Aufgaben: Interpretation von x-t- und v-t-Diagrammen

In einem Ort-Zeit-Diagramm (x-t) verläuft die Linie eines Körpers für $10\ \text{s}$ waagerecht, wie in der Abbildung gezeigt.

Was macht der Körper in dieser Zeit? Begründe deine Antwort.

In demselben x-t-Diagramm erscheinen Anna und Lukas als zwei Geraden, wobei die von Anna steiler ansteigt als die von Lukas, wie in der Abbildung gezeigt.

Wer ist schneller? Welche Größe liefert die Steigung eines x-t-Diagramms?

Das x-t-Diagramm eines Spaziergängers ist eine Gerade durch die Punkte $(0\ \text{s}\,|\,0\ \text{m})$ und $(10\ \text{s}\,|\,50\ \text{m})$, wie in der Abbildung gezeigt.

Berechne seine Geschwindigkeit.

Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm (v-t) eines Flugzeugs im Reiseflug ist eine waagerechte Linie bei $v = 250\ \text{m/s}$ für $10\ \text{s}$, wie in der Abbildung gezeigt.

Welche Art von Bewegung führt es in diesem Abschnitt aus? Welche Strecke legt es in diesen $10\ \text{s}$ zurück?

Ordne jede Beschreibung eines x-t-Diagramms der passenden Bewegung zu und begründe deine Zuordnung:

1. a) Eine waagerechte Gerade.
2. b) Eine ansteigende, schräge Gerade.
3. c) Eine Kurve, die immer steiler wird.

Bewegungen: steht still; bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit; bewegt sich immer schneller.

Das v-t-Diagramm eines Motorrads ist eine Gerade durch die Punkte $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ und $(4\ \text{s},\ 12\ \text{m/s})$, wie in der Abbildung gezeigt.

Berechne seine Beschleunigung.

Das x-t-Diagramm eines Skaters hat zwei geradlinige Abschnitte: Der erste geht von $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ nach $(10\ \text{s},\ 100\ \text{m})$, der zweite von $(10\ \text{s},\ 100\ \text{m})$ nach $(30\ \text{s},\ 200\ \text{m})$, wie in der Abbildung gezeigt.

Berechne seine Geschwindigkeit in jedem Abschnitt und gib an, in welchem er schneller ist.

Welche Information liefert die Steigung eines Ort-Zeit-Diagramms? Und die eines Geschwindigkeit-Zeit-Diagramms? Antworte mit eigenen Worten und gib für jedes ein Zahlenbeispiel.

Das x-t-Diagramm einer Radtour hat drei geradlinige Abschnitte, wie in der Abbildung gezeigt: von $(0\ \text{min},\ 0\ \text{km})$ nach $(20\ \text{min},\ 10\ \text{km})$; waagerecht von dort bis $t = 30\ \text{min}$; und von $(30\ \text{min},\ 10\ \text{km})$ nach $(60\ \text{min},\ 16\ \text{km})$.

1. a) Berechne die Geschwindigkeit in jedem Abschnitt in $\text{km/min}$.
2. b) Was passiert im mittleren Abschnitt? Was haben die Radfahrer in dieser Zeit vermutlich gemacht?

Das v-t-Diagramm eines Autos hat drei Abschnitte, wie in der Abbildung gezeigt: von $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$ nach $(10\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$; waagerecht bei $20\ \text{m/s}$ bis $t = 30\ \text{s}$; und von $(30\ \text{s},\ 20\ \text{m/s})$ nach $(35\ \text{s},\ 0\ \text{m/s})$.

1. a) Berechne die Beschleunigung in jedem Abschnitt.
2. b) Beschreibe mit Worten, was das Auto auf der gesamten Fahrt macht.

In demselben x-t-Diagramm beginnt die Gerade von Carla bei $(0\ \text{s},\ 30\ \text{m})$ und geht durch $(10\ \text{s},\ 60\ \text{m})$, die von Daniel beginnt bei $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ und geht durch $(10\ \text{s},\ 60\ \text{m})$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechne die Geschwindigkeit von beiden.
2. b) Wer startet weiter vorn? Wer läuft schneller?
3. c) Treffen sie sich irgendwann? Woran erkennt man das im Diagramm?

