahl $x = 3,774$ dar:

1. a) Zwischen welchen zwei Hundertsteln liegt die Zahl $x$?
2. b) Wenn du $x$ durch Runden auf Zehntel nähern solltest, welchen Wert würdest du wählen? Begründe deine Antwort, indem du die Lage des Punktes auf dem Zahlenstrahl im Verhältnis zum Mittelpunkt ($3,75$) betrachtest.

In einem Shop für Videospiel-Apps beträgt der Preis eines neuen Texturenpakets $12,957 €$.

1. a) Wenn der Shop beschließt, den Preis für die Katalogansicht auf Hundertstel abzuschneiden, welcher Preis wird angezeigt?
2. b) Wenn das Zahlungssystem beim endgültigen Bezahlen auf Hundertstel (Cent) rundet, wie viel zahlt der Nutzer tatsächlich?
3. c) Welcher Geldunterschied besteht zwischen dem abgeschnittenen und dem gerundeten Preis?

Drei Läufer haben an einem 60-Meter-Lauf in der Schule teilgenommen. Die von der Stoppuhr gemessenen Zeiten waren:

• Lea: $8,429$ Sekunden.

• Markus: $8,421$ Sekunden.

• Adrian: $8,425$ Sekunden.

1. a) Wenn die Ergebnisse auf der Website der Schule auf Hundertstel gerundet veröffentlicht werden, welche Zeit erscheint für jeden?
2. b) Sieht es bei den gerundeten Ergebnissen so aus, als hätten alle gleich lang gebraucht? Stimmt das nach den ursprünglichen Zeiten?

Ein Mathelehrer berechnet die durchschnittliche Punktzahl einer Klassenarbeit (maximal 10 Punkte) und erhält $6,4782$ Punkte.

1. a) Nähere die Punktzahl durch Abschneiden auf Zehntel.
2. b) Nähere die Punktzahl durch Runden auf Zehntel.
3. c) Welche der beiden Näherungen begünstigt den Schüler mehr? Warum wird deiner Meinung nach bei Bewertungen meist gerundet statt abgeschnitten?

Wir wollen einen Schutzzaun um einen kleinen rechteckigen Garten aufstellen. Beim Messen mit einem digitalen Maßband erhalten wir für die Seiten $4,56$ Meter und $3,27$ Meter.

1. a) Berechne den Umfang des Gartens.
2. b) Der Gartenbesitzer kauft den Zaun in einem Baumarkt, der nur ganze Meter verkauft, und rundet immer auf (Näherung nach oben auf ganze Einheiten), damit sicher nichts fehlt. Wie viele Meter Zaun kauft er?

Denke nach und löse dieses Rätsel über Dezimalzahlen:

„Ich bin eine Zahl mit drei Nachkommastellen. Wenn du mich auf Hundertstel abschneidest, bin ich $7,42$. Wenn du mich aber auf Hundertstel rundest, bin ich $7,43$.“

Schreibe drei verschiedene Zahlen auf, die diese Bedingungen erfüllen. Welches ist die kleinste mögliche Zahl? Und welches die größte?

Eine Präzisionswaage zeigt, dass eine Tüte Äpfel $2,345$ kg wiegt.

1. a) Gib das Gewicht in Gramm an (denke daran, dass $1$ kg = $1.000$ g).
2. b) Wenn der Händler sagt, das Gewicht betrage ungefähr $2,3$ kg, welche Art von Näherung hat er vorgenommen?
3. c) Berechne den Fehler der Näherung des Händlers (die Differenz zwischen dem tatsächlichen und dem genäherten Gewicht). Gib das Ergebnis in Kilogramm und in Gramm an.

