Aufgaben: Begriff

Betrachte die folgende Abbildung, die eine Tafel Schokolade darstellt. Welcher Bruchteil der Tafel bleibt übrig, wenn wir die orange gefärbten Stückchen gegessen haben? Gib an, was der Zähler und was der Nenner ist.

Schreibe die folgenden Brüche mit Ziffern und ordne sie als echte oder unechte Brüche ein:

1. a) Drei Achtel.
2. b) Sieben Halbe.
3. c) Elf Elftel.
4. d) Vier Neuntel.

In einer Basketballmannschaft gibt es $12$ Spieler. Wenn $5$ von ihnen größer als $1,80$ Meter sind, schreibe den Bruch auf, der die Spieler darstellt, die höchstens so groß sind.

Stelle die folgenden Brüche in deinem Heft grafisch mit Rechtecken oder Kreisen dar:

1. a) $\dfrac{2}{5}$

1. b) $\dfrac{5}{4}$

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort schicken.

Berechne den Zahlenwert dieser Brüche (als ganze Zahl oder Dezimalzahl):

1. a) $\dfrac{15}{3}$

1. b) $\dfrac{1}{4}$

1. c) $\dfrac{18}{2}$

1. d) $\dfrac{3}{10}$

Ordne jedem unechten Bruch die passende gemischte Zahl zu:

Welchen Bruchteil einer Stunde stellen die folgenden Zeitspannen dar? (Gib den Bruch so einfach wie möglich an.)

1. a) $30$ Minuten.
2. b) $15$ Minuten.
3. c) $20$ Minuten.
4. d) $10$ Minuten.

In der Schulmensa sollen $3$ gleiche Pasteten gerecht auf $4$ Essende verteilt werden. Bei der Verteilung behauptet Lukas: „Jeder von uns bekommt $\frac{4}{3}$ Pastete, weil wir $4$ Personen sind und $3$ Pasteten haben."\na) Finde den Denkfehler, den Lukas bei der Zuordnung der Zahlen zu Zähler und Nenner macht, und erkläre, was jeder dieser Bestandteile im Bruch darstellt.\nb) Ordne den von Lukas vorgeschlagenen Bruch ($\frac{4}{3}$) als echten oder unechten Bruch ein. Begründe damit, warum seine Behauptung in der Praxis unmöglich ist, wenn nur $3$ Pasteten zur Verfügung stehen.\nc) Schreibe den richtigen Bruch auf, der jedem Essenden zusteht, und berechne seinen genauen Dezimalwert, um zu überprüfen, wie viel Pastete jeder isst.

In einem städtischen Leichtathletikverein ist bekannt, dass $\frac{3}{5}$ der angemeldeten Mitglieder Mädchen sind. Die Anmeldeliste im Sekretariat bestätigt, dass genau $27$ Mädchen angemeldet sind.\na) Bestimme aus diesen Angaben, wie viele Personen insgesamt im Verein angemeldet sind. Erkläre ausführlich deinen Gedankengang: Welche Anzahl stellt $\frac{1}{5}$ des Ganzen dar und wie erhält man das gesamte Ganze ($\frac{5}{5}$)?\nb) Welchen Bruchteil des Ganzen stellen die angemeldeten Jungen dar und wie viele Jungen sind es?\nc) Wenn jemand behaupten würde, dass im selben Verein $20$ Mädchen angemeldet sind, wobei genau der Bruchteil $\frac{3}{5}$ beibehalten wird, begründe, warum diese Situation in der Realität rechnerisch unmöglich wäre.

Auf einer digitalen Spieleplattform hat Lea $180$ Tokens gespart. Sie beschließt, $\frac{4}{9}$ ihrer Tokens für einen neuen Skin für ihre Spielfigur auszugeben und $\frac{2}{5}$ von dem, was ihr bleibt, für die Verbesserung ihrer Schutzausrüstung. Wie viele Tokens hat sie insgesamt ausgegeben und wie viele bleiben ihr am Ende?

Betrachte die folgende Abbildung und bestimme, welchen Bruchteil des gesamten Flächeninhalts des Rechtecks der orange schraffierte Bereich darstellt. Beachte, dass du dir zur Lösung eine Unterteilung der Figur in gleich große Teile vorstellen musst.