In einem x-t-Diagramm geht die Gerade eines Zuges durch $(0\ \text{s},\ 0\ \text{m})$ und $(20\ \text{s},\ 400\ \text{m})$, die eines anderen, entgegenkommenden Zuges durch $(0\ \text{s},\ 800\ \text{m})$ und $(40\ \text{s},\ 0\ \text{m})$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechne die Geschwindigkeit jedes Zuges mit Vorzeichen.
2. b) Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt: Erkläre, was dieser Punkt bedeutet.
3. c) Berechne, zu welchem Zeitpunkt und an welchem Ort sich die Züge begegnen.

Das v-t-Diagramm einer Straßenbahn ist waagerecht bei $10\ \text{m/s}$ zwischen $t = 0\ \text{s}$ und $t = 20\ \text{s}$ sowie waagerecht bei $5\ \text{m/s}$ zwischen $t = 20\ \text{s}$ und $t = 40\ \text{s}$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Welche Strecke legt sie im ersten Abschnitt zurück? Und im zweiten?
2. b) Welche Gesamtstrecke legt sie in den $40\ \text{s}$ zurück?
3. c) Wie groß ist ihre Durchschnittsgeschwindigkeit auf der gesamten Strecke?

Das x-t-Diagramm eines anfahrenden Autos ist eine Kurve, die zunächst flach beginnt und immer steiler wird, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Nimmt seine Geschwindigkeit zu, ab oder bleibt sie gleich? Begründe anhand der Veränderung der Steigung.
2. b) Wie würde die Kurve aussehen, wenn das Auto stattdessen bis zum Stillstand abbremsen würde? Beschreibe sie mit Worten.

Das v-t-Diagramm eines Radfahrers ist eine Gerade von $(0\ \text{s}\ |\ 12\ \text{m/s})$ nach $(6\ \text{s}\ |\ 0\ \text{m/s})$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechne seine Beschleunigung.
2. b) Was bedeutet das Vorzeichen dieser Beschleunigung?
3. c) Was würde es bedeuten, wenn die Gerade unterhalb der Achse mit negativen Geschwindigkeiten weiterliefe?

Ein Auto steht an einer Ampel; wenn sie grün wird, fährt es an und wird gleichmäßig schneller, fährt eine Weile mit konstanter Geschwindigkeit und bremst am Ende bis zum Stillstand ab. Welche dieser Beschreibungen von v-t-Diagrammen passt zum Auto? Begründe deine Wahl und erkläre, warum die anderen nicht passen:

1. a) Eine waagerechte Gerade oberhalb von null für die gesamte Zeit.
2. b) Von null ausgehend: eine ansteigende Gerade, dann ein waagerechter Abschnitt und danach eine bis null abfallende Gerade.
3. c) Eine Gerade, die von einem hohen Wert bis null abfällt und dann bei null bleibt.

Das x-t-Diagramm der Fahrt eines Schulbusses hat diese geradlinigen Abschnitte, wie in der Abbildung gezeigt: von $(0\ \text{min} \mid 0\ \text{km})$ nach $(10\ \text{min} \mid 6\ \text{km})$; waagerecht bis $t = 15\ \text{min}$, während er einige Schüler abholt; von $(15\ \text{min} \mid 6\ \text{km})$ nach $(35\ \text{min} \mid 16\ \text{km})$; und schließlich von $(35\ \text{min} \mid 16\ \text{km})$ nach $(55\ \text{min} \mid 0\ \text{km})$.

1. a) Berechne die Geschwindigkeit in jedem Abschnitt in $\text{km/min}$.
2. b) Was bedeutet der letzte Abschnitt mit negativer Steigung?
3. c) In welchem Abschnitt fährt der Bus am schnellsten? Begründe durch Vergleich der Steigungen.

