Aufgaben: Fassungsvermögen

Zum Abschluss des Halbjahres haben die Schülerinnen und Schüler der Klasse 7 mehrere Flaschen Orangensaft gekauft. Wenn jede Flasche ein Fassungsvermögen von $1,5\ L$ hat, gib diese Menge in Zentilitern ($cL$) und in Millilitern ($mL$) an.

Ordne jedem der folgenden Gegenstände die Einheit für das Fassungsvermögen aus dem metrischen System zu, die dir am passendsten erscheint, um zu messen, was in sein Inneres passt:

• Ein olympisches Schwimmbecken.

• Eine Dose Cola.

• Eine Spritze für eine Impfung.

• Ein Putzeimer.

Vervollständige die folgenden Gleichungen, indem du die nötigen Einheiten umrechnest:

1. a) $25 L = ??? dL$
2. b) $4.500 mL = ??? L$
3. c) $0,75 kL = ??? L$
4. d) $32 cL = ??? mL$

Eine Sportlerin trägt für ihr Training einen Trinkrucksack. Wenn sie den Tank mit $1.200\ mL$ Wasser gefüllt und dann noch einen zusätzlichen Kanister mit $0,5\ L$ hinzugefügt hat, wie viele Liter Wasser trägt sie insgesamt?

Im Naturwissenschaftslabor benutzen die Schülerinnen und Schüler einen Messzylinder. Wenn der Messzylinder ein Volumen von $35\ cL$ anzeigt, gib diese Angabe in gemischter Schreibweise an (also mit Litern und Zentilitern).

Ein Landwirt hat einen kleinen Tank zum Gießen seiner Blumentöpfe mit einem Fassungsvermögen von $2\ dal$ und $5\ L$. Wie viele Flaschen zu $1\ L$ kann er mit dem vollständig gefüllten Tank füllen?

Denke daran, dass es im metrischen System einen direkten Zusammenhang zwischen Volumen und Fassungsvermögen gibt. Wenn wir ein würfelförmiges Gefäß mit einem Volumen von genau $1\ dm^3$ haben, wie viele Liter Wasser passen dann hinein? Und wie viele Milliliter passen in ein Volumen von $1\ cm^3$?

(Abbildung nicht maßstabsgetreu.)

Ein Kochrezept für einen Rührkuchen verlangt, $2\ dL$ Milch hinzuzufügen. Wenn wir im Kühlschrank eine angebrochene Literpackung haben, in der noch $450\ mL$ sind, haben wir dann genug Milch für das Rezept? Begründe deine Antwort, indem du beide Mengen in dieselbe Einheit umrechnest.

Lea bereitet für die Abschlussfeier ihrer Schule ein selbstgemachtes Erfrischungsgetränk vor. In einen Krug gießt sie $1,5\text{ L}$ Sprudelwasser, $35\text{ cL}$ frisch gepressten Zitronensaft und $150\text{ mL}$ Erdbeersirup. Um zu berechnen, wie viel Getränk sie insgesamt erhalten hat, schreibt sie in ihr Heft:\n$$\text{Gesamt} = 1,5 + 35 + 150 = 186,5\text{ L}$$\na) Erkläre, welchen Denkfehler Lea gemacht hat. Begründe, warum ihr Ergebnis unsinnig ist, wenn du an Gefäße aus dem Alltag denkst.\nb) Korrigiere die Rechnung: Rechne zuerst alle Mengen in Liter ($L$) um und berechne das genaue Gesamtvolumen des Getränks.\nc) Gib dieselbe Gesamtmenge in Deziliter ($dL$) und in Zentiliter ($cL$) an und gib jeweils an, um wie viele Stufen du dich in der Umrechnungstabelle verschiebst.