Eine Gruppe von Freunden hat für eine Party mehrere Flaschen Limonade gekauft. Jede Flasche hat ein Fassungsvermögen von $\frac{1}{4}$ Liter. Wenn sie insgesamt $19$ Flaschen getrunken haben, gib diese Menge als unechten Bruch und als gemischte Zahl an. Wie viele ganze Liter haben sie getrunken?

Stelle die folgenden rationalen Zahlen auf demselben Zahlenstrahl dar. Zeichne dazu den Zahlenstrahl in dein Heft und wähle einen geeigneten Maßstab (zum Beispiel so, dass jede Einheit $4$ cm lang ist, sodass jedes Viertel einer Einheit $1$ cm lang ist):

1. a) $A = \frac{3}{4}$

1. b) $B = -\frac{1}{2}$

1. c) $C = \frac{9}{4}$

1. d) $D = -1,25$

Drei Schüler laden gleichzeitig dasselbe Videospiel auf ihre Computer herunter. Nach einer Stunde zeigen ihre Fortschrittsbalken Folgendes an:

• Computer A: Hat $\frac{5}{8}$ der Gesamtmenge heruntergeladen.

• Computer B: Hat $\frac{11}{16}$ der Gesamtmenge heruntergeladen.

• Computer C: Hat $\frac{3}{4}$ der Gesamtmenge heruntergeladen.

Ordne die drei Computer nach der Menge des heruntergeladenen Spiels von klein nach groß mit dem Zeichen $<$, indem du die Brüche vorher auf den Hauptnenner bringst.

Für ein Keksrezept für $6$ Personen braucht man $\frac{3}{4}$ kg Mehl. Wenn wir das Rezept für $15$ Personen anpassen wollen:

1. a) Welchen Bruchteil eines Kilogramms Mehl brauchen wir?
2. b) Ist dieser Bruch größer oder kleiner als eins? Begründe, ob es ein echter Bruch oder ein unechter Bruch ist.

Stelle fest, ob die folgenden Bruchpaare gleichwertig sind, indem du die Methode der Kreuzprodukte verwendest:

1. a) $\frac{12}{15}$ und $\frac{4}{5}$

1. b) $\frac{7}{3}$ und $\frac{21}{6}$

1. c) $\frac{10}{25}$ und $\frac{6}{15}$

Gib für den Fall, der nicht gleichwertig ist, an, welcher der beiden Brüche größer ist.

Schreibe einen Bruch auf, der gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Sein Nenner ist die Primzahl, die $10$ am nächsten liegt.

2. Er ist ein unechter Bruch.

3. Der Zähler ist ein Vielfaches von $4$ zwischen $13$ und $22$.

Gibt es mehr als eine Lösung? Finde alle und gib sie als gemischte Zahl an.

Eine Bergetappe der Deutschland Tour hat eine Gesamtstrecke von $176\text{ km}$. Die Fernsehübertragung meldet, dass die Fahrer an der Spitze bereits $\frac{5}{8}$ der geplanten Strecke zurückgelegt haben.\na) Schätze, ohne bereits die genaue Division durchzuführen, ob sie die Hälfte der Etappe ($88\text{ km}$) überschritten haben oder nicht, indem du den Bruch $\frac{5}{8}$ mit $\frac{1}{2}$ vergleichst. Begründe deine Schlussfolgerung.\nb) Schätze begründet, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden Zehnerkilometern ($100$ und $110\text{ km}$, $110$ und $120\text{ km}$ usw.) die zurückgelegte Strecke liegen muss.\nc) Berechne den genauen Wert der zurückgelegten Kilometer, indem du den Bruch als Operator auf die Gesamtstrecke anwendest.\nd) Überprüfe, ob deine vorherige Schätzung richtig war, und berechne, wie viele Kilometer ihnen noch bis zur Ziellinie fehlen, wobei du die verbleibende Strecke als vollständig gekürzten Bruch der Gesamtstrecke angibst.

