Aufgaben: Zusammengesetzter Dreisatz

In einem Laden für individuell bedruckte Kleidung bedrucken $3$ Thermotransferpressen in $4$ Stunden $120$ T-Shirts. Wegen eines dringenden Auftrags einer Schule werden $5$ gleiche Pressen in Betrieb genommen. Wie viele T-Shirts können sie in $6$ Stunden bedrucken?

Ein Tierheim benötigt $480$ kg Futter, um $40$ Hunde $30$ Tage lang zu füttern. Durch eine Spende wächst die Kapazität auf $60$ Hunde. Wie viele Kilogramm Futter werden benötigt, um sie $20$ Tage lang zu füttern?

Um die Dateien eines neuen Videospiels auf einen Server hochzuladen, brauchen $4$ gleiche Glasfaserverbindungen $15$ Minuten, um $120$ GB zu übertragen. Wir wollen $200$ GB auf denselben Server übertragen und nutzen dazu $5$ gleiche Verbindungen. Wie viele Minuten dauert das?

Eine Gruppe von $6$ Freunden verteilt Werbung für ihr lokales E-Sport-Team. In $3$ Stunden haben sie $450$ Flyer in Briefkästen gesteckt. Am nächsten Samstag kommen $2$ weitere Freunde dazu und sie arbeiten $4$ Stunden. Wie viele Flyer verteilen sie insgesamt?

In einer Wasseraufbereitungsanlage filtern $8$ gleiche Kläranlagen in $5$ Tagen $2400$ Kubikmeter Wasser. Wie viele Kubikmeter Wasser filtern $12$ Kläranlagen, wenn sie $7$ Tage laufen?

Fünf dekorative Brunnen mit gleicher Durchflussmenge verbrauchen $300$ Liter Wasser, wenn sie $8$ Stunden eingeschaltet sind. Berechne, wie viele Liter $10$ gleiche Brunnen verbrauchen, wenn sie nur $2$ Stunden eingeschaltet bleiben.

Ein Kurierdienst verwendet $4$ Transporter, um in $5$ Tagen $640$ Pakete auszuliefern. Das Unternehmen beschließt, $2$ weitere Transporter zu mieten, um den Service zu verstärken. Wie viele Pakete können in einem Zeitraum von $3$ Tagen ausgeliefert werden?

Um einen Kunstausstellungsraum $12$ Tage lang zu beleuchten, haben $15$ stromsparende LED-Strahler Kosten von $54$ Euro verursacht. Wie hoch sind die Stromkosten, wenn $20$ gleiche Strahler bei einer Veranstaltung von $10$ Tagen eingesetzt werden?

Um die Zäune einer städtischen Sporthalle zu streichen, hat eine Kolonne von $3$ Personen $8$ Tage gebraucht und dabei $6$ Stunden pro Tag gearbeitet. Die Gemeinde beauftragt eine identische Arbeit bei einer anderen Kolonne aus $6$ Personen, die $4$ Stunden pro Tag arbeiten werden. Lukas hat die Aufgabe gelöst und Folgendes in sein Heft geschrieben:

„Da es doppelt so viele Personen und weniger Stunden pro Tag gibt, stelle ich den Ansatz auf: $x = 8 \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{4} = 24$ Tage."

1. a) Begründe ohne numerische Rechnung, warum ein Ergebnis von $24$ Tagen in diesem Fall nicht zum gesunden Menschenverstand passt.
2. b) Bestimme den Denkfehler, den Lukas bei der Untersuchung der Beziehung jeder Größe zur Anzahl der Tage gemacht hat.
3. c) Korrigiere den Ansatz und berechne die genaue Anzahl der Tage, die die neue Kolonne für die Arbeit braucht.

In einer städtischen Gärtnerei haben $4$ gleiche Rasensprenger eine Wiese von $600\text{ m}^2$ $3$ Stunden lang ohne Unterbrechung bewässert. Die Mitarbeiter sollen nun eine andere Wiese von $1\,200\text{ m}^2$ mit $6$ Sprengern bewässern, die mit den vorherigen identisch sind.

1. a) Schätze vor dem Rechnen qualitativ: Die zu bewässernde Fläche ist genau doppelt so groß, aber es stehen auch $50\,\%$ mehr Sprenger zur Verfügung. Erwartest du, dass die benötigte Zeit größer, kleiner oder gleich den ursprünglichen $3$ Stunden ist? Begründe deine Überlegung.
2. b) Ordne jede Größe der Zeit gegenüber als proportional oder antiproportional ein, stelle den zusammengesetzten Dreisatz auf und berechne genau, wie viele Stunden die Bewässerung der zweiten Wiese dauert.
3. c) Vergleiche den erhaltenen Wert mit deiner anfänglichen Schätzung und gib an, ob das Ergebnis deine Überlegung bestätigt.

