Aufgaben: Sachaufgaben mit ganzen Zahlen

In einem Skigebiet in den Alpen zeigte das Thermometer um sieben Uhr morgens $-5^{\circ}C$ an. Um zwölf Uhr mittags war die Temperatur um $8^{\circ}C$ gestiegen, aber um Mitternacht fiel sie gegenüber der Mittagstemperatur um $6^{\circ}C$. Welche Temperatur zeigte das Thermometer am Ende des Tages?

Ein Essenslieferant betritt in einem großen Einkaufszentrum den Aufzug im dritten Untergeschoss, das als Stockwerk $-3$ bezeichnet wird. Zuerst fährt er $7$ Stockwerke nach oben, um eine Bestellung abzuliefern, und direkt danach $2$ Stockwerke nach unten, um eine weitere Bestellung abzuholen. In welchem Stockwerk befindet sich der Lieferant nach diesen Fahrten?

In der Abbildung siehst du die Stockwerke des Aufzugs und den Startpunkt.

Selma hat $34\ €$ in ihrer Spardose. Sie beschließt, sich ein Buch für $15\ €$ und einen Rucksack für $25\ €$ zu kaufen. Da sie nicht genug Geld hat, sagen ihre Eltern, dass sie ihnen den fehlenden Betrag schuldig bleiben kann. Welche ganze Zahl stellt Selmas Endstand gegenüber ihren Eltern dar?

Ein Taucher befindet sich im Ozean in einer Tiefe von $18$ Metern unter dem Meeresspiegel ($-18\ m$). Wenn er $7$ Meter aufsteigt, um ein Korallenriff zu betrachten, und dann wieder $4$ Meter abtaucht, in welcher Tiefe befindet er sich dann am Ende? Gib das Ergebnis als ganze Zahl an.

Bei einem Videospielturnier hat das Team „Los Gamers“ insgesamt $-150$ Punkte durch Regelverstöße angesammelt. Wenn es in der letzten Runde einen Bonus von $225$ Punkten erhält, wie viele Punkte hat es dann jetzt auf der Anzeigetafel?

Der höchste Gipfel einer Vulkaninsel liegt $1\ 200$ Meter über dem Meeresspiegel. Auf derselben Insel gibt es eine Unterwasserhöhle, deren Boden $85$ Meter unter dem Meeresspiegel liegt. Welcher Höhenunterschied besteht zwischen dem Gipfel des Berges und dem Boden der Höhle?

Ein Historiker untersucht das Leben eines Bildhauers im antiken Griechenland. Den Aufzeichnungen zufolge wurde der Bildhauer im Jahr $495$ v. Chr. geboren und starb im Jahr $429$ v. Chr. Wie viele Jahre hat dieser Bildhauer gelebt?

Paul hat auf seiner Fahrkarten-Karte ein Guthaben von $-24\ €$, weil er vergessen hat, sie aufzuladen. Wenn er in der Verkehrs-App eine Aufladung von $30\ €$ vornimmt, wie hoch ist dann sein neues verfügbares Guthaben für Fahrten?

Um herauszufinden, wie alt der römische Kaiser Augustus wurde, der im Jahr $63$ v. Chr. geboren wurde und im Jahr $14$ n. Chr. starb, führt Markus in seinem Heft folgende Rechnung durch: $63 - 14 = 49$ Jahre.

1. a) Erkläre ausführlich, warum Markus’ Ansatz im Hinblick auf den Zahlenstrahl und den Lauf der Zeit falsch ist.
2. b) Welchen Fehler hat er bei den Vorzeichen der ganzen Zahlen gemacht, die die einzelnen historischen Daten darstellen?
3. c) Schreibe die richtige Rechnung mit ganzen Zahlen auf (gib das Vorzeichen jedes Jahres und die Subtraktion zwischen ihnen an) und berechne, in welchem Alter Augustus tatsächlich starb.

An einer Wetterstation in Brocken (Harz) zeigt das Thermometer um 07:00 Uhr morgens eine Temperatur von $-7\,^\circ\text{C}$ an. Im Laufe des Tages werden folgende Temperaturänderungen registriert: Sie steigt bis zum Mittag um $11\,^\circ\text{C}$, fällt am Nachmittag um $4\,^\circ\text{C}$ und fällt am späten Abend um weitere $3\,^\circ\text{C}$.