Der Leichtathletikverein einer Gemeinde im Münsterland will eine durchgehende weiße Linie rund um seine Trainingsbahn aufmalen. Die gesamte Länge, die gestrichen werden muss, beträgt genau $345\text{ m}$. Laut Herstellerangaben kann man mit $1\text{ Liter}$ Spezialfarbe $25\text{ m}$ Linie streichen. Im örtlichen Baumarkt wird die Farbe ausschließlich in verschlossenen Eimern zu $1\text{ Liter}$ verkauft (Bruchteile eines Eimers werden nicht verkauft).

1. a) Führe die Division mit zwei Nachkommastellen durch, um zu erfahren, wie viele Liter Farbe theoretisch genau benötigt werden.
2. b) Wenn du die übliche Rundungsregel auf ganze Einheiten auf dieses Ergebnis anwendest, wie viele Eimer würdest du kaufen? Könntest du mit dieser Menge die ganze Bahn streichen, oder würde Farbe fehlen? Überprüfe das, indem du berechnest, wie viele Meter du mit diesen Eimern streichen könntest.
3. c) Begründe, welche Art von bewusster Näherung bei dieser Materialeinkaufsaufgabe angewendet werden muss und wie viele Eimer schließlich gekauft werden müssen, damit die Arbeit vollständig erledigt werden kann.

Wir suchen eine geheimnisvolle Dezimalzahl $N$ mit drei Nachkommastellen. Um sie zu finden, haben wir vier Hinweise:

1. Ihr ganzzahliger Teil ist die Zahl $7$.

2. Wenn wir $N$ auf Zehntel abschneiden, erhalten wir $7,4$.

3. Wenn wir $N$ auf Hundertstel runden, erhalten wir $7,46$.

4. Ihre Tausendstelziffer ist eine ungerade Zahl größer als $3$.

1. a) Finde alle möglichen Dezimalzahlen, die diese vier Bedingungen gleichzeitig erfüllen.
2. b) Nimm die kleinste der gefundenen Zahlen und schneide sie auf Hundertstel ab. Stimmt dieses Abschneiden mit dem Runden auf Hundertstel aus Hinweis 3 überein? Erkläre, warum diese Übereinstimmung zustande kommt oder nicht.

Wir untersuchen eine „geheimnisvolle“ Dezimalzahl, die wir $N$ nennen und die drei Nachkommastellen hat. Wir kennen die folgenden Hinweise:

1. Ihr ganzzahliger Teil ist die erste zweistellige Primzahl.

2. Wenn wir sie auf Hundertstel runden, erhalten wir $11,38$.

3. Wenn wir sie auf Zehntel abschneiden, erhalten wir $11,3$.

4. Die Summe ihrer drei Nachkommastellen ist $19$.

Um welche Zahl handelt es sich? Begründe deine Antwort, indem du die Möglichkeiten ausschließt, die die Bedingungen nicht erfüllen.

An einer Billigtankstelle kostet der Liter Super E5 $1,419$ €. Eine Gruppe von Freunden tankt für eine Reise ihren Transporter mit $52,6$ Litern voll.

Die Kasse der Tankstelle ist so programmiert, dass sie den Gesamtbetrag berechnet und dann das Endergebnis auf Cent (zwei Nachkommastellen) rundet. Einer der Freunde besteht jedoch darauf, dass man zuerst den Literpreis auf Cent abschneiden und dann mit den Litern multiplizieren müsse.

Berechne den Preisunterschied zwischen beiden Verfahren. Welches der beiden begünstigt den Kunden und welches die Tankstelle?

In einem Biologielabor wird das Wachstum eines Bakteriums gemessen. Die aktuelle Länge beträgt $0,03478$ Millimeter.

• Wissenschaftler A entscheidet sich für einen Näherungswert durch Runden auf Tausendstel.

• Wissenschaftler B bevorzugt einen Näherungswert durch Abschneiden auf Zehntausendstel.

Gib an, welcher der beiden Werte größer ist, und berechne die genaue Differenz zwischen beiden Näherungswerten. Welcher der beiden ist deiner Meinung nach „näher“ am wahren Wert des Bakteriums?