Für die Organisation eines Schulausflugs muss das Lehrerteam $\frac{2}{5}$ der $135$ Schülerinnen und Schüler der Klasse 7 berechnen, die an der Schule angemeldet sind und im ersten Bus-Durchgang fahren werden.\nZwei Schüler der Klasse schlagen unterschiedliche Strategien vor, um diese Zahl zu berechnen:\n- Lea sagt: „Zuerst teile ich $135$ durch $5$, um herauszufinden, wie viel ein Fünftel des Ganzen ist, und multipliziere dieses Ergebnis dann mit $2$."\n- Marcus sagt: „Zuerst multipliziere ich $135$ mit $2$ und teile die erhaltene Zahl dann durch $5$."\na) Führe beide Verfahren Schritt für Schritt aus und überprüfe, ob beide zum selben Ergebnis führen.\nb) Welche konkrete Bedeutung hat beim Verfahren von Lea das Zwischenergebnis nach der ersten Rechnung ($135 : 5$)?\nc) Nimm nun an, dass $\frac{2}{5}$ eines übrig gebliebenen Budgets von $19\text{ \euro}$ berechnet werden sollen. Wendest du Leas Verfahren an, erhältst du im ersten Schritt eine Dezimalzahl ($19 : 5 = 3,8$), während der erste Schritt bei Marcus eine ganze Zahl ergibt ($19 \cdot 2 = 38$). Welches der beiden Verfahren würdest du in diesem zweiten Fall wählen, um bequemer im Kopf zu rechnen, und warum?

Marina hat beschlossen, ihre wöchentliche Lernzeit folgendermaßen einzuteilen: Sie widmet $\frac{2}{5}$ der Gesamtzeit der Mathematik. Von der restlichen Zeit verwendet sie $\frac{1}{3}$ für Deutsch. Wenn ihr dann noch $8$ Stunden pro Woche für die übrigen Fächer bleiben, wie groß ist die gesamte Zeit in Stunden, die sie pro Woche mit Lernen verbringt? Stelle mit einem Streifendiagramm dar, welchen Anteil an der Gesamtzeit die letzten $8$ Stunden ausmachen.

Finde einen Bruch, der zu $\frac{4}{9}$ gleichwertig ist, sodass die Summe aus Zähler und Nenner genau $104$ beträgt. Bestimme, wenn du ihn gefunden hast, ob dieser Bruch ein echter oder ein unechter Bruch ist, und begründe, ob sein Dezimalwert größer oder kleiner als $0,5$ ist.

Betrachte den folgenden Zahlenstrahl, auf dem mehrere Punkte eingezeichnet sind. Der Punkt $A$ entspricht der Zahl $-1$ und der Punkt $B$ entspricht der Zahl $0$. Wenn die Strecke zwischen $A$ und $B$ in $12$ gleich große Teile geteilt wird, gib an, welchen vollständig gekürzten Bruch die mit einem orangefarbenen Kreis markierten Punkte darstellen. Welche gemischte Zahl würde einen Punkt darstellen, der $5$ Teilstriche links vom Punkt $A$ liegt?

Eine Hilfsorganisation verteilt die bei einem Spendenlauf gesammelten $48.000$ € auf drei Projekte. Dem ersten stehen $\frac{3}{8}$ der Gesamtsumme zu. Dem zweiten $\frac{5}{12}$ der Gesamtsumme. Welcher Anteil der Gesamtsumme steht dem dritten Projekt zu? Wie viel Geld erhält jedes Projekt? Gib die drei Anteile als Brüche mit dem gemeinsamen Nenner $24$ an, um anschaulich zu vergleichen, welches Projekt am meisten erhalten hat.

Bei einem Robotikwettbewerb müssen die Prototypen einen Parcours von $60$ Metern zurücklegen. Roboter A hat $\frac{7}{10}$ des Parcours zurückgelegt, Roboter B hat $45$ Meter zurückgelegt und Roboter C hat $\frac{3}{4}$ der Strecke zurückgelegt, die Roboter A noch bis zum Ziel fehlte. Ordne die Roboter nach der zurückgelegten Strecke vom größten zum kleinsten Wert und gib die Position von Roboter C als Bruchteil des gesamten Parcours an.

Ein Landwirt hat ein quadratisches Grundstück von $10.000$ $m^2$. Er beschließt, $\frac{1}{4}$ der Fläche für den Gemüseanbau zu verwenden. Den Rest des Grundstücks teilt er in $5$ gleiche Teile auf, um verschiedene Obstbäume zu pflanzen. Welchen Bruchteil der gesamten Fläche stellt jeder der Teile für die Obstbäume dar? Wenn jeder Obstbaum $20$ $m^2$ Platz benötigt, wie viele Bäume kann er auf einem dieser fünf Teile pflanzen?

