Aufgaben: Flächeninhalt

Für ein Kunstprojekt braucht Lukas einen Karton, der genau $2.400 \text{ cm}^2$ misst. Im Schreibwarenladen sagt ihm der Verkäufer, dass die Maße in Quadratdezimetern angegeben sind. Wie viele $\text{dm}^2$ muss Lukas für sein Projekt bestellen?

Berechne den Flächeninhalt der folgenden schraffierten Figur, indem du die Kästchen des Gitters zählst. Beachte, dass jedes kleine Kästchen einen Flächeninhalt von $1 \text{ m}^2$ darstellt. Gib das Endergebnis in Quadratdekametern ($\text{dam}^2$) an.

In der Landwirtschaft werden besondere Einheiten verwendet. Ordne jedes Maß des Internationalen Einheitensystems seiner zugehörigen landwirtschaftlichen Einheit zu:

1. a) $1 \text{ hm}^2$
2. b) $1 \text{ dam}^2$
3. c) $1 \text{ m}^2$

I. Ar ($a$)

II. Hektar ($ha$)

III. Zentiar ($ca$)

Eine Gemeinde hat beschlossen, einen zentralen Park von $5 \text{ Hektar}$ anzulegen. Wenn sie einen Spielbereich einrichten wollen, der $1.500 \text{ m}^2$ einnimmt, wie viele Quadratmeter bleiben dann im restlichen Park für Bäume und Wege übrig?

Wähle die am besten geeignete Maßeinheit, um den Flächeninhalt der folgenden Objekte anzugeben:

1. a) Das Display eines Smartphones.
2. b) Ein Fußballfeld der Bundesliga.
3. c) Die Fläche Deutschlands.
4. d) Der Boden deines Zimmers.

(Auswahl: $km^2$, $hm^2$, $m^2$, $cm^2$)

Ein Landwirt besitzt drei Grundstücke mit folgenden Flächeninhalten:

• Grundstück A: $0,45 \text{ hm}^2$

• Grundstück B: $5.200 \text{ m}^2$

• Grundstück C: $48 \text{ dam}^2$

Ordne die Grundstücke der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten, indem du ihre Maße in $\text{m}^2$ vergleichst.

Gib das folgende, in mehrnamiger Schreibweise angegebene Flächenmaß in einnamiger Schreibweise (mit nur einer Einheit) in Quadratmetern an:

$3 \text{ dam}^2$, $25 \text{ m}^2$ und $75 \text{ dm}^2$

In einer Wohnanlage soll ein quadratischer Gemeinschaftsbereich mit $10 \text{ Meter}$ Seitenlänge gepflastert werden. Dafür werden quadratische Platten mit je $1 \text{ dm}^2$ Flächeninhalt verwendet. Wie viele Platten werden benötigt, um den gesamten Bereich zu bedecken?

Matthias möchte den Boden in seinem Zimmer erneuern und muss herausfinden, wie viele Quadratdezimeter ein Teppich von $3,5\text{ m}^2$ hat. In sein Heft schreibt er folgende Lösung: „Weil man von Metern zu Dezimetern eine Stufe nach unten geht, multipliziert man mit $10$; also $3,5\text{ m}^2 = 35\text{ dm}^2$.“\na) Finde den Fehler, den Matthias gemacht hat, und erkläre mit eigenen Worten (anhand eines Quadrats mit $1\text{ m}$ Seitenlänge), warum man bei Flächeneinheiten nicht mit $10$ multipliziert oder dividiert.\nb) Korrigiere die Rechnung und bestimme das tatsächliche Maß des Teppichs in Quadratdezimetern.

Die Gemeinde einer Stadt will den Bodenbelag eines Ausstellungsraums von $60\text{ m}^2$ mit quadratischen Platten mit $50\text{ cm}$ Seitenlänge erneuern.\na) Schätze begründet, bevor du mit Formeln rechnest: Wenn jede Platte einen halben Meter Seitenlänge hat, wie viele Platten brauchst du für einen einzigen Quadratmeter ($1\text{ m}^2$)? Schätze davon ausgehend im Kopf, wie viele Platten insgesamt für den Raum nötig sind.\nb) Berechne den Flächeninhalt einer Platte in Quadratmetern ($m^2$) und ermittle die genaue Anzahl der benötigten Platten.\nc) Vergleiche das genaue Ergebnis mit deiner anfänglichen Schätzung und begründe, ob deine Schätzung stimmig und nützlich war.

Eine Gemeinde plant die Anlage eines neuen Parks am Stadtrand. Sie hat drei aneinandergrenzende Grundstücke gekauft, deren Flächen in verschiedenen Einheiten angegeben sind:

• Grundstück A: $0,052\text{ km}^2$

• Grundstück B: $140\text{ dam}^2$

• Grundstück C: $8.500\text{ m}^2$

Gib den Gesamtflächeninhalt des künftigen Parks in Hektar ($ha$) an.