1. a) Schätze begründet, bevor du das genaue Ergebnis berechnest, ob die Endtemperatur um Mitternacht positiv, negativ oder genau $0\,^\circ\text{C}$ sein wird, indem du im Kopf den gesamten Anstieg mit den insgesamt aufsummierten Abnahmen vergleichst.
2. b) Schreibe die Summenkette mit ganzen Zahlen auf, berechne Schritt für Schritt von links nach rechts die Temperatur, die das Thermometer am Ende des Tages anzeigt, und überprüfe, ob deine anfängliche Schätzung richtig war.

In einem Skigebiet in den Alpen zeigte das Thermometer um 8:00 Uhr morgens eine Temperatur von $-6\,^\circ\mathrm{C}$ an. Um 12:00 Uhr mittags war die Temperatur um $9\,^\circ\mathrm{C}$ gestiegen, und um 20:00 Uhr abends war sie gegenüber der Mittagstemperatur um $7\,^\circ\mathrm{C}$ gefallen. Welche Temperatur zeigte das Thermometer am Ende des Tages?

Ein Paketbote beginnt seinen Arbeitstag im Stockwerk $3$ eines großen Logistikzentrums. Zuerst fährt er $5$ Stockwerke nach unten, um ein Paket im Keller abzuholen, dann fährt er $7$ Stockwerke nach oben, um es in einem Büro abzugeben, und schließlich fährt er noch $3$ Stockwerke nach unten, um in der Cafeteria Pause zu machen. In welchem Stockwerk befindet sich die Cafeteria? Gib das Ergebnis als ganze Zahl an.

Lina hat $45€$ auf ihrem Bankkonto. Am Wochenende führt sie folgende Vorgänge durch: Sie bezahlt das Abo eines Streamingdienstes für $12€$, erhält per Online-Überweisung von ihrem Vater $20€$ und kauft ein Buch für $15€$. Wenn ihre Bank ihr am Sonntagabend eine Kontoführungsgebühr von $3€$ berechnet, wie hoch ist dann der Kontostand am Ende?

Ein Taucher, der ein Korallenriff erkundet, befindet sich $14$ Meter unter dem Meeresspiegel. Wenn er beschließt, noch $18$ Meter tiefer zu tauchen, um archäologische Überreste zu betrachten, und dann $9$ Meter aufsteigt, um sich der Oberfläche zu nähern, in welcher Tiefe befindet er sich dann jetzt? Stelle die Situation mit ganzen Zahlen dar.

Pythagoras, der berühmte griechische Mathematiker und Philosoph, wurde im Jahr $570$ v. Chr. geboren und starb im Jahr $495$ v. Chr. Wie alt war Pythagoras, als er starb? Verwende ganze Zahlen (Jahre vor Christus werden negativen Zahlen zugeordnet), um die Rechnung durchzuführen.

Bei einem Brettspiel bekommst du $15$ Punkte für jede richtige Antwort, verlierst aber $8$ Punkte für jede falsche Antwort und $4$ Punkte für jede Frage, die du unbeantwortet lässt. Wenn du von insgesamt $20$ Fragen $12$ richtig und $5$ falsch beantwortet hast und die übrigen nicht beantwortet hast, wie hoch ist dann deine Endpunktzahl?

Ein Wissenschaftler führt ein chemisches Experiment durch. Er legt eine Verbindung in einen speziellen Gefrierschrank, der die Temperatur der Probe jede Stunde um $4^\circ C$ senkt. Wenn die Probe anfangs Raumtemperatur von $18^\circ C$ hatte, welche Temperatur hat die Probe nach $6$ Stunden? Gib das Ergebnis mithilfe eines zusammengesetzten Terms mit ganzen Zahlen an.

Der Gipfel des Mount Everest liegt auf einer Höhe von $+8.848$ Metern über dem Meeresspiegel, während der tiefste Punkt des Marianengrabens bei $-11.034$ Metern liegt. Wie groß ist der gesamte senkrechte Abstand zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Erde?

Ein Höhlenforscherteam erkundet ein System von Schächten in den Picos de Europa (Kantabrien). Der Höhleneingang liegt $+1.240\text{ m}$ über dem Meeresspiegel. Während der Expedition werden folgende aufeinanderfolgende senkrechte Abschnitte verzeichnet: Sie steigen einen senkrechten Schacht von $180\text{ m}$ ab, klettern über eine Felsrampe weitere $95\text{ m}$ hinunter, steigen einen inneren Kamin um $40\text{ m}$ hinauf und steigen schließlich einen Schacht von $115\text{ m}$ hinab, bis sie eine Halle mit einem unterirdischen See erreichen.