Du hast einen Wasserkanister mit $5\text{ L}$ und willst das Wasser vollständig auf einzelne Wanderflaschen mit je $33\text{ cL}$ Fassungsvermögen verteilen.\na) Schätze zunächst im Kopf, bevor du rechnest: Runde das Fassungsvermögen der Flasche auf einen einfachen Bruchteil eines Liters oder auf ganze Deziliter und begründe, ob man mehr oder weniger als $15$ Flaschen füllen kann.\nb) Berechne nun das genaue Ergebnis, indem du beide Volumina in Zentiliter ($cL$) angibst. Wie viele volle Flaschen können gefüllt werden?\nc) Wie viele Zentiliter Wasser bleiben im Kanister übrig? Gib diese Restmenge in Milliliter ($mL$) und in Liter ($L$) an.\nd) Vergleiche deine anfängliche Schätzung aus Teilaufgabe a) mit dem tatsächlichen Ergebnis und erkläre, ob deine Näherung sinnvoll war.

Bei einem Musikfestival für Jugendliche hat die Organisation verschiedene Arten von Wasserbehältern gekauft, um sie unter den Besuchern zu verteilen. Sie haben einen Haupttank mit $2,5\text{ kL}$, Flaschenpakete zu $50\text{ cl}$ und Kanister zu $8\text{ L}$.

Wenn sie die insgesamt verfügbare Wassermenge in Litern wissen wollen, führe die folgenden Umrechnungen durch:

1. a) Gib das Fassungsvermögen des Tanks in Litern an.
2. b) Wie viele Liter enthält ein Paket mit $12$ Flaschen zu $50\text{ cl}$?
3. c) Wenn $15$ volle Kanister ausgeschenkt wurden, wie viele Deziliter wurden verteilt?

Im Naturwissenschaftslabor bereiten die Schüler eine Mischung für ein Experiment zur Dichte vor. Sie haben die folgenden Mengen verschiedener Flüssigkeiten verwendet:

• Destilliertes Wasser: $1\text{ L}$ und $25\text{ cl}$.

• Alkohol: $4\text{ dl}$ und $5\text{ ml}$.

• Öl: $150\text{ ml}$.

Gib die Gesamtmenge der Mischung zuerst in nur einer Einheit, nämlich in Zentilitern ($cl$), an und danach mit mehreren Einheiten, also mit Litern, Dezilitern und Millilitern.

Ein Aquarium hat die Form eines Quaders mit den im Bild gezeigten Maßen. Es gilt, dass $1\text{ dm}^3$ genau $1\text{ Liter}$ Fassungsvermögen entspricht:

1. a) Berechne das Volumen des Aquariums in $\text{dm}^3$.
2. b) Wie viele Liter Wasser werden benötigt, um das Aquarium vollständig zu füllen?
3. c) Wenn das Aquarium derzeit $45.000\text{ ml}$ Wasser enthält, wie viele Liter fehlen noch bis zur vollständigen Füllung?

Eine Gruppe von Freunden macht einen Ausflug in die Berge. Jeder trägt einen Rucksack mit einer Trinkblase. Die Masse von einem Liter Wasser beträgt ungefähr $1\text{ kg}$:

1. a) Wenn die Trinkblase von Marco ein Fassungsvermögen von $2.500\text{ ml}$ hat, wie viele Kilogramm fügt das Wasser dem Gewicht seines Rucksacks hinzu, wenn sie voll ist?
2. b) Lea hat eine Flasche mit $75\text{ cl}$ dabei. Wenn sie schon ein Drittel des Inhalts getrunken hat, wie viele Gramm Wasser sind noch übrig?
3. c) Wie viele Flaschen wie die von Lea ($75\text{ cl}$) könnte man mit dem Wasser aus einem Kanister mit $1,5\text{ dal}$ füllen?