Der Bildschirm eines neuen Tablet-Modells ist $250\text{ mm}$ hoch und $160\text{ mm}$ breit. Der Hersteller behauptet, die nutzbare Fläche des Bildschirms betrage genau $4\text{ dm}^2$. Stimmt die Behauptung des Herstellers? Begründe deine Antwort mit den nötigen Rechnungen in $\text{cm}^2$.

Ein Waldbrand hat ein Gebiet im Mittelgebirge getroffen. Den Nachrichten zufolge sind $12\text{ km}^2$ und $45\text{ hm}^2$ Wald verbrannt. Um die Wiederaufforstung zu organisieren, müssen die Forsttechniker die betroffene Fläche in Ar ($a$) und in Zentiar ($ca$), also in Quadratmetern ($1\,ca = 1\text{ m}^2$), kennen. Rechne in beide Einheiten um.

Wir wollen den Boden einer rechteckigen Küche erneuern, die $420\text{ cm}$ lang und $3\text{ m}$ breit ist. Wir verwenden quadratische Fliesen mit je $20\text{ dm}^2$ Flächeninhalt:

1. a) Berechne den Gesamtflächeninhalt der Küche in $\text{m}^2$.
2. b) Wie viele Fliesen brauchen wir, um den ganzen Boden zu bedecken?

Ordne die folgenden Flächeninhalte spanischer Naturparks der Größe nach, beginnend mit dem größten, und rechne sie vorher alle in dieselbe Einheit um (die du bevorzugst):

• Park A: $12.400.000\text{ m}^2$

• Park B: $1.350\text{ ha}$

• Park C: $128\text{ km}^2$

• Park D: $1.250.000\text{ dam}^2$

Ein Landwirt besitzt ein Grundstück von $3\text{ ha}$, $5\text{ a}$ und $25\text{ ca}$. Er beschließt, einen Teil seines Landes für den Bau einer Straße zu verkaufen. Der verkaufte Teil misst genau $4.200\text{ m}^2$. Welche Fläche bleibt dem Landwirt übrig, angegeben in mehrnamiger Schreibweise (Hektar, Ar und Quadratmeter)?

Auf einem maßstabsgetreuen Plan eines Einkaufszentrums ist der Hauptgang durch ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von $450\text{ cm}^2$ dargestellt. Wir wissen, dass dieser Gang in Wirklichkeit $0,18\text{ dam}^2$ einnimmt:

1. a) Gib beide Größen in $\text{dm}^2$ an.
2. b) Wie viel Mal größer ist die tatsächliche Fläche als die Fläche auf dem Plan?

Berechne den Flächeninhalt der folgenden unregelmäßigen Figur, indem du sie in Quadrate und Rechtecke zerlegst. Jedes Kästchen des Hintergrundgitters stellt einen Flächeninhalt von $100\text{ cm}^2$ dar. Gib das Endergebnis in Quadratdezimetern ($\text{dm}^2$) an.

In Berichten über Waldbrände in Spanien werden die verbrannten Flächen oft in einer Mischung aus metrischem System und landwirtschaftlichen Einheiten angegeben. Nach einem kleineren Brand in einer Region in Kastilien und León gaben die Umwelttechniker folgenden Bericht mit zwei festgestellten Brandherden heraus:\n- Brandherd A: betraf eine Fläche von $0,045\text{ km}^2$.\n- Brandherd B: betraf eine Fläche von $380\text{ Ar}$.\na) Rechne die Fläche jedes Brandherds in Quadratmeter ($m^2$) um und berechne die gesamte verbrannte Fläche in Hektar ($ha$).\nb) In den Fernsehnachrichten werden solche Katastrophen oft in „regulären Fußballfelder“ umgerechnet (deren durchschnittlicher Standardflächeninhalt etwa $0,7\text{ ha}$ beträgt). Wie vielen ganzen Fußballfeldern entspricht die gesamte zerstörte Fläche ungefähr? Bewerte kritisch, ob dieser Vergleich der Bevölkerung hilft, das Ausmaß des Umweltschadens einzuschätzen.