1. a) Beschreibe die Expedition durch einen einzigen Term mit ganzen Zahlen, der die Anfangshöhe und jede senkrechte Bewegung mit dem passenden Vorzeichen enthält.
2. b) Berechne die Höhe der unterirdischen Halle in Bezug auf den Meeresspiegel, indem du die Summen der Reihe nach von links nach rechts berechnest.
3. c) Welcher senkrechte Abstand liegt insgesamt zwischen dem Höhleneingang und dem unterirdischen See?

Ein Lastenaufzug in einem Logistikzentrum in Essen fährt zwischen unterirdischen Lagergeschossen (negative Zahlen), der Ladezone auf Straßenniveau (Stockwerk $0$) und oberen Bürogeschossen (positive Zahlen). Der Verantwortliche erinnert sich nicht, in welchem Stockwerk er den Lastenaufzug am frühen Morgen stehen gelassen hat, aber das digitale Protokoll zeigt, dass dieser nacheinander folgende Fahrten ausgeführt hat: Er fuhr $6$ Stockwerke nach oben, $9$ Stockwerke nach unten, $4$ Stockwerke nach oben und zuletzt $5$ Stockwerke nach unten und blieb im Stockwerk $-2$ stehen.

1. a) Stelle einen Term mit ganzen Zahlen auf, in dem das Startstockwerk durch eine Lücke oder ein Fragezeichen dargestellt ist, und berechne begründet, aus welchem Stockwerk der Lastenaufzug gestartet ist.
2. b) Überprüfe dein Ergebnis, indem du Schritt für Schritt jedes Zwischenstockwerk berechnest, an dem der Lastenaufzug vorbeikam, und bestimme, ob er auf der Strecke irgendwann in den Bürogeschossen (oberhalb von Stockwerk $0$) war.

Ein junger Unternehmer beschließt, einen Online-Shop für individuell bedruckte T-Shirts zu eröffnen. In seinem ersten Monat verzeichnet er die folgenden Bewegungen auf seinem Bankkonto:

• Er erhält eine Anfangsinvestition von $1.200$ €.

• Er bezahlt die Plattformmiete und die Werbung: $450$ €.

• Er kauft Material im Wert von $600$ €.

• Er verkauft $45$ T-Shirts zu je $15$ €.

• Er bekommt $8$ fehlerhafte T-Shirts zurück, für die er den vollen Betrag an die Kunden erstatten muss.

• Am Ende des Monats berechnet die Bank ihm eine Gebühr von $12$ €.

Berechne die Monatsbilanz und erkläre, ob er im Vergleich zu seiner Anfangsinvestition Gewinn oder Verlust gemacht hat.

In einem Forschungslabor wird ein Experiment mit einem gasförmigen Stoff durchgeführt. Die Anfangstemperatur der Probe beträgt $12$ °C unter null. Der Vorgang verläuft in diesen Phasen:

1. In den ersten $5$ Minuten sinkt die Temperatur jede Minute um $3$ °C.

2. Dann kommt die Probe in eine Wärmekammer, in der die Temperatur insgesamt um $48$ °C steigt.

3. Schließlich wird die Kammer abgeschaltet, und die Temperatur sinkt gleichmäßig um $4$ °C pro Minute, bis sie den Gefrierpunkt der Probe von $-25$ °C erreicht.

Wie lange hat die letzte Abkühlphase (Punkt 3) gedauert? Welche war die höchste Temperatur, die während des gesamten Experiments erreicht wurde?

Ein Höhlentaucher beginnt seinen Tauchgang von einer Plattform, die $4$ Meter über dem Meeresspiegel liegt.

• Zuerst sinkt er mit einer konstanten Geschwindigkeit von $2$ Metern pro Minute für $15$ Minuten.

• Danach gerät er in eine aufsteigende Strömung, die ihn um $12$ Meter hebt.

• Schließlich taucht er bis zum Grund der Höhle ab, dessen Lage in Bezug auf den Meeresspiegel das Dreifache der Position ist, an der er sich in diesem Moment befindet.