Das v-t-Diagramm eines Autos hat diese Abschnitte, wie in der Abbildung gezeigt: Es steigt geradlinig von $(0\ \text{s}\ |\ 0\ \text{m/s})$ auf $(5\ \text{s}\ |\ 10\ \text{m/s})$; bleibt bei $10\ \text{m/s}$ bis $t = 25\ \text{s}$; und fällt geradlinig bis $(35\ \text{s}\ |\ 0\ \text{m/s})$.

1. a) Berechne die Beschleunigung in jedem Abschnitt.
2. b) Berechne die im Abschnitt mit konstanter Geschwindigkeit zurückgelegte Strecke.
3. c) In den Abschnitten mit Beschleunigung entspricht die Strecke dem Flächeninhalt des Dreiecks unter dem Graphen. Berechne mit dieser Idee die Strecke des ersten und des dritten Abschnitts und bestimme die gesamte Strecke.

In einem x-t-Diagramm geht die Gerade eines Radfahrers durch $(0\ \text{s}\,|\,0\ \text{m})$ und $(30\ \text{s}\,|\,300\ \text{m})$, die eines Fußgängers, der in Gegenrichtung unterwegs ist, durch $(0\ \text{s}\,|\,500\ \text{m})$ und $(50\ \text{s}\,|\,0\ \text{m})$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechne die Geschwindigkeit von beiden mit Vorzeichen.
2. b) Stelle für beide die Ortsgleichung auf.
3. c) Der Schnittpunkt der Geraden ist der Treffpunkt: Berechne, wann und wo er stattfindet.
4. d) Überprüfe das Ergebnis durch Einsetzen in beide Gleichungen.

Eine Mitschülerin zeichnet das x-t-Diagramm eines Läufers mit diesen zwei Abschnitten, wie in der Abbildung gezeigt: zuerst eine Gerade von $(0\ \text{s}\ |\ 0\ \text{m})$ nach $(10\ \text{s}\ |\ 40\ \text{m})$ und dann eine Gerade von $(10\ \text{s}\ |\ 40\ \text{m})$ nach $(5\ \text{s}\ |\ 20\ \text{m})$.

1. a) Berechne die Geschwindigkeit im ersten Abschnitt.
2. b) Erkläre, warum der zweite Abschnitt in der Realität unmöglich ist: Achte darauf, wie die Zeit voranschreitet.
3. c) Wie müsste ein Abschnitt aussehen, in dem der Läufer tatsächlich zum Startpunkt zurückläuft? Beschreibe ihn und gib ein Zahlenbeispiel.

Du kannst es auf Papier lösen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Zwei Autos fahren gleichzeitig an einer Ampel los. Das v-t-Diagramm von Auto A steigt geradlinig von $(0\ \text{s}\ |\ 0\ \text{m/s})$ auf $(10\ \text{s}\ |\ 20\ \text{m/s})$. Das von Auto B steigt von $(0\ \text{s}\ |\ 0\ \text{m/s})$ auf $(5\ \text{s}\ |\ 20\ \text{m/s})$ und bleibt dann bei $20\ \text{m/s}$ bis $t = 10\ \text{s}$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechne die Beschleunigung jedes Autos beim Anfahren.
2. b) Bestimme durch Berechnung der Flächen unter den Graphen die Strecke, die jedes Auto in diesen $10\ \text{s}$ zurücklegt.
3. c) Welches liegt nach $10\ \text{s}$ vorn? Begründe mit den Ergebnissen.

Das v-t-Diagramm eines aufwärtsfahrenden Aufzugs hat diese Abschnitte, wie in der Abbildung gezeigt: von $(0\ \text{s}\ |\ 0\ \text{m/s})$ nach $(2\ \text{s}\ |\ 4\ \text{m/s})$; waagerecht bei $4\ \text{m/s}$ bis $t = 8\ \text{s}$; und von $(8\ \text{s}\ |\ 4\ \text{m/s})$ nach $(10\ \text{s}\ |\ 0\ \text{m/s})$.

