Aufgaben: Spektren, Energieniveaus und Atommodelle

Die Energiewerte des Wasserstoffatoms werden durch $E_n = -\dfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}$ mit der Hauptquantenzahl $n = 1, 2, 3, \dots$ beschrieben.

1. a) Berechnen Sie die Energien $E_1$, $E_2$ und $E_3$ und zeichnen Sie ein Energieniveauschema mit diesen drei Niveaus.

1. b) Geben Sie an, welche Energie mindestens nötig ist, um ein Wasserstoffatom im Grundzustand zu ionisieren.

1. c) Berechnen Sie die Energie und die Wellenlänge des Photons, das beim Übergang von $n = 3$ nach $n = 2$ emittiert wird.

Natriumdampflampen wurden früher häufig als Straßenlaternen eingesetzt. Ihr Licht ist gelb. Im Spektrum fällt vor allem eine Linie der Wellenlänge $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ auf.

1. a) Erklären Sie, weshalb ein leuchtendes Gas wie Natriumdampf ein Linienspektrum und kein kontinuierliches Spektrum aussendet.

1. b) Berechnen Sie Frequenz und Energie der Photonen dieser Linie in $\mathrm{J}$ und in $\mathrm{eV}$.

1. c) Beschreiben Sie den Unterschied zwischen einem Emissionsspektrum und einem Absorptionsspektrum desselben Gases.

Joseph von Fraunhofer entdeckte im Sonnenspektrum dunkle Linien. Gustav Kirchhoff und Robert Bunsen erklärten sie später in Heidelberg mit der Spektralanalyse. Eine Spektraltafel gibt für einige Stoffe die Wellenlängen ihrer Linien an:

Stoff	Wellenlängen in nm
Wasserstoff	486,1; 656,3
Natrium	589,0
Calcium	393,4
Eisen	527,0
Sauerstoff (Moleküle)	687; 760

Im Sonnenspektrum werden dunkle Linien bei folgenden Wellenlängen gemessen: $393\,\mathrm{nm}$, $486\,\mathrm{nm}$, $527\,\mathrm{nm}$, $589\,\mathrm{nm}$, $656\,\mathrm{nm}$, $687\,\mathrm{nm}$ und $760\,\mathrm{nm}$. Die Linien bei $687\,\mathrm{nm}$ und $760\,\mathrm{nm}$ werden bei tiefem Sonnenstand stärker.

1. a) Erklären Sie die Entstehung der dunklen Linien im Sonnenspektrum.

1. b) Ordnen Sie den Linien anhand der Spektraltafel Stoffe zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

1. c) Begründen Sie, dass die Linien bei $687\,\mathrm{nm}$ und $760\,\mathrm{nm}$ vermutlich in der Erdatmosphäre entstehen.

Beim Franck-Hertz-Versuch in Göttingen werden Elektronen in einer mit Quecksilberdampf gefüllten Röhre durch die Spannung $U_\mathrm{B}$ beschleunigt. Gemessen wird der Strom $I_\mathrm{A}$ der Elektronen, die eine Gegenelektrode erreichen. Die Kennlinie $I_\mathrm{A}(U_\mathrm{B})$ steigt zunächst an. Der Strom bricht deutlich ein bei den Beschleunigungsspannungen $4{,}9\,\mathrm{V}$, $9{,}8\,\mathrm{V}$ und $14{,}7\,\mathrm{V}$. Zwischen diesen Spannungen steigt der Strom jeweils wieder an. Der Strom sinkt bei den Einbrüchen nicht auf null.

1. a) Interpretieren Sie die Lage der Stromeinbrüche mithilfe diskreter Energieniveaus der Quecksilberatome.

1. b) Erklären Sie, weshalb bei $9{,}8\,\mathrm{V}$ ein zweiter Einbruch auftritt und der Strom bei den Einbrüchen nicht auf null sinkt.

1. c) Die angeregten Quecksilberatome senden Photonen aus. Berechnen Sie die Wellenlänge der Strahlung beim Übergang in den Grundzustand und begründen Sie, weshalb man sie mit bloßem Auge nicht sieht.

Wasserstoffatome im Grundzustand werden mit monochromatischen Photonen bestrahlt. Es werden vier Versuche mit den Photonenenergien $10{,}2\,\mathrm{eV}$, $11{,}0\,\mathrm{eV}$, $12{,}09\,\mathrm{eV}$ und $15{,}0\,\mathrm{eV}$ durchgeführt. Für das Wasserstoffatom gilt $E_n = -\dfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}$.

1. a) Entscheiden Sie für jeden der vier Versuche begründet, ob die Photonen absorbiert werden können.

1. b) Bestimmen Sie für das Photon mit $15{,}0\,\mathrm{eV}$ die kinetische Energie des freigesetzten Elektrons.

1. c) Ein Atom wurde durch das Photon mit $12{,}09\,\mathrm{eV}$ angeregt. Geben Sie alle Wellenlängen an, die bei der Rückkehr in den Grundzustand emittiert werden können, und begründen Sie, welche davon im sichtbaren Bereich liegen.

In einer Wasserstofflampe werden im sichtbaren Bereich die folgenden Linien der Balmer-Serie gemessen:

Linie	Wellenlänge in nm
1	656
2	486
3	434

Alle drei Linien entstehen bei Übergängen in das Niveau $n = 2$.