Ordne die folgenden Angaben zum Fassungsvermögen von der kleinsten zur größten. Um sie vergleichen zu können, rechne sie zunächst alle in die Einheit Liter ($L$) um:

• $0,007\text{ kL}$

• $75\text{ dl}$

• $725\text{ cl}$

• $7.100\text{ ml}$

• $0,8\text{ dal}$

Für eine Geburtstagsfeier beschließt ein Jugendlicher, einen selbstgemachten „Fruchtpunsch" zu mixen und mischt dafür die folgenden Zutaten:

• $2$ Flaschen Orangenlimonade zu je $1,5\text{ L}$.

• $3$ Packungen Ananassaft zu je $33\text{ cl}$.

• $1$ Flasche Sprudel mit $2\text{ L}$.

• $250\text{ ml}$ Erdbeersirup.

1. a) Wie viele Liter Punsch erhält er insgesamt?
2. b) Wenn er den Punsch in Gläsern zu $200\text{ ml}$ ausschenken möchte, wie viele Gläser kann er vollständig füllen?
3. c) Bleibt etwas Punsch übrig? Wenn ja, gib den Rest in Zentilitern an.

Ein Gartenpool hat ein Fassungsvermögen von insgesamt $12\text{ m}^3$. Wir wollen ihn mit einem Gartenschlauch füllen, der einen Durchfluss von $25\text{ Liter}$ pro Minute liefert.

1. a) Wie viele Liter Wasser passen in den Pool? (Denke daran: $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ L}$.)
2. b) Wie viele Minuten dauert es, bis der Pool vollständig gefüllt ist?
3. c) Gib die obige Zeit in Stunden und Minuten an.

Nach Aufzeichnungen der spanischen Wetteragentur (AEMET) fielen bei einem Herbststurm in der Region Valencia $65\text{ L/m}^2$ (Liter pro Quadratmeter). Das Flachdach der Sporthalle einer Schule ist $40\text{ m}$ lang und $25\text{ m}$ breit, und das gesamte darauf fallende Wasser wird vollständig in eine städtische Zisterne geleitet.\na) Modelliere die Situation, indem du berechnest, wie viele Liter Regenwasser während dieses Unwetters auf dem Dach aufgefangen wurden.\nb) Gib das insgesamt aufgefangene Volumen in Kubikmetern ($m^3$) und in Hektolitern ($hL$) an, wobei $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ L}$ gilt.\nc) Die städtische Zisterne hat ein maximales Fassungsvermögen von $80\text{ kL}$ und enthielt vor dem Sturm bereits $28.000\text{ dm}^3$ Wasser. Finde begründet heraus, ob der Tank überläuft oder ob noch Platz bleibt. Falls er nicht überläuft, gib an, wie viele Liter bis zur vollständigen Füllung fehlen würden.

Eine Olivenöl-Genossenschaft in Jaén hat einen Tank mit $1,36\text{ kL}$ frisch gepresstem nativem Olivenöl extra. Es wird beschlossen, den gesamten Tankinhalt abzufüllen, ohne dass Öl übrig bleibt, und dabei nur zwei Handelsformate zu kombinieren: Kanister zu $5\text{ L}$ und Gourmetflaschen zu $75\text{ cL}$. Aus Gründen der Marktnachfrage wird vereinbart, auf jeden Kanister zu $5\text{ L}$ genau vier Gourmetflaschen abzufüllen.

1. a) Gib das gesamte Fassungsvermögen des Tanks und das einer Gourmetflasche in Litern an ($L$).
2. b) Betrachte ein „Grundpaket" aus $1\text{ Kanister}$ zu $5\text{ L}$ und $4\text{ Flaschen}$ zu $75\text{ cL}$. Wie viele Liter Öl enthält ein solches Paket genau?
3. c) Stelle die nötige Rechnung auf und bestimme, wie viele Familienkanister und wie viele Gourmetflaschen insgesamt abgefüllt werden. Prüfe, ob das Gesamtvolumen mit den anfänglichen $1,36\text{ kL}$ übereinstimmt.

