Aufgaben: Elektrodynamik und Energieübertragung

Im Physikunterricht untersucht Lena Induktionserscheinungen. Eine Spule mit $N = 200$ Windungen steht in einem homogenen Magnetfeld. Die Querschnittsfläche der Spule beträgt $A = 50\,\mathrm{cm^2}$ und steht senkrecht zu den Feldlinien. Die magnetische Flussdichte beträgt zunächst $B = 0{,}40\,\mathrm{T}$. Anschließend wird das Feld in $\Delta t = 0{,}20\,\mathrm{s}$ gleichmäßig auf null verringert.

1. a) Berechnen Sie den magnetischen Fluss $\Phi$ durch eine einzelne Windung zu Beginn.

1. b) Berechnen Sie den Betrag der mittleren Induktionsspannung $U_\mathrm{ind}$, die während der Abnahme der Flussdichte an der Spule auftritt.

1. c) Nennen Sie zwei verschiedene Möglichkeiten, in einer Leiterschleife eine Induktionsspannung hervorzurufen.

Ein gerades Leiterstück der Länge $\ell = 8{,}0\,\mathrm{cm}$ wird mit der konstanten Geschwindigkeit $v = 0{,}50\,\mathrm{m/s}$ senkrecht zu den Feldlinien durch ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte $B = 0{,}25\,\mathrm{T}$ bewegt. Die Bewegungsrichtung steht senkrecht zum Leiter, und der Leiter selbst steht ebenfalls senkrecht zu den Feldlinien.

1. a) Erläutern Sie mithilfe der Lorentzkraft, weshalb sich an den Enden des bewegten Leiters Ladungen trennen.

1. b) Berechnen Sie die Induktionsspannung $U_\mathrm{ind}$ zwischen den Leiterenden.

1. c) Im Gleichgewicht ist die Kraft des entstehenden elektrischen Feldes auf ein Elektron betragsgleich zur Lorentzkraft. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke $E$ im Leiter und zeigen Sie, dass sich daraus dieselbe Spannung wie in Teilaufgabe b) ergibt.

Das Netzteil eines Ladegeräts enthält einen Transformator. Die Primärspule hat $N_1 = 1.200$ Windungen und wird an die Wechselspannung $U_1 = 230\,\mathrm{V}$ angeschlossen. Die Sekundärspule hat $N_2 = 60$ Windungen. Der Transformator soll als ideal betrachtet werden. Auf der Sekundärseite fließt ein Strom der Stärke $I_2 = 2{,}0\,\mathrm{A}$.

1. a) Berechnen Sie die Sekundärspannung $U_2$.

1. b) Berechnen Sie die Stromstärke $I_1$ in der Primärspule und die übertragene Leistung.

1. c) Begründen Sie, weshalb ein Transformator mit Gleichspannung an der Primärspule keine Spannung an der Sekundärspule liefert.

Eine Spule mit $N = 500$ Windungen befindet sich in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld. Mit einem Messwerterfassungssystem wird der magnetische Fluss $\Phi$ durch eine Windung der Spule in Abhängigkeit von der Zeit $t$ aufgenommen. Das $\Phi$-$t$-Diagramm besteht aus drei geraden Abschnitten:

• Von $t = 0\,\mathrm{s}$ bis $t = 0{,}10\,\mathrm{s}$ steigt der Fluss linear von $0\,\mathrm{mVs}$ auf $4{,}0\,\mathrm{mVs}$.

• Von $t = 0{,}10\,\mathrm{s}$ bis $t = 0{,}30\,\mathrm{s}$ bleibt der Fluss konstant bei $4{,}0\,\mathrm{mVs}$.

• Von $t = 0{,}30\,\mathrm{s}$ bis $t = 0{,}40\,\mathrm{s}$ sinkt der Fluss linear auf $0\,\mathrm{mVs}$.

1. a) Bestimmen Sie die Induktionsspannung $U_\mathrm{ind}$ in jedem der drei Zeitabschnitte.

1. b) Skizzieren Sie das zugehörige $U_\mathrm{ind}$-$t$-Diagramm für $0\,\mathrm{s} \le t \le 0{,}40\,\mathrm{s}$ mit beschrifteten Achsen.

1. c) Begründen Sie mithilfe des Induktionsgesetzes, weshalb die Induktionsspannung im zweiten Abschnitt null ist, obwohl der magnetische Fluss dort seinen größten Wert hat.

Ein Wechselspannungsgenerator besteht aus einer Spule mit $N = 100$ Windungen und der Querschnittsfläche $A = 120\,\mathrm{cm^2}$. Die Spule rotiert mit der konstanten Frequenz $f = 25\,\mathrm{Hz}$ in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte $B = 0{,}15\,\mathrm{T}$. Zur Zeit $t = 0\,\mathrm{s}$ steht die Spulenfläche senkrecht zu den Feldlinien.

1. a) Geben Sie den zeitlichen Verlauf $\Phi(t)$ des magnetischen Flusses durch eine Windung an und leiten Sie daraus mithilfe des Induktionsgesetzes in differentieller Form die Induktionsspannung $U(t)$ her.

1. b) Berechnen Sie die Scheitelspannung $\hat{U}$, den Effektivwert $U_\mathrm{eff}$ und den Momentanwert der Spannung zur Zeit $t = 5{,}0\,\mathrm{ms}$.

1. c) Die Drehfrequenz wird verdoppelt. Beschreiben Sie, wie sich Scheitelspannung und Periodendauer ändern, und begründen Sie Ihre Aussage.