Finde eine Dezimalzahl, die gleichzeitig diese drei „Grenzbedingungen“ erfüllt:

• Sie ist größer als $7,45$ und kleiner als $7,46$.

• Wenn man sie auf Tausendstel rundet, ist das Ergebnis $7,458$.

• Die Summe ihrer vier Nachkommastellen ist gleich $25$.

Ist diese Zahl eindeutig oder gibt es mehrere Möglichkeiten? Begründe deine Antwort.

Eine Gruppe der Klasse 7 konstruiert ein Teil für einen 3D-Drucker. Die Software gibt ihnen für die Dicke einer Passung das Maß $12,666...$ (periodisch) Millimeter an. Der Drucker hat drei Genauigkeitsmodi:

• Eco-Modus: Schneidet auf Zehntel ab.

• Standard-Modus: Rundet auf Hundertstel.

• Pro-Modus: Rundet auf Tausendstel.

Berechne den Wert, den der Drucker in jedem Modus verwenden würde. Wenn die Aussparung, in die das Teil passen soll, genau $12,67$ mm misst, in welchen Modi passt das Teil hinein und in welchen nicht? (Beachte: Damit es hineinpasst, muss das Teil kleiner oder gleich der Aussparung sein.)

Betrachte den folgenden Zahlenstrahl, auf dem zwei Näherungswerte der Zahl $X$ dargestellt sind.

Das Abschneiden auf Hundertstel ergibt $3,14$ und das Runden auf Hundertstel ergibt $3,15$. Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und begründe jede:

• a) Die Tausendstelziffer von $X$ muss größer oder gleich $5$ sein.

• b) Die Zahl $X$ könnte $3,1449$ sein.

• c) Wenn wir $0,001$ zur Zahl $X$ addieren, ergibt das Abschneiden auf Hundertstel weiterhin $3,14$.

Ein Koch der modernen Küche muss drei Zutaten mit einer hochpräzisen Waage wiegen, die Tausendstelgramm anzeigt:

• Salz: $2,341$ g

• Pfeffer: $1,256$ g

• Safran: $0,897$ g

Der Koch möchte das Gesamtgewicht der Gewürzmischung wissen. Vergleiche diese beiden Vorgehensweisen:

1. Vorgehen 1: Die drei genauen Gewichte addieren und dann das Endergebnis auf Zehntel runden.

2. Vorgehen 2: Jede Zutat auf Zehntel runden und dann addieren.

Berechne beide Ergebnisse. Sind sie gleich? Erkläre, warum das Runden der einzelnen Werte zu einem größeren Fehler führen kann als das Runden am Ende der Rechnung.

Erfinde eine Alltagsaufgabe (Einkaufen, Sport, Wissenschaft …), in der gleichzeitig diese beiden Bedingungen erfüllt sind:

1. Es muss eine Zahl mit mindestens vier Nachkommastellen verwendet werden.

2. Der Unterschied zwischen dem Abschneiden dieser Zahl auf Hundertstel und dem Runden auf Hundertstel beträgt genau $0,01$.

Schreibe die vollständige Aufgabenstellung auf und erkläre, wie man sie mithilfe der Regeln für Näherungswerte lösen würde.

Eine kleine Obstgenossenschaft aus dem Alten Land bereitet den Versand von vier Obstbestellungen an einen Supermarkt vor. Das von der Präzisionswaage erfasste genaue Gewicht jeder Bestellung ist:

• Bestellung 1: $142,38\text{ kg}$

• Bestellung 2: $85,36\text{ kg}$

• Bestellung 3: $64,39\text{ kg}$

• Bestellung 4: $107,37\text{ kg}$

Für den Lieferschein schlagen zwei Mitarbeiterinnen vor, die Gewichte auf Zehntelkilogramm zu runden:

• Laras Methode: Zuerst jede einzelne Bestellung auf Zehntel runden und dann die vier gerundeten Werte addieren.