Eine Gruppe von $4$ auf Reisen spezialisierten Content-Creatorn hat es geschafft, $12$ Videos für ihren Kanal zu schneiden, wobei sie eine Woche lang täglich $6$ Stunden gearbeitet haben. Wenn sich im nächsten Monat $2$ weitere Mitarbeiter dem Team anschließen und sie täglich $8$ Stunden arbeiten, wie viele Videos können sie im gleichen Zeitraum schneiden?

Um die $15$ Kühe eines Schulbauernhofs $12$ Tage lang zu füttern, wurden $540$ kg Futter benötigt. Dank einer neuen Förderung hat der Hof $5$ weitere Kühe angeschafft. Wie viele Kilogramm Futter braucht man, um alle Tiere $20$ Tage lang zu füttern?

Ein Kurierdienst setzt $8$ Drohnen ein, um $160$ Pakete in $4$ Flugstunden auszuliefern. Wenn das Unternehmen seine Flotte auf $10$ Drohnen erweitert und $250$ Pakete ausliefern will, wie viele Flugstunden insgesamt brauchen die Drohnen, um die Aufgabe zu erledigen?

Eine Kolonne von $6$ städtischen Arbeitern säubert eine Strandfläche von $1500$ $m^2$ in $5$ Stunden. Für den nächsten Reinigungstag hat die Stadt $8$ Arbeiter zur Verfügung, aber die zu säubernde Fläche beträgt $2800$ $m^2$. Berechne, wie lange sie für die Arbeit brauchen.

In einer Fabrik für elektronische Bauteile produzieren $5$ identische Maschinen $2000$ Prozessoren, wenn sie $8$ Stunden am Tag laufen. Wegen eines dringenden Auftrags muss die Fabrik $3500$ Prozessoren in der gleichen Anzahl von Tagen liefern. Wenn $2$ weitere Maschinen in Betrieb genommen werden, wie viele Stunden täglich müssen dann alle Maschinen laufen?

Drei gleiche Wasserhähne füllen einen Tank von $10$ $m^3$ in $6$ Stunden. Wenn wir einen Teich von $25$ $m^3$ mit $5$ Wasserhähnen mit demselben Durchfluss wie die vorherigen füllen wollen, wie viele Stunden brauchen wir?

Für den Druck von $1200$ Werbeplakaten waren $4$ Industriedrucker $15$ Stunden lang in Betrieb. Einer der Drucker fällt aus und für eine neue Kampagne müssen $1800$ Plakate gedruckt werden. Wie viele Stunden müssen die übrigen Drucker arbeiten?

Ein Team aus $12$ Archäologen hat in $9$ Tagen bei $7$ Stunden Arbeit pro Tag einen Abschnitt von $60$ Metern einer antiken römischen Straße ausgegraben. Es soll ein weiterer Abschnitt von $80$ Metern in $14$ Tagen ausgegraben werden. Wie viele Stunden pro Tag müssen sie arbeiten, wenn das Team gleich groß bleibt?

Ein Kurierdienst setzt Elektrotransporter zur Paketzustellung in der Stadt ein. In der Frühschicht haben $4$ Transporter in $6$ Stunden $450$ Pakete ausgeliefert. Für den Nachmittag haben sich $900$ Pakete angesammelt, die in einer verkürzten Schicht von $4$ Stunden ausgeliefert werden müssen.

Um herauszufinden, wie viele Transporter am Nachmittag eingesetzt werden müssen, wählen zwei Teammitglieder unterschiedliche Strategien:

• Sophie schlägt vor, direkt einen zusammengesetzten Dreisatz anzuwenden und dabei zu untersuchen, ob jede Größe zur Anzahl der Transporter proportional oder antiproportional ist.

• Matthias möchte zuerst auf die Einheit zurückrechnen: Er berechnet, wie viele Pakete ein einzelner Transporter in einer Stunde ausliefert, und leitet daraus die benötigte Anzahl an Transportern ab.

1. a) Löse die Aufgabe nach Sophies Methode. Gib dabei die Zuordnungsart jeder Größe und den Bruch an, mit dem du multiplizierst.
2. b) Löse die Aufgabe nach Matthias' Methode. Gib die Bedeutung und die Einheit jedes Zwischenergebnisses an.
3. c) Vergleiche beide Wege: Welche Vor- und Nachteile hat jede Methode und welche wäre für dich zuverlässiger, wenn vier oder mehr Größen gleichzeitig vorkämen?