Ein quaderförmiges Aquarium hat innen die Maße $80\text{ cm}$ Länge, $30\text{ cm}$ Breite und $50\text{ cm}$ Höhe. Aus Sicherheitsgründen soll es nur bis zu $\frac{4}{5}$ seines gesamten Fassungsvermögens gefüllt werden. Wenn es derzeit $84\text{ Liter}$ Wasser enthält, wie viele Eimer mit $250\text{ cl}$ müssen noch eingefüllt werden, um den empfohlenen Höchststand zu erreichen?

In einer Parfümfabrik soll eine Charge von $0,15\text{ m}^3$ Lavendelessenz abgefüllt werden. Dafür werden drei Arten von Fläschchen verwendet:

• Die Hälfte der Essenz wird in Fläschchen zu $125\text{ ml}$ abgefüllt.

• Ein Drittel der Gesamtmenge wird in Fläschchen zu $0,5\text{ dl}$ abgefüllt.

• Der Rest der Essenz wird in Proben zu $10\text{ cm}^3$ abgefüllt.

Berechne, wie viele Fläschchen jeder Art benötigt werden.

Ein defekter Wasserhahn in einer Schule verliert alle $2\text{ Sekunden}$ einen Wassertropfen. Wenn jeder Tropfen im Durchschnitt ein Volumen von $50\text{ mm}^3$ hat, berechne, wie viele Kanister zu $2\text{ Dekaliter}$ sich füllen würden, wenn der Hahn den ganzen April über Wasser verlieren würde.

Ein Landwirt hat einen Bewässerungstank, der in gemischter Schreibweise $2\text{ kl}$, $5\text{ hl}$ und $8\text{ dal}$ Wasser enthält. Um seine Bäume zu düngen, muss er das Wasser im Verhältnis $15\text{ ml}$ Flüssigdünger pro Liter Wasser mit Dünger mischen. Wenn er Düngerkanister zu $5\text{ Liter}$ zur Verfügung hat, wie viele volle Kanister muss er kaufen, um das gesamte Wasser des Tanks zu verwenden? Bleibt im letzten Kanister Dünger übrig? Gib die Restmenge in Zentilitern an.

Ein Tankwagen transportiert $12,5\text{ m}^3$ Milch. In der Verarbeitungsanlage wird der Inhalt in drei verschiedene Tanks entladen:

1. In den ersten Tank werden $4.500\text{ Liter}$ entladen.

2. In den zweiten Tank werden $52\text{ Hektoliter}$ entladen.

3. Der Rest wird zu gleichen Teilen auf $200$ Industriebehälter verteilt.

Wie groß ist das Fassungsvermögen jedes dieser $200$ Behälter, angegeben in $dm^3$?

Man möchte die Wirtschaftlichkeit zweier Flüssigwaschmittel-Packungen derselben Marke vergleichen:

• Packung A: $1.800\text{ ml}$ zu einem Preis von $4,50\text{ €}$.

• Packung B: $0,25\text{ dal}$ zu einem Preis von $6,50\text{ €}$.

Berechne den Preis pro Liter jeder Packung und bestimme, welche günstiger ist. Wenn eine Familie bei jedem Waschgang $15\text{ cl}$ Waschmittel verbraucht, wie viele Waschgänge kann sie mit der größeren Packung machen?

Für ein Laborexperiment muss ein Messzylinder mit drei Flüssigkeiten gefüllt werden, die sich nicht mischen:

1. $0,045\text{ dm}^3$ Quecksilber.

2. $12,5\text{ Zentiliter}$ destilliertes Wasser.

3. $850\text{ Kubikmillimeter}$ Öl.

Wie groß ist das Gesamtvolumen der Mischung im Messzylinder, angegeben in gemischter Schreibweise (mit den Einheiten Liter, Deziliter und Milliliter)? Hinweis: Denke daran: $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$.

Ein städtisches Schwimmbecken von $25\text{ m}$ Länge und $12\text{ m}$ Breite ist bis zu einer mittleren Tiefe von $1,8\text{ Meter}$ gefüllt. Wegen der Verdunstung durch die Hitze sinkt der Wasserspiegel jeden Tag um $5\text{ mm}$.

