Aufgaben: Prozente

Berechne im Kopf:

a) $25\%$ von $240$.

b) $10\%$ von $380$.

c) $50\%$ von $96$.

d) $75\%$ von $800$.

Betrachte das Gitter in der Abbildung, das aus $100$ Kästchen besteht.

a) Wie viel Prozent der Kästchen sind gefärbt?

b) Wie viel Prozent der Kästchen sind nicht gefärbt?

Von den $30$ Schülerinnen und Schülern einer Klasse sind $18$ Mädchen. Wie viel Prozent der Klasse sind Mädchen? Und Jungen?

Eine Handballmannschaft hat von $20$ gespielten Spielen $12$ gewonnen. Wie viel Prozent der Spiele hat sie gewonnen?

Turnschuhe für $60\text{ €}$ sind um $15\%$ reduziert. Wie viel Euro sparst du? Wie viel zahlst du?

Ein Kopfhörer kostet $50\text{ €}$ ohne Mehrwertsteuer. Wie hoch ist der Endpreis, wenn die Mehrwertsteuer $21\%$ beträgt?

Gib jeden Prozentsatz als Dezimalzahl und als vollständig gekürzten Bruch an:

a) $35\%$

b) $4\%$

c) $120\%$

Vera hat einen Datentarif mit $12$ GB pro Monat und hat bereits $30\%$ verbraucht. Wie viele Gigabyte hat sie noch übrig?

In einem Dorf mit $2\,500$ Einwohnern sind $8\%$ jünger als $15$ Jahre. Wie viele Einwohner unter $15$ Jahren leben im Dorf?

Die Monatskarte für den Nahverkehr kostet $20\text{ €}$ und wird um $5\%$ teurer. Wie hoch ist der neue Preis?

Wie viel Prozent von $180$ sind $45$?

Berechne:

a) $150\%$ von $60$.

b) $0,5\%$ von $800$.

Ergänze in deinem Heft:

a) Wenn der Preis um $30\%$ reduziert wird, zahlst du ____ $\%$ des Preises.

b) Wenn ein Preis um $12\%$ steigt, zahlst du ____ $\%$ des ursprünglichen Preises.

c) Wenn du $45\%$ des Akkus verbraucht hast, bleiben dir noch ____ $\%$.

In einer Umfrage unter $400$ Jugendlichen geben $64\%$ an, jede Woche Sport zu treiben. Wie viele Jugendliche treiben Sport?

Noa hatte $240\text{ €}$ gespart und hat $25\%$ davon für ein Geschenk für ihre Mutter ausgegeben. Wie viel Geld bleibt ihr?

In einem Naturpark mit $12\,000$ Bäumen sind $35\%$ Kiefern. Wie viele Kiefern gibt es im Park?

Ein Familienessen in einem Restaurant kostet insgesamt $68,40\text{ \euro}$. Die Familie beschließt, ein freiwilliges Trinkgeld von $10\,\%$ zu geben.

1. a) Schätze im Kopf, bevor du etwas aufschreibst, zwischen welchen beiden ganzen Euro-Beträgen das Trinkgeld liegt, indem du den Rechnungsbetrag auf die nächsten Zehner rundest. Erkläre, wie du bei der Schätzung vorgegangen bist.
2. b) Berechne das Trinkgeld und den gesamten Endbetrag genau mit dem passenden Dezimalfaktor.
3. c) Vergleiche deine genaue Rechnung mit der anfänglichen Schätzung: War sie eine nützliche Näherung, um am Tisch schnell zu entscheiden? Begründe deine Antwort.

Lukas möchte Kopfhörer kaufen, die mit $50\text{ \euro}$ ausgezeichnet sind. Das Geschäft wirbt mit einem Rabatt von $20\,\%$ in der Audio-Abteilung, und beim Bezahlen legt Lukas zusätzlich einen Mitgliedsgutschein vor, der weitere $10\,\%$ Rabatt gibt. Lukas behauptet überzeugt: „Da $20\,\% + 10\,\% = 30\,\%$ ist, bekomme ich $30\,\%$ auf $50\text{ \euro}$; ich spare also $15\text{ \euro}$ und zahle nur $35\text{ \euro}$.“

1. a) Erkenne den Denkfehler, den Lukas macht, wenn er die beiden Prozentsätze einfach addiert, und erkläre mit eigenen Worten, warum das nicht richtig ist.
2. b) Berechne den tatsächlichen Preis, den Lukas zahlt, indem du die Rabatte hintereinander mit Faktoren anwendest.
3. c) Gib an, wie viel Geld Lukas mehr oder weniger zahlt, als er fälschlicherweise berechnet hatte.