Lege den Meeresspiegel als $0$ fest, sodass Positionen darüber positiv und Positionen darunter negativ sind.

Auf welcher Position liegt der Grund der Höhle? Gib das Ergebnis als ganze Zahl in Bezug auf den Meeresspiegel an.

In einem Videospielturnier funktioniert das Punktesystem so:

• Jeder Sieg addiert $100$ Punkte.

• Jede Niederlage zieht $60$ Punkte ab.

• Jeder „Spezialerfolg“ multipliziert den zu diesem Zeitpunkt angesammelten Punktestand mit $2$ (wenn er positiv ist).

• Jede Strafe teilt den angesammelten Punktestand durch $2$ (wenn er positiv ist).

Ein Spieler beginnt mit $0$ Punkten und erreicht: $3$ Siege in Folge, einen „Spezialerfolg“, $2$ Niederlagen, eine Strafe und zuletzt $1$ Sieg:

1. a) Schreibe einen einzigen Term mit gemischten Rechenoperationen auf, der seinen Endpunktestand berechnet.
2. b) Wie lautet das Ergebnis dieses Punktestands?

Ein Paketbote benutzt einen Aufzug in einem großen Logistikzentrum, das Stockwerke über und unter dem Erdgeschoss (Stockwerk $0$) hat. Er legt folgenden Weg zurück:

1. Er fährt vom Stockwerk $0$ hinauf bis zum Stockwerk $+12$.

2. Er fährt $15$ Stockwerke hinunter, um ein Paket abzuholen.

3. Er fährt $7$ Stockwerke hinauf, um es abzuliefern.

4. Er fährt doppelt so viele Stockwerke hinunter, wie er gerade hinaufgefahren ist.

5. Schließlich fährt er hinauf, bis er genau in der Mitte zwischen dem Stockwerk, in dem er ist, und dem Stockwerk $+8$ steht.

In welchem Stockwerk befindet sich der Paketbote am Ende seiner Schicht? Wie viele Stockwerke ist er insgesamt gefahren (Aufwärts- und Abwärtsfahrten zusammengezählt)?

Die griechische Philosophin Hypatia von Alexandria starb im Jahr $415$ n. Chr. im Alter von $45$ Jahren. Ihr Vater, Theon von Alexandria, war ein berühmter Mathematiker, der $80$ Jahre vor ihrem Tod geboren wurde.

1. a) In welchem Jahr wurde Hypatia geboren? (Gib es als ganze Zahl an.)
2. b) In welchem Jahr wurde ihr Vater Theon geboren?
3. c) Wie alt war Theon, als seine Tochter geboren wurde?

Eine Drohne zur Waldüberwachung startet von einer Basis in $850$ Metern Höhe. Während ihres Einsatzes führt sie die folgenden Bewegungen aus:

1. Sie steigt $120$ Meter, um einem Berg auszuweichen.

2. Sie sinkt $300$ Meter, um ein Gebiet mit niedriger Vegetation zu untersuchen.

3. Sie fliegt waagerecht (ohne die Höhe zu ändern) und sinkt dann noch einmal $150$ Meter.

4. Durch einen technischen Defekt stürzt sie auf den Grund einer Schlucht, der auf einer Höhe von $-20$ Metern (unter dem Meeresspiegel) liegt.

Berechne:

1. a) Wie viele Meter ist die Drohne bei ihrem letzten Sturz (Schritt 4) gefallen?

1. b) Wenn die Drohne direkt vom Grund der Schlucht bis zur Ausgangsbasis aufsteigen könnte, wie viele Meter müsste sie aufsteigen?

Der Sportverein einer Schule verwaltet sein Geld für das Quartal. Auf dem Schulkonto steht zu Beginn ein Kontostand von $+180$ €. Im Laufe des Quartals werden diese sechs Buchungen verzeichnet: Kauf von Trainingsmaterial ($-95$ €), Mitgliedsbeiträge der eingeschriebenen Mitglieder ($+140$ €), Reparatur der Tore ($-60$ €), Einnahmen aus einer Wohltätigkeitstombola ($+210$ €), Bezahlung der Schiedsrichter ($-130$ €) und Startgebühr für ein regionales Turnier ($-80$ €).

Zwei Vorstandsmitglieder schlagen zwei verschiedene Berechnungsmethoden vor:

• Methode 1 (chronologisch): Den Anfangskontostand aufschreiben und jede Buchung nacheinander addieren oder subtrahieren, in genau der zeitlichen Reihenfolge, in der sie stattgefunden haben.