1. a) Berechnen Sie die Photonenenergien der drei Linien in $\mathrm{eV}$.

1. b) Bestimmen Sie mithilfe von $E_n = -\dfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}$ für jede Linie die Hauptquantenzahl $n$ des Ausgangsniveaus.

1. c) Berechnen Sie die kürzeste Wellenlänge, die bei Übergängen in das Niveau $n = 2$ auftreten kann (Seriengrenze).

Die Vorstellung vom Atom hat sich historisch gewandelt. Material:

• Thomson-Modell: Das Atom ist eine gleichmäßig positiv geladene Kugel, in der die Elektronen eingebettet sind. Vorhersage für Streuversuche mit $\alpha$-Teilchen: nur geringe Ablenkungen.

• Rutherford'scher Streuversuch: $\alpha$-Teilchen treffen auf eine dünne Goldfolie. Die meisten durchqueren die Folie nahezu ungehindert, einzelne werden um mehr als $90^\circ$ abgelenkt. Der Radius eines Goldkerns beträgt etwa $7{,}0\,\mathrm{fm}$, der Atomradius etwa $0{,}14\,\mathrm{nm}$.

• Bohr'sches Atommodell: Das Elektron bewegt sich auf Bahnen mit diskreten Energien. Das Modell beschreibt die Linien des Wasserstoffspektrums.

• Orbitalmodell: Das Elektron im Grundzustand des Wasserstoffatoms wird mit einer Nachweiswahrscheinlichkeit beschrieben, die in einem Abstand von etwa $53\,\mathrm{pm}$ vom Kern am größten ist. Es gibt keine scharfen Bahnen.

1. a) Erläutern Sie, welche Schlüsse aus dem Rutherford'schen Streuversuch auf den Aufbau des Atoms gezogen werden und weshalb das Thomson-Modell dadurch widerlegt wird.

1. b) Berechnen Sie das Verhältnis von Atomradius zu Kernradius.

1. c) Vergleichen Sie das Bohr'sche Atommodell mit dem Orbitalmodell bezüglich der Aussagen über den Aufenthalt des Elektrons.

1. d) Beurteilen Sie anhand dieser Entwicklung die Eigenschaften und Grenzen naturwissenschaftlicher Modelle.

Für ein einatomiges Gas „X" wurde das folgende Energieniveauschema ermittelt, wobei die Energien auf den Grundzustand bezogen sind:

Niveau	Energie in eV
$E_0$ (Grundzustand)	0
$E_1$	4,9
$E_2$	6,7
$E_3$	8,8
Ionisierung	10,4

Zunächst werden Elektronen mit der kinetischen Energie $5{,}5\,\mathrm{eV}$ durch das Gas geschossen, anschließend mit $7{,}0\,\mathrm{eV}$. Die Atome befinden sich vor den Stößen im Grundzustand. Es sollen nur unelastische Stöße betrachtet werden, bei denen ein Atom genau ein Niveau anregt.

1. a) Bestimmen Sie für beide Elektronenenergien, welche Niveaus angeregt werden können und welche kinetische Energie die Elektronen nach dem Stoß jeweils höchstens noch besitzen.

1. b) Berechnen Sie die Wellenlängen aller Linien, die ein Gas aussendet, dessen Atome bis zum Niveau $E_2$ angeregt wurden.

1. c) Berechnen Sie die Wellenlängen der Absorptionslinien, die bei Durchstrahlung des Gases im Grundzustand mit weißem Licht im Absorptionsspektrum entstehen, und geben Sie an, welche davon im sichtbaren Bereich liegen.

1. d) Skizzieren und beschreiben Sie den Verlauf der Franck-Hertz-Kurve für dieses Gas im Bereich von $0\,\mathrm{V}$ bis $10\,\mathrm{V}$ und begründen Sie, ab welcher Spannung ein zweiter Stromeinbruch möglich wäre, wenn man – wie beim Franck-Hertz-Versuch üblich – davon ausgeht, dass die Elektronen bei jedem unelastischen Stoß das Niveau $E_1$ anregen.

Wasserstoffatome befinden sich im ersten angeregten Zustand ($n = 2$). Sie werden mit ultraviolettem Licht der Wellenlänge $\lambda = 300\,\mathrm{nm}$ bestrahlt. Es gilt $E_n = -\dfrac{13{,}6\,\mathrm{eV}}{n^2}$.

1. a) Zeigen Sie, dass ein Photon dieser Wellenlänge ein Wasserstoffatom im Zustand $n = 2$ ionisieren kann, ein Wasserstoffatom im Grundzustand ($n = 1$) dagegen weder ionisieren noch anregen kann.

1. b) Berechnen Sie die kinetische Energie und die Geschwindigkeit des freigesetzten Elektrons beim Ionisieren aus dem Zustand $n = 2$.

1. c) Im Sonnenspektrum sind die Balmer-Linien des Wasserstoffs zu sehen, obwohl sich in der kühleren Sonnenatmosphäre die meisten Wasserstoffatome im Grundzustand befinden. Erklären Sie, weshalb für diese Linien dennoch Atome im Zustand $n = 2$ nötig sind und wie diese entstehen können.

1. d) Begründen Sie, weshalb die Absorptionslinien des Wasserstoffs aus dem Grundzustand im Sonnenspektrum bei einer Messung auf der Erdoberfläche nicht beobachtet werden.