Eine Jacke, die $74,90\text{ €}$ kostete, wird um $30\%$ reduziert. Wie viel Euro beträgt der Nachlass? Wie hoch ist der Endpreis?

Für eine um $15\%$ reduzierte Hose habe ich $59,50\text{ €}$ bezahlt. Wie hoch war der Preis vor der Reduzierung?

Ein Kochkanal hat im letzten Jahr $25\%$ mehr Follower bekommen und hat jetzt $1\,800$ Follower. Wie viele Follower hatte er vor einem Jahr?

Der Preis eines Comics ist von $12\text{ €}$ auf $15\text{ €}$ gestiegen. Um wie viel Prozent ist er gestiegen?

Eine Basketballspielerin hat in dieser Saison von $25$ Freiwürfen $17$ getroffen. Wie hoch ist ihre Trefferquote in Prozent?

Um sich ein E-Bike zu kaufen, legt Andreas $1\,200\text{ €}$ auf einem Konto mit einfacher Verzinsung von $3\%$ pro Jahr für $2$ Jahre an. Welche Zinsen erhält er? Wie viel Geld hat er am Ende?

In einem Schreibwarengeschäft gibt es ein Angebot „$3\times 2$“ auf Filzstifte, die $4,50\text{ €}$ pro Stück kosten. Du nimmst $3$ Filzstifte mit:

a) Wie viel bezahlst du insgesamt?

b) Wie viel Prozent Rabatt bedeutet das Angebot gegenüber dem Preis ohne Rabatt? Runde auf Hundertstel.

Ein Comicladen bietet das zweite Exemplar zu $50\%$ des Preises an. Ein Manga-Band kostet $9,95\text{ €}$:

a) Wie viel kosten zwei Bände?

b) Wie viel Prozent Rabatt werden insgesamt auf den Kauf der beiden Bände gewährt?

Ein Videospiel, das $60\text{ €}$ kostete, wurde in der Weihnachtsaktion um $10\%$ teurer und nach den Feiertagen sank der neue Preis um $10\%$.

a) Wie hoch war der Preis nach der Erhöhung?

b) Wie hoch ist der Preis nach der Senkung?

c) Ist er wieder auf den ursprünglichen Preis gekommen? Wenn nicht, um wie viel Prozent hat er sich insgesamt verändert?

Ein Onlineshop verkauft einen Rucksack für $95\text{ €}$ ohne Mehrwertsteuer. Er gewährt einen Rabatt von $20\%$ und schlägt danach $21\%$ Mehrwertsteuer auf den bereits reduzierten Preis auf. Wie hoch ist der Endpreis, den du bezahlst?

Bei einer Umfrage unter $1\,500$ Jugendlichen geben $40\%$ an, Mannschaftssport zu treiben, und von diesen spielen $25\%$ Basketball. Wie viele Jugendliche spielen Basketball? Wie viel Prozent der Gesamtzahl sind das?

Ein Stausee mit einer Kapazität von $240\ \text{hm}^3$ war nach dem Sommer zu $35\%$ gefüllt. Die Herbstregenfälle haben ihn bis auf $58\%$ seiner Kapazität gefüllt.

a) Wie viele Kubikhektometer Wasser hatte er nach dem Sommer?

b) Wie viele Kubikhektometer hat er durch die Regenfälle hinzugewonnen?