• Methode 2 (blockweise): Einerseits alle Einnahmen zum Anfangskontostand addieren, andererseits alle Ausgaben als Beträge addieren und schließlich beide Summen voneinander subtrahieren.

1. a) Wende beide Methoden getrennt an und überprüfe, dass sich dieselbe Endbilanz ergibt.
2. b) Stell dir vor, die Bank berechnet eine feste Strafgebühr von $15$ € in genau dem Moment, in dem das Konto ins Minus rutscht (Kontostand echt kleiner als $0$ €). Begründe, welche der beiden Methoden unbedingt nötig ist, um herauszufinden, ob der Verein diese Gebühr zahlen muss, und leite daraus ab, ob der Verein im Laufe des Quartals zu irgendeinem Zeitpunkt einen negativen Kontostand hatte.

Ein Team der Meeresarchäologie in der Bucht von Cádiz untersucht Überreste, die in verschiedenen Tiefen unter der Meeresoberfläche ($0\text{ m}$) liegen und aus verschiedenen Epochen stammen:

• Phönizische Überreste: datiert auf das Jahr $750$ v. Chr., gelegen in $-38\text{ m}$ Tiefe.

• Römische Galeere: datiert auf das Jahr $125$ n. Chr., gelegen in $-54\text{ m}$ Tiefe.

1. a) Beschreibe die zwischen beiden historischen Ereignissen vergangene Zeit durch eine Subtraktion ganzer Zahlen und berechne, wie viele Jahre zwischen dem phönizischen und dem römischen Schiffbruch liegen. Begründe, warum der Abstand in Jahren immer ein positiver Wert ist.
2. b) Eine Unterwasserdrohne startet bei den phönizischen Überresten, taucht geradlinig bis zur Tiefe der römischen Galeere ab, um sie zu filmen, und steigt anschließend $21\text{ m}$ senkrecht auf, um die gesammelten Daten zu übertragen. Schreibe den Term mit ganzen Zahlen auf und bestimme, in welcher Tiefe sich die Drohne am Ende befindet.
3. c) Begründe den mathematischen Unterschied zwischen der Endposition der Drohne in Bezug auf die Meeresoberfläche (Größe mit Vorzeichen) und der insgesamt zurückgelegten Strecke der Drohne bei ihren beiden senkrechten Bewegungen (Größe, die Strecken aufsummiert).

Herausforderung zum Thema. Werde Wetteranalyst! Du untersuchst die Temperaturschwankungen in Spanien anhand offizieller Echtdaten der AEMET.

1. Daten sammeln: Gehe auf www.aemet.es und notiere die Höchst- und Tiefsttemperaturen (mit einer Nachkommastelle, zum Beispiel $-2,4\text{ ºC}$ und $14,8\text{ ºC}$) von vier Orten mit unterschiedlicher Höhenlage an zwei aufeinanderfolgenden Tagen.

2. Rechnen und rationale Zahlen: Berechne in einer Tabellenkalkulation oder in deinem Heft die Temperaturschwankung jedes Tages mithilfe der Subtraktion mit Vorzeichen: $\Delta T = T_{\text{max}} - T_{\text{min}}$. Bestimme anschließend die Durchschnittstemperatur jedes Ortes und gib sie zuerst als rationale Zahl in Bruchform und dann als Dezimalzahl mit Komma an.

3. Darstellung und Schlussfolgerungen: Erstelle ein Säulendiagramm (in GeoGebra oder in der Tabellenkalkulation), in dem die positiven und negativen Werte auf der Achse deutlich zu erkennen sind. Verfasse einen kurzen Bericht, in dem du begründest, welcher Ort die extremste Temperaturänderung erlebt hat, und erklärst, wie sich Temperaturen unter null auf die Berechnung der Änderungen auswirken.

Bewertet wird:

• Fachliche Richtigkeit bei den Rechnungen mit ganzen und dezimalen Zahlen mit Vorzeichen.

• Angemessene Verwendung der rationalen Zahlen (Bruch und Dezimalschreibweise).

• Qualität und Klarheit der grafischen Darstellung der Daten.

• Schlüssigkeit und mathematische Genauigkeit der Schlussfolgerungen im Bericht.