1. a) Berechne die Beschleunigung in jedem Abschnitt.
2. b) Berechne die Strecke jedes Abschnitts aus der Fläche unter dem Graphen sowie die Gesamthöhe, die der Aufzug hinauffährt.
3. c) Beschreibe mit Worten, wie das x-t-Diagramm dieses Aufzugs aussähe: In welchen Abschnitten wäre es eine Kurve und in welchen eine Gerade? Wie ändert sich seine Steigung? Begründe.

In einem x-t-Diagramm erscheint ein Radfahrer als Gerade von $(0\ \text{s} \mid 0\ \text{m})$ nach $(60\ \text{s} \mid 300\ \text{m})$. Ein Motorrad startet später, seine Gerade geht durch $(20\ \text{s} \mid 0\ \text{m})$ und $(40\ \text{s} \mid 300\ \text{m})$, wie in der Abbildung gezeigt.

1. a) Berechne die Geschwindigkeit von beiden.
2. b) Stelle ihre Ortsgleichungen auf (beachte, dass das Motorrad bei $t = 20\ \text{s}$ startet).
3. c) Zu welchem Zeitpunkt und an welchem Ort holt das Motorrad den Radfahrer ein?
4. d) Wer liegt bei $t = 25\ \text{s}$ vorn? Begründe mit den Rechnungen.

Das v-t-Diagramm eines $100\ \text{m}$-Finales zeigt zwei Athleten, wie in der Abbildung gezeigt: Vera steigt geradlinig von $(0\ \text{s} \mid 0\ \text{m/s})$ auf $(4\ \text{s} \mid 10\ \text{m/s})$ und hält dann $10\ \text{m/s}$ bis zum Ende; Hugo steigt von $(0\ \text{s} \mid 0\ \text{m/s})$ auf $(2\ \text{s} \mid 10\ \text{m/s})$ und hält ebenfalls $10\ \text{m/s}$.

1. a) Berechne die Anfangsbeschleunigung jedes Athleten.
2. b) Berechne die von jedem zurückgelegte Strecke nach $10\ \text{s}$ (Flächen unter dem Graphen).
3. c) Wenn beide diese Höchstgeschwindigkeit halten: Wer überquert die $100\ \text{m}$-Ziellinie zuerst und zu welchem Zeitpunkt? Begründe alle Rechnungen.

Themenchallenge. Werde zum Gutachter für Verkehrssicherheit, indem du die Bewegung eines Fahrzeugs analysierst!

1. Messwerte aufnehmen: Baue mit einem Stück Pappe oder einem Brett eine flache Rampe auf dem Boden mit einer Länge von $1,0\text{ m}$. Markiere mit Klebeband Abstände bei $0,25\text{ m}$, $0,50\text{ m}$, $0,75\text{ m}$ und $1,00\text{ m}$. Lass einen Ball oder ein Spielzeugauto aus der Ruhe los und stoppe mit deinem Handy die Zeit bis zu jeder Markierung ($t \pm 0,2\text{ s}$). Wiederhole die Messung für jede Markierung dreimal und trage die mittleren Zeiten in eine Tabelle ein.

2. Kinematische Auswertung: Ergänze deine Tabelle um die Berechnung der Geschwindigkeit in jedem Abschnitt und der Beschleunigung ($a = 2x/t^2$). Leite aus der Konstanz dieser Größen ab, ob die Abwärtsbewegung eher einer gleichförmigen oder einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung entspricht, und begründe deine Antwort.

3. Endprodukt: Erstelle einen kurzen Bericht mit der Messwerttabelle samt Messunsicherheiten, den maßstabsgetreuen Diagrammen $x-t$ und $v-t$ sowie einem Text, der den Verlauf der Linien und die physikalische Bedeutung ihrer Steigungen deutet.

Bewertet werden:

• Sorgfalt beim Experimentieren: Messwerterfassung, Berechnung der Mittelwerte und Angabe der Messunsicherheiten.

• Korrektes Zeichnen und Interpretieren der Diagramme $x-t$ und $v-t$.

• Schlüssige kinematische Begründung, ob es sich nach den ermittelten Werten für Geschwindigkeit und Beschleunigung um eine gleichförmige oder eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt.