Aufgaben: Quadratische Funktionen: Parabeln

Bestimme für die quadratische Funktion $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ die exakten Koordinaten des Scheitelpunkts und die Gleichung der Symmetrieachse.

Berechne die Schnittpunkte der Parabel $y = -x^2 + 2x + 8$ mit den Koordinatenachsen (sowohl mit der x-Achse als auch mit der y-Achse).

Betrachte die drei Parabeln in der folgenden Abbildung. Ordne jeden Funktionsterm dem passenden Graphen (A, B oder C) zu.

1) $y = -x^2 + 2$

2) $y = x^2 - 4x + 4$

3) $y = x^2 - 4$

Der Graph der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2 + c$ verläuft durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|11)$. Stelle ein Gleichungssystem auf und berechne die Werte der Parameter $a$ und $c$.

Gib an, in welche Richtung die Parabel $y = -3x^2 + 6x - 1$ geöffnet ist, und begründe deine Antwort. Finde heraus, ob der Scheitelpunkt dieser Funktion ein absoluter Hochpunkt oder Tiefpunkt ist. Berechne seine Koordinaten.

Die Funktion $d(t) = 5t^2$ beschreibt die Strecke in Zentimetern, die eine Murmel auf einer Rampe in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Sekunden zurücklegt. Welche Strecke hat sie nach $4$ Sekunden zurückgelegt? Wie lange braucht sie für genau $125$ cm?

Stelle die Funktion $y = (x + 3)^2 - 2$ als Ergebnis einer Verschiebung der Normalparabel $y = x^2$ dar. Gib deutlich die Richtung und die Anzahl der Einheiten der Verschiebung sowohl in horizontaler als auch in vertikaler Richtung an.

Bestimme durch Einsetzen in die Gleichung, ob der Punkt $(-1|4)$ und der Punkt $(2|1)$ auf dem Graphen der Parabel $y = 2x^2 - 3x - 1$ liegen.

Marcel soll die Symmetrieachse und die Wertemenge der Parabel $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ bestimmen. In seiner Klassenarbeit schreibt er Folgendes:

„Da $a = -1$ und $b = 6$, ist die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$. Also ist die Symmetrieachse die waagerechte Gerade $y = 3$. Dann berechne ich die y-Koordinate des Scheitelpunkts: $y_v = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = 4$, also ist der Scheitelpunkt $V(3|4)$. Da $a < 0$, ist die Parabel nach unten geöffnet und hat einen Hochpunkt, also ist die Wertemenge $[4; +\infty)$.“

1. a) Bestimme die beiden inhaltlichen Fehler, die Marcel in seiner Antwort gemacht hat.
2. b) Erkläre begründet, warum sie falsch sind, indem du auf den Zusammenhang zwischen Symmetrieachse und senkrechten Geraden sowie auf die grafische Bedeutung der Wertemenge bei nach unten geöffneter Parabel eingehst.
3. c) Gib die korrigierte Lösung an: die richtige Gleichung der Symmetrieachse und das Intervall, das die Wertemenge von $f(x)$ beschreibt.

Der parabelförmige Bogen eines Zierbrunnens folgt der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$. Der Wasserstrahl beginnt auf Bodenhöhe im Punkt $(0|0)$ und trifft genau in $6\text{ Meter}$ horizontaler Entfernung im Punkt $(6|0)$ wieder auf den Boden. Außerdem wird gemessen, dass die maximale Höhe des Strahls $4,5\text{ Meter}$ beträgt.

1. a) Leite, ohne zuvor die algebraischen Koeffizienten zu berechnen, begründet die Gleichung der senkrechten Geraden her, die als Symmetrieachse dient, und gib die exakten Koordinaten des Scheitelpunkts $V(h|k)$ an.
2. b) Verwende die Scheitelpunktform $f(x) = a(x-h)^2 + k$ oder die faktorisierte Form $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$, um den Zahlenwert des Parameters $a$ zu bestimmen.
3. c) Gib die ausmultiplizierte Gleichung $f(x) = ax^2 + bx + c$ an und überprüfe, dass sowohl die Punkte auf dem Boden als auch die erreichte Maximalhöhe stimmen.

Bei einem Training wirft eine Volleyballspielerin den Ball nach oben. Die Höhe $h$ (in Metern), die der Ball in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Sekunden) erreicht, wird durch den Term $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$ beschrieben. Welche maximale Höhe erreicht der Ball, und zu welchem genauen Zeitpunkt geschieht das?

Der Förderverein der Schule verkauft Lose einer Tombola, um die Abschlussfahrt zu finanzieren. Wenn jedes Los für $x$ Euro verkauft wird, werden die geschätzten Einnahmen (in Zehnern von Euro) durch die quadratische Funktion $I(x) = -2x^2 + 48x$ beschrieben. Zu welchem Preis müssen die Lose verkauft werden, damit die Einnahmen maximal sind? Wie hoch sind diese maximalen Einnahmen?

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der Parabel $y = x^2 - 4x + 3$ und der Geraden $y = -x + 3$.

