Aufgaben: Analytische Geometrie mit Hilfsmitteln

Die rechteckige Dachfläche eines Hauses in Münster soll mit Photovoltaikmodulen belegt werden. In einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 m) hat die Dachfläche die Eckpunkte $A(0|0|3)$, $B(10|0|3)$, $D(10|4|5)$ und $C(0|4|5)$.

1. a) Zeigen Sie, dass das Viereck $ABDC$ ein Rechteck ist.

1. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Dachfläche.

1. c) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $E$, in der die Dachfläche liegt.

1. d) Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt $M(5|2|4)$ der Dachfläche in $E$ liegt.

1. e) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber der Horizontalen (der $xy$-Ebene).

Eine Drohne fliegt über dem Phoenix-See in Dortmund. In einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 m, die $xy$-Ebene ist die Wasseroberfläche) wird ihre Flugbahn durch die Gerade

$$g:\ \vec x=\begin{pmatrix}10\\20\\30\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix},\quad t\ge 0,$$

beschrieben. Dabei ist $t$ die Zeit in Sekunden seit dem Start der Beobachtung.

1. a) Bestimmen Sie die Position der Drohne nach 5 Sekunden.

1. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt und den Ort, an dem die Drohne die Wasseroberfläche erreichen würde.

1. c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Drohne in m/s.

1. d) Prüfen Sie, ob die Drohne den Punkt $Q(50|40|10)$ passiert.

Ein Festzelt auf dem Schützenfest hat die Form einer Pyramide. In einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 m) hat die quadratische Grundfläche die Eckpunkte $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(6|6|0)$ und $D(0|6|0)$. Die Spitze ist $S(3|3|4)$.

1. a) Berechnen Sie die Länge der Kante $\overline{AS}$.

1. b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

1. c) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene durch $A$, $B$ und $S$.

1. d) Berechnen Sie den Winkel, unter dem die Seitenfläche $ABS$ gegen die Grundfläche geneigt ist.

In einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 m) verläuft ein Laserstrahl entlang der Geraden

$$g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\quad t\ge 0.$$

Er trifft auf eine ebene Glaswand, die in der Ebene $E: x+2y+2z=18$ liegt. Der Strahl beginnt im Punkt $P(2|1|5)$.

1. a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $S$, in dem der Laserstrahl auf die Glaswand trifft.

1. b) Berechnen Sie den Winkel, unter dem der Laserstrahl auf die Glaswand trifft.

1. c) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$.

1. d) Bestimmen Sie die Länge des Wegs, den der Laserstrahl von $P$ bis $S$ zurücklegt, und zeigen Sie, dass diese Länge größer als der Abstand aus c) ist. Begründen Sie, dass dies zu erwarten war.

Zwei Drohnen starten gleichzeitig. In einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 m) bewegen sie sich für $t\ge 0$ ($t$ in Sekunden) entlang der Geraden

$$g:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\10\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\qquad\text{(Drohne A)},$$ $$h:\ \vec x=\begin{pmatrix}20\\0\\10\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0{,}5\end{pmatrix}\qquad\text{(Drohne B)}.$$

1. a) Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen $g$ und $h$ schneiden, und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts.

1. b) Begründen Sie, dass es trotzdem nicht zu einem Zusammenstoß kommt.

1. c) Berechnen Sie den Abstand der beiden Drohnen nach 4 Sekunden.

1. d) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der beiden Drohnen in m/s.

Eine dreieckige Glasscheibe wird in einer Ecke eines Raumes montiert. In einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 m) hat die Scheibe die Eckpunkte $P(1|0|0)$, $Q(0|2|0)$ und $R(0|0|3)$. Der Ursprung $O$ ist die Raumecke.

1. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $E$, in der die Scheibe liegt.

1. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Scheibe.

1. c) Berechnen Sie den Abstand der Raumecke $O$ von der Ebene $E$.

1. d) Das Tetraeder $OPQR$ hat das Volumen $V=\frac13\cdot A_{PQR}\cdot d$ mit dem Abstand $d$ aus c). Bestätigen Sie damit das Volumen $V=1\,\mathrm{m}^3$, das sich auch über die Grundfläche $OPQ$ und die Höhe $|OR|$ ergibt.

Gegeben sind die Ebene $E: x-y+2z=-1$ und für jede reelle Zahl $a$ die Gerade

$$g_a:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\a\\1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.$$

1. a) Zeigen Sie, dass der Punkt $A(1|2|0)$ für jedes $a$ in $E$ liegt.

1. b) Bestimmen Sie den Wert von $a$, für den $g_a$ in $E$ liegt. Begründen Sie, dass $g_a$ für alle anderen Werte von $a$ die Ebene $E$ genau im Punkt $A$ schneidet.

1. c) Berechnen Sie für $a=1$ den Schnittwinkel von $g_1$ und $E$.

1. d) Bestimmen Sie für $a=1$ eine Koordinatengleichung der Ebene $F$, die $g_1$ enthält und senkrecht zu $E$ steht.

Auf einem Sportplatz in Duisburg steht ein Fahnenmast, dessen Spitze in einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 m) im Punkt $S(4|3|8)$ liegt. Der Fußpunkt liegt im Punkt $F(4|3|0)$ auf dem ebenen Boden ($xy$-Ebene). Die Sonnenstrahlen verlaufen parallel zum Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$.

Östlich des Mastes steht eine ebene Wand. Sie ist das Rechteck mit den Eckpunkten $(6|0|0)$, $(6|10|0)$, $(6|10|5)$ und $(6|0|5)$ und liegt in der Ebene $x=6$.

1. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem der Schatten der Mastspitze den Boden erreichen würde, wenn die Wand nicht vorhanden wäre.

1. b) Zeigen Sie, dass der Schatten der Mastspitze auf der Wand liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten des Schattenpunkts.

1. c) Bestimmen Sie die Länge des Schattens, den der Mast auf dem Boden bis zur Wand wirft.

1. d) Der Mast wird durch einen Mast mit der Höhe $h$ ersetzt, dessen Spitze im Punkt $(4|3|h)$ liegt. Bestimmen Sie alle Werte von $h$, für die der Schatten der Mastspitze auf der Wand liegt.

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(4|2|4)$ und $D(-4|4|2)$. Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm. Es bildet die Grundfläche einer Pyramide $ABCDS$ mit dem Volumen $72\,\mathrm{m}^3$ (Längeneinheit 1 m).

1. a) Bestimmen Sie die Koordinaten von $C$ und zeigen Sie, dass $ABCD$ ein Quadrat ist.

1. b) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $E$, in der das Quadrat liegt.

1. c) Die Spitze $S$ liegt senkrecht über dem Mittelpunkt des Quadrats. Bestimmen Sie die Koordinaten von $S$. Es gibt zwei Möglichkeiten.

1. d) Zeigen Sie für eine der beiden Möglichkeiten, dass die Seitenkanten $\overline{AS}$ und $\overline{BS}$ gleich lang sind, und begründen Sie, dass alle vier Seitenkanten gleich lang sind.