Während einer Dürrewarnung, die von der Wasserbehörde verwaltet wird, erfasst die Leitung eines Campingplatzes den Wasserverbrauch der Anlage. Nach ihren Messungen hat eine Gruppe von $120$ Personen in $6$ Tagen einen Verbrauch von $32\,400$ Litern Trinkwasser verursacht. Für den August wird eine Belegung von $180$ Personen für volle $15$ Tage (einen halben Monat) erwartet.

1. a) Bestimme die Größen der Aufgabe und untersuche, welche Art von Zuordnung jede von ihnen zum Wasserverbrauch hat.
2. b) Angenommen, die Personen hätten genau dieselben Verbrauchsgewohnheiten wie in der früheren Messung. Berechne mit einem zusammengesetzten Dreisatz, wie viele Liter Wasser im August verbraucht würden.
3. c) Der Notfallplan der Gemeinde verlangt, dass der Campingplatz in diesen $15$ Tagen insgesamt höchstens $67\,500$ Liter verbraucht. Bestimme, auf wie viele Liter pro Person und Tag der tägliche Verbrauch begrenzt werden muss, um die Vorgabe einzuhalten, und berechne, wie viel Prozent Reduzierung gegenüber dem ursprünglichen Tagesverbrauch das bedeutet.

In einem Tierheim wurde berechnet, dass $15$ Säcke Futter zu je $20\text{ kg}$ ausreichen, um $40$ Hunde $12$ Tage lang zu füttern. Wegen einer Rettungsaktion steigt die Zahl der Hunde um $20$ Tiere. Wenn das Tierheim Säcke des gleichen Futters zu je $30\text{ kg}$ kauft, wie viele Säcke braucht es, um alle Hunde $25$ Tage lang zu füttern?

Ein städtisches Reinigungsteam aus $12$ Arbeitern hat in $6$ Tagen bei $8$ Arbeitsstunden täglich eine Waldfläche von $3.600\text{ m}^2$ gesäubert. Für die nächste Woche muss die Stadt ein Gebiet von $5.000\text{ m}^2$ säubern. Wenn $3$ Arbeiter krankgemeldet sind und nicht kommen können, wie viele Stunden täglich müssen die übrigen Arbeiter arbeiten, um die Aufgabe in nur $5$ Tagen zu beenden?

Ein Rechenzentrum für Videospiele nutzt $8$ Kühleinheiten, um die optimale Temperatur von $120$ Servern zu halten, die $24$ Stunden pro Tag laufen, bei Stromkosten von $480\text{ €}$ pro Woche. Wenn das Unternehmen seine Kapazität auf $200$ Server erweitert und der Strompreis steigt, sodass die maximal zulässigen Kosten $600\text{ €}$ betragen, wie viele Stunden pro Tag dürfen die Server laufen, wenn weiterhin dieselben $8$ Kühleinheiten verwendet werden? (Gehe davon aus, dass die Kosten direkt proportional zur Anzahl der Server und zu den Betriebsstunden sind.)

Um die Flyer für ein Musikfestival zu drucken, brauchen $3$ Industriedrucker, die gleichzeitig arbeiten, $15$ Stunden für $4.500$ Exemplare. Einer der Drucker fällt aus und muss entfernt werden. Wie lange brauchen die übrigen Drucker für $6.000$ Exemplare, wenn die Druckgeschwindigkeit der beiden anderen um $25\text{ \%}$ erhöht wird, um den Ausfall der dritten Maschine auszugleichen? (Hinweis: Überlege, wie sich die höhere Geschwindigkeit auf die benötigte Zeit auswirkt.)

Eine Gruppe von $5$ gleichen Wasserhähnen braucht $8$ Stunden, um $3$ Tanks mit je $600$ Litern zu füllen. Wenn wir $4$ Tanks mit je $900$ Litern in höchstens $10$ Stunden füllen wollen, wie viele Wasserhähne mit denselben Eigenschaften müssen wir öffnen? Wenn das Ergebnis keine ganze Zahl ist, begründe, wie viele Wasserhähne wir mindestens installieren müssten.

Sechs Tankwagen mit einem Fassungsvermögen von je $12.000\text{ L}$ haben $4$ Fahrten gemacht, um einen Container mit Industrieabfällen in $2$ Tagen zu leeren. Wenn $2$ weitere Tankwagen mit einem Fassungsvermögen von je $15.000\text{ L}$ eingesetzt werden, um eine ähnliche Arbeit zu erledigen und einen Container zu leeren, der um $50\text{ \%}$ größer ist als der vorherige, wie viele Tage brauchen sie für das Leeren, wenn jeder Wagen $5$ Fahrten pro Tag macht?