Bestimme den ausmultiplizierten Funktionsterm einer quadratischen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$, deren Scheitelpunkt der Punkt $V(2|-1)$ ist und die durch den Punkt $P(4|3)$ verläuft.

Betrachte den Graphen der Parabel. Bestimme die Koordinaten ihres Scheitelpunkts und leite mithilfe eines weiteren Punktes des Graphen ihren Funktionsterm in der Form $y = a(x-h)^2 + k$ her. Multipliziere ihn abschließend zur Form $y = ax^2 + bx + c$ aus.

Auf einem Zeltlager stehen $40$ Meter Seil zur Verfügung, um eine rechteckige Spielfläche abzugrenzen. Nenne die Länge der Grundseite des Rechtecks $x$ und gib die Funktion an, die den Flächeninhalt der Fläche in Abhängigkeit von $x$ beschreibt. Welche Abmessungen muss das Rechteck haben, damit der eingeschlossene Flächeninhalt möglichst groß ist?

Der Bogen einer Steinbrücke hat die Form einer Parabel. Die Basis des Bogens (auf Wasserhöhe) ist $12$ Meter breit und die maximale Höhe in der Mitte beträgt $6$ Meter. Legt man den Koordinatenursprung in die Mitte der Basis des Bogens, bestimme die Gleichung der Parabel, die sein Profil beschreibt.

Berechne die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der quadratischen Funktion $y = ax^2 + bx + c$, wenn ihr Graph durch die Punkte $(0|-5)$, $(1|-6)$ und $(-1|-2)$ verläuft.

Zum Zeichnen der Parabel $g(x) = 2x^2 - 12x + 10$ diskutieren zwei Mitschüler, welche Strategie schneller und sicherer ist, um Scheitelpunkt und Schnittpunkte mit den Achsen zu bestimmen:

• Sergen schlägt vor, den Leitkoeffizienten auszuklammern, um $g(x) = 2(x^2 - 6x + 5)$ zu schreiben, den Term in der Klammer zu faktorisieren, indem man zwei ganze Zahlen mit Produkt $5$ und Summe $-6$ sucht, und den Scheitelpunkt zu bestimmen, indem man nutzt, dass die Symmetrieachse von beiden reellen Nullstellen gleich weit entfernt ist.

• Emilia meint, es sei direkter, die Funktion durch quadratische Ergänzung ausgehend von $2(x^2 - 6x) + 10$ in die Scheitelpunktform $g(x) = a(x-h)^2 + k$ umzuformen.

1. a) Führe beide Verfahren Schritt für Schritt vollständig bis zu den Koordinaten des Scheitelpunkts $V(h|k)$ durch und bestätige, dass beide zur gleichen Lösung führen.
2. b) Vergleiche beide Methoden und begründe, welche in diesem konkreten Fall vorteilhafter ist. In welcher Situation wäre Sergens Methode im Vergleich zu Emilias Methode oder zur allgemeinen Formel $x_v = \frac{-b}{2a}$ nicht durchführbar oder äußerst umständlich? Stütze deine Überlegung auf die Rolle der Diskriminante $\Delta$.

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) modelliert die Lufttemperatur $T(t)$ in Grad Celsius ($^\circ\text{C}$) während der mittleren Stunden eines Sommertages in Dortmund in Abhängigkeit von der Uhrzeit $t$ (mit $t \in [8;24]$, wobei $t=8$ 8:00 Uhr und $t=24$ 24:00 Uhr entspricht) durch die quadratische Funktion:

1. a) Bestimme begründet, zu welcher Uhrzeit die Höchsttemperatur gemessen wird und wie hoch dieser Extremwert ist.
2. b) Stelle die Ungleichung auf, die nötig ist, um zu berechnen, in welchem Zeitintervall die Temperatur mindestens $40\ ^\circ\text{C}$ betrug, und löse sie.
3. c) Begründe rechnerisch durch Berechnung der Diskriminante $\Delta$ der Gleichung $T(t) = 48$, ob das Modell vorhersagt, dass $48\ ^\circ\text{C}$ im Laufe des Tages erreicht oder überschritten werden.

Ein Landwirt möchte für seine Hühner ein rechteckiges Gehege bauen und dazu eine lange, bereits vorhandene Steinmauer nutzen, sodass er nur drei der vier Seiten des Rechtecks einzäunen muss. Er hat $100$ Meter Metallzaun zur Verfügung. Bestimme die Abmessungen des Geheges, sodass sein Flächeninhalt möglichst groß ist, und berechne diesen maximalen Flächeninhalt.

Zeichne eine Skizze des Graphen der Funktion $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Bestimme dazu zuerst den Scheitelpunkt und die Schnittpunkte mit den Achsen der inneren Parabel ohne Betrag und erkläre rechnerisch, wie sich der Betrag auf die endgültige Darstellung auswirkt.

Du kannst es auf Papier erledigen und ein Foto mit deiner Antwort senden.

Gegeben sind die Parabeln $y = x^2 - 2x - 3$ und $y = -x^2 + 4x + 5$. Bestimme rechnerisch die genauen Schnittpunkte. Berechne anschließend den geradlinigen Abstand zwischen den Scheitelpunkten beider Parabeln.

Betrachte die Parabelschar mit der Gleichung $y = x^2 - kx + 9$. Bestimme die Werte des Parameters $k$, für die die Parabel die x-Achse berührt (d. h. nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse hat).

Der Robotik-Club der Schule verkauft Sensor-Bausätze, um sein Material zu finanzieren. Er hat monatliche Fixkosten von $2000$ Euro, und der Zusammenbau jedes Bausatzes kostet zusätzlich $15$ Euro. Die monatlichen Einnahmen aus dem Verkauf von $x$ Bausätzen werden durch die Funktion $I(x) = -0,1x^2 + 65x$ beschrieben. Gib die Funktion an, die den monatlichen Gewinn $B(x)$ darstellt. Wie viele Bausätze müssen gebaut und verkauft werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen?

Ein Basketballspieler wirft aus einer Höhe von $2$ Metern auf den Korb. Der Ball folgt einer parabelförmigen Flugbahn und erreicht seine maximale Höhe von $4$ Metern in einer horizontalen Entfernung von $2$ Metern vom Abwurfpunkt. Der Korbring befindet sich in $3$ Metern Höhe und in einer horizontalen Entfernung von $4,5$ Metern. Leite die Gleichung der Flugbahn her und zeige rechnerisch, ob der Ball durch den Ring geht oder nicht.

Bestimme den Funktionsterm der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$, wenn sie die x-Achse in den Punkten $x = -1$ und $x = 5$ schneidet und der größte Funktionswert $18$ beträgt.

Gegeben ist die folgende abschnittsweise definierte Funktion:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{für } x \le 3 \\ mx + n & \text{für } x > 3 \end{cases}$

Bestimme die Werte der Parameter $m$ und $n$ so, dass die Funktion an der Übergangsstelle $x = 3$ stetig ist und außerdem der Strahl durch den Punkt $(5|-1)$ verläuft.

Das städtische Verkehrsunternehmen einer deutschen Stadt analysiert seine Tarife anhand von Mobilitätsdaten. Beim aktuellen Fahrscheinpreis von $1,20\text{ €}$ fahren durchschnittlich $6000$ Personen täglich. Eine technische Studie schätzt, dass bei jeder Preiserhöhung um $0,10\text{ €}$ täglich $250$ Fahrgäste verloren gehen (und umgekehrt bei einer Senkung). Die täglichen Einnahmen werden durch $I(x) = (1,20 + 0,10x)(6000 - 250x)$ beschrieben, wobei $x$ die Anzahl der Erhöhungen um $0,10\text{ €}$ ist.

1. a) Schätze vor dem Rechnen ab: Wenn der Fahrscheinpreis verdoppelt wird (er kostet dann $2,40\text{ €}$, das entspricht $x = 12$), erwartest du, dass die täglichen Einnahmen größer, kleiner oder gleich den anfänglichen $7200\text{ €}$ sind? Begründe deine Vermutung qualitativ, indem du die Preiserhöhung gegen den Verlust an Fahrgästen abwägst.
2. b) Berechne: Multipliziere den Term von $I(x)$ in die Normalform $I(x) = ax^2 + bx + c$ aus, bestimme die Koordinaten seines Scheitelpunkts und leite daraus die Anzahl der Erhöhungen $x$ her, die die Einnahmen maximiert, sowie den sich ergebenden optimalen Fahrscheinpreis und die maximalen täglichen Einnahmen.
3. c) Prüfe und reflektiere: Berechne den genauen Wert von $I(12)$, um deine Schätzung aus Teilaufgabe a) quantitativ zu überprüfen, und deute das Ergebnis mithilfe der Symmetrieachse der Parabel. Reflektiere schließlich kritisch: Warum ist es aus Sicht des öffentlichen Dienstes und der nachhaltigen Stadtentwicklung nicht immer ratsam, den Tarif am optimalen Scheitelpunkt der Parabel festzulegen, wenn dies eine Preiserhöhung bedeutet?

Gegeben ist die Schar quadratischer Funktionen $f_m(x) = (m-1)x^2 + 2mx + (m+3)$, wobei $m$ ein reeller Parameter mit $m \neq 1$ ist.

1. a) Bestimme begründet, für welche Werte von $m$ der Graph von $f_m(x)$ nach oben geöffnet ist (mit einem absoluten Tiefpunkt) und zugleich die waagerechte Achse $X$ in keinem Punkt schneidet. Gib die Lösungsmenge als Intervall an.
2. b) Eine der Parabeln dieser Schar hat die senkrechte Gerade $x = 2$ als Symmetrieachse. Bestimme den konkreten Wert von $m$, gib die ausmultiplizierte Gleichung dieser Parabel an und leite ihre genaue Wertemenge her. Begründe dabei, ob die Funktion nach oben oder nach unten beschränkt ist.
3. c) Zeige rechnerisch, ob es einen Wert von $m$ gibt, für den der Scheitelpunkt der Parabel genau auf der Achse $X$ liegt. Berechne in diesem Fall die vollständigen Koordinaten dieses Scheitelpunkts; andernfalls begründe, warum das unmöglich ist.