• Hannahs Methode: Zuerst die vier genauen Gewichte addieren und nur das Endergebnis auf Zehntel runden.

1. a) Berechne Schritt für Schritt das Gesamtergebnis, das man mit Laras Methode erhält, und das, das man mit Hannahs Methode erhält.
2. b) Berechne die genaue Summe ohne Näherung und bestimme den Fehler jeder Methode (die positive Differenz zwischen dem Ergebnis der Methode und dem exakten Wert).
3. c) Welche der beiden Methoden ist angesichts der Ergebnisse zuverlässiger? Begründe, warum Runden in jedem Zwischenschritt in der Regel einen größeren Fehler anhäuft als Runden nur am Ende.

An einer Wetterstation des Deutschen Wetterdienstes messen digitale Sensoren die Temperatur mit mehreren Nachkommastellen, doch auf der öffentlichen Anzeige an der Außentafel wird die Temperatur auf Zehntel gerundet angezeigt. An einem heißen Tag zeigt die Anzeige genau $38,4\text{ }^\circ\text{C}$.

1. a) Zwischen welchen zwei Werten liegt die vom Sensor gemessene tatsächliche Temperatur $T$, damit dieser Wert angezeigt wird? Schreibe deine Antwort als Ungleichung der Form $A \le T < B$ und verwende zwei Nachkommastellen für $A$ und für $B$.
2. b) Wie groß ist die größtmögliche Abweichung (der maximale Fehler) zwischen der Temperatur, die wir auf der Anzeige sehen ($38,4\text{ }^\circ\text{C}$), und der tatsächlichen Temperatur des Sensors?
3. c) Wenn die Außentafel so programmiert wäre, dass sie auf Zehntel abschneidet statt rundet, wie lautet dann das neue Intervall $C \le T < D$ der tatsächlichen Temperatur? Erkläre begründet, warum das Runden den maximalen Fehler gegenüber dem Abschneiden verringert und welche entscheidende Rolle die Ziffer $5$ bei diesem Vorteil spielt.

Themenprojekt. Wie viel kostet die Energie, die du zu Hause verbrauchst? Führe in einer Tabellenkalkulation ein kleines Energie-Audit in folgenden Phasen durch:

1. Datenerhebung: Rufe die Website der Bundesnetzagentur (SMARD, smard.de) auf und notiere den Strompreis ($€/kWh$) von gestern zu 3 verschiedenen Zeiten: nachts, mittags und abends.

2. Näherung und Berechnung: Die offiziellen Preise haben bis zu fünf Nachkommastellen (zum Beispiel $0,14823$ €). Runde jeden auf Hundertstel (Cent). Berechne anschließend die Kosten für den Betrieb eines Backofens mit $2$ kW für $1,25$ Stunden in jedem Zeitfenster, indem du Leistung, Zeit und gerundeten Preis multiplizierst.

3. Aufteilung und Bruchdarstellung: Addiere die drei Kosten und teile den Gesamtbetrag durch $3$ Personen im Haushalt. Bestimme, welche Art von Dezimalzahl herauskommt (endlich, rein- oder gemischtperiodisch), und gib ihre vollständig gekürzte Bruchdarstellung an, um den genauen Anteil ohne Rundungsfehler auszudrücken.

4. Vorschlag: Erstelle für deine Familie einen kurzen, begründeten Vorschlag mit einer Vergleichstabelle, der die günstigste Tageszeit zum Kochen empfiehlt und die wöchentliche Ersparnis berechnet.

Bewertet werden:

• Beschaffung realer Daten und Genauigkeit beim Runden auf Hundertstel.

• Korrektheit bei gemischten Rechnungen mit Dezimalzahlen.

• Bestimmung der Art der Dezimalzahl und genaue Berechnung der Bruchdarstellung.

• Klare und schlüssige wirtschaftliche Begründung im abschließenden Vorschlag.