Begründe, ob diese Aussagen wahr oder falsch sind, und stütze dich dabei auf Zahlenbeispiele:

a) Wenn ein Preis um $50\%$ steigt und danach um $50\%$ sinkt, kommt er wieder auf den Ausgangspreis.

b) Zwei aufeinanderfolgende Rabatte von $10\%$ entsprechen einem einzigen Rabatt von $19\%$.

c) $5\%$ einer Größe sind die Hälfte von $10\%$ derselben Größe.

d) Wenn $90\%$ der Schüler eine Klassenarbeit bestanden haben, sind $1$ von $10$ durchgefallen.

Das Diagramm zeigt die Comics, die ein Laden in der letzten Woche von Montag bis Freitag verkauft hat.

a) Wie viel Prozent der Wochenverkäufe entfielen auf den Freitag?

b) Um wie viel Prozent sind die Verkäufe am Freitag gegenüber dem Montag gestiegen?

Zwei Fitnessstudios haben diese Angebote:

• Studio A: $30\text{ €}$ pro Monat, mit $20\%$ Rabatt, wenn du das ganze Jahr im Voraus bezahlst.

• Studio B: $25\text{ €}$ pro Monat, zuzüglich einer einmaligen Aufnahmegebühr von $40\text{ €}$.

a) Berechne, wie viel ein volles Jahr in jedem Fitnessstudio kostet.

b) Welches würdest du für ein Jahr wählen? Und wenn du dich nur für $6$ Monate anmelden möchtest (in diesem Fall gewährt Studio A den Jahresrabatt nicht)? Begründe beide Antworten.

Ein gelber Container sammelt $800$ kg Verpackungen. $45\%$ des Gewichts sind Kunststoff und von diesem Kunststoff lassen sich nur $60\%$ recyceln.

a) Wie viele Kilogramm Kunststoff befinden sich im Container?

b) Wie viele Kilogramm werden tatsächlich recycelt?

c) Wie viel Prozent des gesamten Containerinhalts werden recycelt?

Ein Sportgeschäft verkauft seine Turnschuhe im Ausverkauf mit $15\,\%$ Rabatt auf den Etikettenpreis $P$. Zwei Angestellte diskutieren, wie sich der reduzierte Endpreis am besten berechnen lässt:

• Alba schlägt vor: „Ich berechne zuerst den Rabatt durch Multiplikation $P \cdot 0,15$ und ziehe ihn dann vom Originalpreis ab: $P - (P \cdot 0,15)$.“

• Bruno schlägt vor: „Ich multipliziere den Originalpreis direkt mit dem Dezimalfaktor, der zum Rabatt gehört: $P \cdot 0,85$.“

1. a) Zeige algebraisch, indem du in Albas Term $P$ ausklammerst, warum beide Methoden genau zum selben Ergebnis führen.
2. b) Wenn du im Kopf den reduzierten Preis von Turnschuhen berechnen sollst, die $60\text{ \euro}$ kosten: Welche Methode wählst du und warum findest du sie bequemer?
3. c) Wenn du die Kasse so programmieren musst, dass sie die Preise von $500$ Artikeln sofort aktualisiert: Welche der beiden Methoden ist für den Prozessor hinsichtlich der Anzahl der Rechenoperationen effizienter? Begründe deine Antwort.

Laut Daten des Statistischen Bundesamtes (Destatis) zur touristischen Auslastung von Unterkünften im ländlichen Raum verzeichnete ein Ferienhaus im April $200$ Übernachtungen. Im Mai, mit einem Brückentag, stiegen die Buchungen im Vergleich zum April um $35\,\%$. Im Juni gingen die Buchungen wegen des Schuljahresendes und der Prüfungen im Vergleich zum Mai um $20\,\%$ zurück.

1. a) Modelliere die Entwicklung der Buchungen, indem du eine einzige verkettete Rechnung mit Wachstumsfaktoren aufstellst, mit der man die Übernachtungen im Juni direkt aus denen im April berechnen kann.
2. b) Berechne die Anzahl der Buchungen im Juni und deute, ob die Auslastung im Vergleich zum Ausgangswert im April insgesamt gestiegen oder gesunken ist.
3. c) Bestimme die prozentuale Gesamtveränderung zwischen April und Juni. Erkläre, warum dieses Ergebnis nicht mit der direkten Summe $+35\,\% - 20\,\% = +15\,\%$ übereinstimmt.