Betrachte die Brüche $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{4}$.

1. a) Berechne ihre Dezimalwerte.
2. b) Finde einen Bruch mit dem Nenner $24$, der genau in der Mitte zwischen beiden liegt.
3. c) Ist dieser Bruch größer oder kleiner als $\frac{5}{7}$? Begründe deine Antwort, indem du die Kreuzprodukte vergleichst.

Stell dir eine Wanduhr vor.

1. a) Welchen Bruchteil einer ganzen Umdrehung stellen die Minuten dar, die zwischen 12:15 Uhr und 12:50 Uhr vergehen? Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.
2. b) Wenn der Minutenzeiger $\frac{5}{6}$ einer Stunde zurückgelegt hat, um wie viele Grad hat er sich gedreht? (Denke daran, dass eine ganze Umdrehung $360^\circ$ entspricht.)
3. c) Wenn dich eine Schulaufgabe $\frac{3}{10}$ einer Stunde kostet und eine andere $\frac{1}{4}$ einer Stunde, welcher Bruchteil einer Stunde bleibt dir übrig, wenn du eine ganze Stunde zum Lernen hast?

Nach offiziellen hydrologischen Daten hat ein Stausee eine maximale Speicherkapazität von $240\text{ hm}^3$. Nach einer Dürreperiode speichert der Stausee nur noch $\frac{3}{10}$ seiner Gesamtkapazität. Im Verlauf einer Woche mit vielen Tiefdruckgebieten führen die Flüsse dem Stausee eine Wassermenge zu, die $\frac{1}{4}$ seiner maximalen Kapazität entspricht. Während derselben Woche werden zur Deckung des städtischen Verbrauchs und der Bewässerung $18\text{ hm}^3$ abgelassen.\na) Beschreibe die Situation durch einen einzigen Rechenterm, der die Brüche und die gegebenen Daten verbindet, um das endgültige Volumen des gespeicherten Wassers zu bestimmen.\nb) Berechne, wie viele $\text{hm}^3$ Wasser der Stausee am Ende dieser Woche enthält.\nc) Gib das endgültige Wasservolumen als vollständig gekürzten echten Bruch der Gesamtkapazität des Stausees an.\nd) Das Dürreprotokoll des Einzugsgebiets legt fest, dass eine Region nur dann in die „Normallage“ übergeht, wenn der Stausee mehr als die Hälfte seiner Gesamtkapazität erreicht. Begründe mathematisch, ob der Stausee die Normallage bereits erreicht hat oder weiterhin darunter liegt.

In einem Lebensmittelabfüllbetrieb sollen Gläser mit gekochten Hülsenfrüchten aus einem großen Tank abgefüllt und verkauft werden. Es werden zwei Abfüllformate in Betracht gezogen:\n- Das Standardformat hat ein Fassungsvermögen von $\frac{3}{4}\text{ kg}$.\n- Das Familienformat hat ein Fassungsvermögen von $1 + \frac{1}{8}\text{ kg}$.\nDer Produktionsleiter stellt fest, dass bei Verwendung des Familienformats genau $6$ Gläser weniger benötigt werden als beim Standardformat, um den gesamten Inhalt des Tanks abzufüllen.\na) Gib das Fassungsvermögen des Familienformats als unechten Bruch an und wandle das Fassungsvermögen des Standardformats in einen gleichwertigen Bruch mit dem Nenner $8$ um. Wie viele Achtel Kilogramm enthält jedes Format?\nb) Begründe anhand der erhaltenen Brüche in Achteln, wie viele Standardgläser benötigt werden, um genau dieselbe Menge Hülsenfrüchte abzufüllen, die $2$ Familiengläser enthalten.\nc) Leite her, wie viele Gläser jeder Sorte benötigt würden, damit der Unterschied zwischen beiden Formaten insgesamt $6$ Gläser beträgt. Erkläre deine Herleitung deutlich.\nd) Wie viele Kilogramm Hülsenfrüchte befanden sich im Tank? Gib die Menge als gemischte Zahl und als exakte Dezimalzahl an.