Ein Team aus $4$ Programmierern hat eine mobile App mit $180$ Bildschirmen in $15$ Tagen entwickelt, wobei jeder $6$ Stunden pro Tag gearbeitet hat. Für ein neues Projekt, eine komplexere App mit $300$ Bildschirmen, hat das Unternehmen $20$ Tage Zeit. Wenn es $2$ weitere Programmierer einstellt und die tägliche Arbeitszeit auf $8$ Stunden erhöht, berechne, ob das Projekt rechtzeitig abgegeben werden kann und wie viele Bildschirme das gesamte Team nun im Durchschnitt pro Tag entwickelt.

Eine Sportschuhfabrik hat $2.400$ Paar Turnschuhe in $10$ Tagen produziert, mit $12$ automatischen Maschinen bei $16$ Arbeitsstunden pro Tag. Wegen eines dringenden Auftrags eines internationalen Händlers muss die Fabrik $3.600$ Paar in nur $8$ Tagen produzieren. Wenn $3$ zusätzliche Maschinen derselben Art angeschafft wurden, wie viele Überstunden pro Tag über die üblichen $16$ hinaus müssen alle Maschinen laufen, um die Frist einzuhalten?

In der Technik-Werkstatt einer Schule haben $4$ 3D-Drucker, die täglich $5$ Stunden liefen, $3$ Tage gebraucht, um $30$ identische Teile für ein Robotikprojekt herzustellen.

1. a) Für eine Wissenschaftsmesse soll eine Serie von $96$ gleichen Teilen gefertigt werden. Die Fachschaft verfügt nun über $6$ identische 3D-Drucker und plant Arbeitstage von $4$ Stunden. Bestimme, wie viele volle Tage es dauert, bis die komplette Serie fertig ist.
2. b) Schreibe den vollständigen Aufgabentext einer Umkehraufgabe zu Teilaufgabe a), bei der die Unbekannte die Anzahl der Stunden pro Tag ist, die die $6$ Drucker laufen müssen. Als bekannte Daten sind die in Teilaufgabe a) erhaltenen Tage und das Ziel, die $96$ Teile zu fertigen, vorgegeben.
3. c) Nimm an, die Arbeit an der neuen Serie beginnt mit den $6$ Druckern bei $4$ Stunden täglich, aber am Ende des vierten Arbeitstags fallen $2$ Maschinen aus und sind unbrauchbar. Stelle eine Gleichung auf der Grundlage des zusammengesetzten Dreisatzes auf, mit der man berechnen kann, wie viele Stunden täglich die übrigen Maschinen in den verbleibenden Tagen arbeiten müssen, um die endgültige Lieferung nicht zu verzögern.

In einer Photovoltaik-Anlage setzt eine Wartungsfirma $36$ Arbeiter in Kolonnen ein, um eine Fläche von $45\text{ Hektar}$ Solarmodulen freizuschneiden und zu inspizieren. Sie brauchen dafür $10$ Tage bei Arbeitstagen von $8$ Stunden.

1. a) Für eine Erweiterung der Anlage, die $90\text{ Hektar}$ umfasst, hat die Firma eine Frist von $16$ Tagen, aber die Arbeitszeit muss wegen der Einschränkungen bei Hitzewellen auf $6$ Stunden pro Tag begrenzt werden. Bestimme mit dem zusammengesetzten Dreisatz, wie viele Arbeiter insgesamt eingesetzt werden müssen, um die vorgesehene Frist einzuhalten.
2. b) Um die Produktivität zu fördern, verteilt die Leitung eine Prämie von $21\,600\text{ €}$ auf drei Brigaden ($A$, $B$ und $C$) nach zwei gemeinsamen Kriterien: der Anzahl der Personen in der Brigade und den im Monat gearbeiteten Tagen. Brigade $A$ hat $10$ Personen und hat $18$ Tage gearbeitet; Brigade $B$ hat $12$ Personen und hat $15$ Tage gearbeitet; und Brigade $C$ hat $15$ Personen und hat $12$ Tage gearbeitet. Berechne den genauen Betrag, den jede Brigade erhält, und begründe, warum die Verteilung trotz unterschiedlicher Personalstärke und Arbeitstage gerecht ist.
3. c) Ein Vorarbeiter behauptet: „Man muss nicht mit vier Größen arbeiten. Da sich Tage und Stunden pro Tag zu den Gesamtstunden pro Arbeiter multiplizieren, können wir das Problem auf nur drei Größen reduzieren: Arbeiter, Gesamtstunden pro Arbeiter und Hektar.“ Zeige, ob sein Vorschlag mathematisch gültig ist, indem du die Zuordnung dieser neuen kombinierten Größe zur Anzahl der Arbeiter untersuchst.