1. a) Wie viele Liter Wasser gehen an einem einzigen Tag durch Verdunstung verloren?
2. b) Wenn das Wasser $1,20\text{ €}$ pro Kubikmeter ($m^3$) kostet, wie viel Geld kostet die Stadt der Wasserverlust nach einer Woche mit intensiver Hitze?

Im Naturwissenschaftslabor soll ein quaderförmiges Glasgefäß bis zum Rand gefüllt werden, dessen Innenmaße $20\text{ cm}$ Breite, $35\text{ cm}$ Länge und $40\text{ cm}$ Höhe betragen. Zum Eingießen des Wassers wird ein Messzylinder mit $250\text{ mL}$ verwendet. Zwei Schüler schlagen unterschiedliche Strategien vor, um zu berechnen, wie viele volle Messzylinder benötigt werden:\n- Carlas Strategie: Sie berechnet das Volumen des Gefäßes, indem sie die Maße in Zentimetern multipliziert, und erhält $\text{cm}^3$. Dann wendet sie die Gleichung $1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$ an und teilt das Ergebnis direkt durch das Fassungsvermögen des Messzylinders in Millilitern.\n- Daniels Strategie: Er rechnet zuerst jedes der drei Maße in Dezimeter um ($dm$), berechnet das Volumen in Kubikdezimetern ($\text{dm}^3$), rechnet es in Liter um, da $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$, gibt das Fassungsvermögen des Messzylinders in Litern an ($L$) und teilt beide Größen.\na) Löse die Aufgabe, indem du Carlas Strategie Schritt für Schritt sorgfältig anwendest.\nb) Löse die Aufgabe, indem du Daniels Strategie Schritt für Schritt sorgfältig anwendest.\nc) Prüfe, ob beide auf dieselbe Anzahl von Messzylindern kommen, und vergleiche die beiden Methoden: Welchen der beiden Wege hältst du für empfehlenswerter, um Rechenfehler bei vielen Nullen oder Kommastellen zu minimieren? Begründe deine Wahl anhand der Zwischenschritte.

Nach Daten des Nationalen Statistikinstituts (INE) beträgt der durchschnittliche Wasserverbrauch in spanischen Haushalten etwa $130\text{ L}$ pro Person und Tag. Eine vierköpfige Familie in Sevilla installiert ein System zur Aufbereitung von Grauwasser aus Duschen und Waschmaschinen.\nDie technische Studie des Herstellers legt fest:\n- In dieser Wohnung werden $40\,\%$ des täglich verbrauchten Wassers für Duschen und Waschmaschinen verwendet.\n- Die Filteranlage gewinnt effektiv $75\,\%$ dieses Grauwassers zur Wiederverwendung zurück.\nDas aufbereitete Wasser wird in einem prismenförmigen Tank gespeichert, dessen rechteckige Grundfläche $1,2\text{ m}$ lang und $0,65\text{ m}$ breit ist und der eine maximal nutzbare Höhe von $1,5\text{ m}$ hat.\na) Modelliere die zurückgewonnene Wassermenge: Berechne, wie viele Liter die Familie pro Tag zurückgewinnt und wie viele Hektoliter ($hL$) diese Menge nach einer Woche ($7\text{ Tage}$) insgesamt ausmacht.\nb) Berechne das maximale Fassungsvermögen des Speichertanks in Litern ($1\text{ m}^3 = 1.000\text{ L}$).\nc) Wenn der Tank zu Beginn eines Zeitraums bereits $210\text{ dm}^3$ Wasser enthielt und dem zufließenden Wasser nichts entnommen wird, wie viele volle Tage können vergehen, bevor der Tank überzulaufen beginnt? Um wie viele Zentimeter steigt der Wasserspiegel im Tank jeden Tag?