Der Eintrittspreis für ein Freibad sank am Ende des Sommers um $20\%$. Zur nächsten Saison möchte das Bad genau den ursprünglichen Preis wiederherstellen. Um wie viel Prozent muss der reduzierte Preis steigen? Erkläre, warum die Antwort nicht $20\%$ lautet.

Die Verkäufe einer Buchhandlung sind im Februar gegenüber dem Januar um $35\%$ gefallen. Im März erholten sich die Verkäufe wieder bis auf das Niveau vom Januar. Um wie viel Prozent sind die Verkäufe im März gegenüber dem Februar gestiegen? Runde das Ergebnis auf Hundertstel.

Lea hat auf einer Website Kopfhörer für $96,80\text{ €}$ gekauft. Dieser Preis enthielt bereits einen Rabatt von $20\%$ auf den Grundpreis und außerdem $21\%$ Mehrwertsteuer, die nach dem Rabatt aufgeschlagen wurde. Wie hoch war der Grundpreis der Kopfhörer ohne Rabatt und ohne Mehrwertsteuer?

Martin möchte sich ein Mountainbike kaufen und prüft mehrere Anlageoptionen mit einfacher Verzinsung:

a) Welches Kapital muss er bei $4\%$ Zinssatz pro Jahr über $3$ Jahre anlegen, um $270\text{ €}$ Zinsen zu erhalten?

b) Zu welchem jährlichen Zinssatz muss er $2\,500\text{ €}$ über $2$ Jahre anlegen, um $200\text{ €}$ Zinsen zu erhalten?

c) Wie lange muss er $1\,800\text{ €}$ bei einem jährlichen Zinssatz von $5\%$ anlegen, um $360\text{ €}$ Zinsen zu erhalten?

Ein Sportgeschäft wirbt: „$50\%$ Rabatt plus ein zusätzlicher Rabatt von $20\%$: insgesamt $70\%$ Rabatt!“ Turnschuhe aus dem Geschäft kosten $120\text{ €}$. Erkläre den Fehler in der Werbung, berechne den tatsächlichen prozentualen Rabatt und den richtigen Endpreis der Turnschuhe.

Ein Sparkonto bietet eine einfache Verzinsung von $0,4\%$ pro Monat. Du zahlst $3\,000\text{ €}$ ein:

a) Welche Zinsen erhältst du jeden Monat?

b) Wie viele volle Monate müssen vergehen, bis sich $180\text{ €}$ Zinsen angesammelt haben?

Noras Familie vergleicht drei Handytarife:

a) Berechne die Kosten für ein volles Jahr bei jedem Tarif unter Berücksichtigung der Bedingungen.

b) Nora verbraucht etwa $45$ GB pro Monat. Welcher Tarif ist für sie am günstigsten? Begründe die Antwort mit den Rechnungen aus dem vorherigen Teil.

c) Ihr Vater verbraucht $15$ GB pro Monat. Welchen Tarif empfiehlst du ihm? Wie viel spart er pro Jahr gegenüber dem teuersten Tarif, der seinen Bedarf deckt?

Die Tickets für ein Musikfestival sind drei Jahre in Folge jedes Jahr um $5\%$ gestiegen. Vor drei Jahren kosteten sie $40\text{ €}$:

a) Wie viel kosten sie jetzt? Runde auf Cent.

b) Wie hoch war die gesamte prozentuale Steigerung in den drei Jahren? Stimmt sie mit $15\%$ überein? Begründe die Antwort.

Zwei Geschäfte verkaufen denselben Rucksack für $80\text{ €}$. In Geschäft A wird der Preis direkt um $25\%$ gesenkt. In Geschäft B wird zuerst ein Rabatt von $10\%$ und auf den sich ergebenden Preis ein weiterer Rabatt von $15\%$ gewährt.

a) Berechne den Endpreis des Rucksacks in jedem Geschäft.

b) Wo lohnt sich der Kauf? Erkläre anhand der Rechnungen, warum die beiden Angebote nicht gleichwertig sind.