Ein Kondensator mit der Kapazität $C = 470\,\mathrm{\mu F}$ wird auf die Spannung $U_0 = 12\,\mathrm{V}$ aufgeladen und zur Zeit $t = 0\,\mathrm{s}$ über einen Widerstand $R = 2{,}2\,\mathrm{k\Omega}$ entladen. Für die Kondensatorspannung gilt während der Entladung

$$U(t) = U_0 \cdot \mathrm{e}^{-t/(R\,C)}.$$

1. a) Berechnen Sie die anfangs gespeicherte Ladung $Q_0$ und die Stromstärke $I_0$ unmittelbar nach Beginn der Entladung.

1. b) Berechnen Sie die Zeitkonstante $\tau = R\,C$ und die Kondensatorspannung zur Zeit $t = 2{,}0\,\mathrm{s}$.

1. c) Berechnen Sie die anfangs im Kondensator gespeicherte Energie $E = \frac{1}{2}\,C\,U_0^2$ und begründen Sie, in welcher Form diese Energie während der Entladung frei wird.

Beim Thomson'schen Ringversuch steht ein geschlossener Aluminiumring auf dem senkrechten Eisenkern einer Spule und kann frei nach oben beweglich gleiten. Beim Schließen des Schalters im Spulenstromkreis springt der Ring in die Höhe. Beim Öffnen des Schalters wird keine Abstoßung beobachtet; der Ring wird sogar leicht angezogen.

Ein Messwerterfassungssystem zeigt: Beim Einschalten steigt die magnetische Flussdichte im Bereich des Rings innerhalb von $\Delta t = 5{,}0\,\mathrm{ms}$ gleichmäßig von $0\,\mathrm{mT}$ auf $80\,\mathrm{mT}$. Die vom Feld senkrecht durchsetzte Fläche des Rings beträgt $A = 12\,\mathrm{cm^2}$, sein elektrischer Widerstand $R = 2{,}4\,\mathrm{m\Omega}$.

1. a) Stellen Sie eine begründete Hypothese auf, in welche Richtung der Induktionsstrom im Ring beim Einschalten fließt, und erklären Sie damit das Springen des Rings.

1. b) Berechnen Sie die mittlere Induktionsspannung und die mittlere Stromstärke im Ring während des Einschaltvorgangs.

1. c) Erklären Sie mithilfe des Induktionsgesetzes, weshalb der Ring beim Öffnen des Schalters nicht abgestoßen, sondern angezogen wird.

1. d) Ein baugleicher Ring mit einem schmalen Schlitz springt beim Einschalten nicht. Begründen Sie diese Beobachtung.

Ein Windpark an der Nordseeküste speist über eine Freileitung mit dem Gesamtwiderstand $R_\mathrm{L} = 5{,}0\,\Omega$ die elektrische Leistung $P = 2{,}0\,\mathrm{MW}$ ein. Zwei Varianten der Übertragung werden verglichen: Die Leistung wird entweder bei der Spannung $U_\mathrm{A} = 20\,\mathrm{kV}$ oder bei $U_\mathrm{B} = 220\,\mathrm{kV}$ eingespeist. Näherungsweise gilt für den Leitungsstrom $I = P/U$. Der Generator der Anlage liefert eine Wechselspannung mit dem Effektivwert $10\,\mathrm{kV}$.

1. a) Berechnen Sie für beide Varianten die Stromstärke in der Leitung, die Verlustleistung $P_\mathrm{V} = I^2\,R_\mathrm{L}$ und den prozentualen Anteil der Verluste an $P$.

1. b) Erläutern Sie anhand der Ergebnisse, weshalb Strom über große Entfernungen mit Hochspannung übertragen wird.

1. c) Bestimmen Sie das Windungszahlverhältnis $N_2/N_1$ eines idealen Transformators, der $10\,\mathrm{kV}$ auf $220\,\mathrm{kV}$ hochsetzt, sowie die Windungszahl $N_2$, wenn die Primärspule $N_1 = 500$ Windungen hat.

1. d) Beurteilen Sie, weshalb für die Hochspannungsübertragung Wechselspannung günstiger ist als Gleichspannung, wenn Sie nur die Transformierbarkeit berücksichtigen.

Eine Straßenbahn der Masse $m = 36\,\mathrm{t}$ fährt mit $v = 54\,\mathrm{km/h}$ und bremst bis zum Stillstand. Beim elektrischen Bremsen arbeitet der Fahrmotor als Generator und speist Energie ins Netz zurück (Rekuperation). Der Wirkungsgrad dieser Rückspeisung beträgt $70\,\%$. Die Bahn hält an einem Betriebstag $120$-mal. Der Strompreis beträgt $0{,}35\,€$ pro $\mathrm{kWh}$. Es sollen vereinfachend alle Bremsvorgänge als vollständig elektrisch und mit der Anfangsgeschwindigkeit $v$ betrachtet werden.

1. a) Berechnen Sie die kinetische Energie der Bahn vor dem Bremsen in $\mathrm{MJ}$ sowie die je Bremsvorgang zurückgespeiste Energie in $\mathrm{kWh}$.

1. b) Berechnen Sie die rückgespeiste Energie und den Geldwert dieser Energie für einen Betriebstag.

1. c) Die im Generator induzierte Spannung ist proportional zur Drehfrequenz. Erklären Sie mithilfe des Induktionsgesetzes, weshalb bei kleiner werdender Geschwindigkeit die Rückspeisung ins Netz mit konstanter Netzspannung nicht bis zum Stillstand möglich ist.

1. d) Beurteilen Sie das Potential der Energierückgewinnung bei elektrischen Antriebssystemen. Nennen Sie je ein Argument dafür und ein begrenzendes Argument.