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und begründe jede Antwort mit einem Zahlenbeispiel:

a) Eine Größe kann nicht um mehr als $100\%$ zunehmen.

b) $200\%$ einer Größe sind das Doppelte dieser Größe.

c) Wenn der Preis eines Produkts von $50\text{ €}$ auf $150\text{ €}$ steigt, hat er um $200\%$ zugenommen.

d) Es ist unmöglich, einen Preis um $110\%$ zu senken.

An einer Schule treiben $360$ Schüler eine Sportart im Verein, das sind $37,5\%$ der Gesamtzahl.

a) Wie viele Schüler hat die Schule?

b) Wie viele treiben keinen Vereinssport?

Das ist die Stromrechnung von Alex' Familie für einen Monat:

• Verbrauch: $62,40\text{ €}$

• Vertraglich vereinbarte Leistung: $18,20\text{ €}$

• Stromsteuer: $5,11\%$ auf die Summe aus Verbrauch und Leistung

• Mehrwertsteuer: $21\%$ auf den vorherigen Gesamtbetrag

a) Berechne den Betrag der Stromsteuer, gerundet auf Cent.

b) Berechne den Gesamtbetrag der Rechnung.

c) Die Familie installiert Solarmodule und der Verbrauch sinkt um $40\%$. Wenn die vertraglich vereinbarte Leistung und die Steuern gleich berechnet werden, wie hoch ist dann der Gesamtbetrag der neuen Rechnung?

In einem Technikgeschäft wird der Verkaufspreis eines Tablets in zwei aufeinanderfolgenden Schritten verändert: Zuerst wird der ursprüngliche Preis um $x\,\%$ erhöht und anschließend der neue, bereits erhöhte Preis um $x\,\%$ gesenkt. Nach beiden Änderungen stellt man fest, dass der Endpreis des Tablets genau $9\,\%$ niedriger ist als der Ausgangspreis.

1. a) Modelliere die Situation, indem du eine Gleichung in Abhängigkeit von $x$ aufstellst, die das Produkt der beiden Änderungsfaktoren mit dem sich ergebenden Gesamtfaktor gleichsetzt.
2. b) Löse die Gleichung und bestimme, welcher Prozentsatz $x$ in den beiden Schritten jeweils angewendet wurde.
3. c) Hätte der Händler zuerst die Senkung um $x\,\%$ und danach die Erhöhung um $x\,\%$ vorgenommen, hätte er dann einen anderen Endpreis erhalten? Begründe deine Antwort anhand der mathematischen Eigenschaften der Multiplikation von Faktoren, ohne konkrete Zahlen zu erfinden.

Für die Mensa einer Schule soll ein Posten von $6$ Kanistern Olivenöl gekauft werden, deren Normalpreis $12\text{ \euro}$ pro Kanister beträgt. Der Einkaufsleiter vergleicht drei aktuelle Angebote verschiedener Händler:

• Händler A: Aktion „$3 \times 2$“ (für je $3$ gekaufte Kanister bezahlst du nur $2$).

• Händler B: „Zweiter Kanister zu $60\,\%$ Rabatt“ (beim paarweisen Kauf wird der erste Kanister voll bezahlt, auf den zweiten gibt es $60\,\%$ Rabatt auf seinen Einzelpreis).

• Händler C: „$25\,\%$ Direktrabatt auf den gesamten Einkauf“ ab $6$ gekauften Kanistern.

1. a) Modelliere mit Rechenausdrücken die Gesamtkosten bei jedem Händler für den Kauf des Postens von $6$ Kanistern und berechne den sich ergebenden Durchschnittspreis pro Kanister bei jeder Option.
2. b) Bestimme, welchem tatsächlichen Rabatt in Prozent auf den Originalpreis die Aktion „$3 \times 2$“ bei einem Posten von $6$ Kanistern entspricht, und vergleiche ihn mit den Gesamtrabatten der beiden anderen Händler.
3. c) Welcher Händler ist für den Kauf der $6$ Kanister am günstigsten? Begründe, ob sich deine Wahl ändern würde, wenn die Schule nur $5$ Kanister kaufen müsste, indem du die Gesamtkosten bei den beiden wettbewerbsfähigsten Händlern berechnest.