Eine landwirtschaftliche Genossenschaft besitzt ein rechteckiges Grundstück mit einem Gesamtflächeninhalt von $1,2\text{ ha}$ und einer Breite von $80\text{ m}$. Die Mitglieder beschließen, das Grundstück in drei Bereiche einzuteilen:\n- Der Olivenhain nimmt genau $50\,\%$ des Landes ein.\n- Der Gemüsegarten nimmt $45\text{ Ar}$ ein.\n- Die übrige Fläche wird für ein Bewässerungsbecken und eine Gerätehalle genutzt.\na) Berechne die Gesamtlänge des Grundstücks in Metern.\nb) Bestimme die Fläche, die das Bewässerungsbecken und die Halle einnehmen, und gib das Ergebnis sowohl in Quadratmetern ($m^2$) als auch in Zentiar ($ca$) an.\nc) Wenn der Gemüsegarten über die gesamte Breite des Grundstücks angelegt wird ($80\text{ m}$), wie viele Meter lang muss dieser Bereich sein?

Die Gemeinde hat ein Grundstück für Schulgärten in der Stadt hergerichtet, das eine Größe von $0,12 \text{ km}^2$ und $5,4 \text{ hm}^2$ hat. Um das Grundstück besser zu nutzen, wird es in Parzellen von jeweils $60 \text{ Ar}$ aufgeteilt. Wenn jede dieser Parzellen im Jahr durchschnittlich $850 \text{ kg}$ Gemüse liefert und der durchschnittliche Marktpreis für Gemüse $0,75 \text{ €/kg}$ beträgt, berechne den Gesamtwert der Produktion des ganzen Grundstücks in einer Ernte.

Für den Bau eines neuen Einkaufszentrums wurde ein rechteckiges Grundstück eingezäunt, das $2,4 \text{ hm}$ lang und $150 \text{ m}$ breit ist. Die Gemeinde verpflichtet dazu, $25 \%$ der Gesamtfläche für Grünflächen und weitere $15 \%$ für Parkplätze zu nutzen. Wenn der Rest in Ladenlokale mit einer durchschnittlichen Fläche von $120 \text{ m}^2$ aufgeteilt wird, wie viele Ladenlokale können insgesamt gebaut werden?

Ein Künstler möchte die Seitenfassade eines Gebäudes mit quadratischen Solarmodulen mit $50 \text{ cm}$ Seitenlänge verkleiden. Die Fassade ist ein Rechteck, $12 \text{ m}$ hoch und $3,5 \text{ dam}$ lang, aber es müssen 8 symmetrisch angeordnete Fenster mit je $150 \text{ dm}^2$ abgezogen werden. Berechne die Gesamtzahl der Solarmodule, die er kaufen muss, um die gesamte verfügbare Fläche der Fassade zu bedecken.

In einem Aufforstungsplan nach einem Brand wird auf einer Fläche von $14 \text{ ha}, 5 \text{ a}$ und $20 \text{ ca}$ gearbeitet. Die Forstingenieure haben entschieden, dass pro $12 \text{ m}^2$ Boden ein Baum gepflanzt werden soll. Wenn jeder Setzling $4,80 \text{ €}$ kostet und die Arbeitskosten $250 \text{ €}$ pro bearbeitetem Quadratdekameter betragen, wie hoch ist das gesamte Budget für die Aufforstung?

Ein Grafikdesigner gestaltet ein Logo auf einer Metallplatte. Das Logo besteht aus einem mittleren Quadrat mit $4 \text{ dm}^2$ Flächeninhalt. Um dieses Quadrat fügt er vier kleinere Quadrate hinzu, deren Seitenlängen halb so groß sind wie die des mittleren Quadrats. Gib den gesamten Flächeninhalt des Logos in Quadratmillimetern und in Quadratdezimetern an, und zwar nur in einnamiger Schreibweise.

Eine Karte eines Naturparks hat einen Maßstab, bei dem $1 \text{ cm}^2$ auf dem Papier $2.500 \text{ m}^2$ in der Wirklichkeit entsprechen. Wenn der Park eine unregelmäßige Form hat und auf der Karte $480 \text{ cm}^2$ einnimmt, berechne seinen tatsächlichen Flächeninhalt in Hektar, Ar und Quadratmetern (mehrnamige Schreibweise). Wenn ein Brand $0,4 \text{ km}^2$ des Parks zerstört, wie viel Prozent der Gesamtfläche sind verschont geblieben?

Der Boden einer Sporthalle mit $12,5 \text{ dam}^2$ Fläche soll erneuert werden. Es wurden Kartons mit hochbelastbaren Fliesen gekauft, wobei jeder Karton Material für $2,5 \text{ m}^2$ enthält und $45 \text{ €}$ kostet. Zusätzlich zu den Materialkosten verlangt die Firma $18 \text{ €}$ für jeden verlegten Quadratmeter. Wie hoch ist die Gesamtrechnung, wenn $5 \%$ mehr Material als nötig gekauft wird, um Verschnitt und Bruch auszugleichen?

Berechne den Gesamtflächeninhalt der folgenden aus Metallteilen zusammengesetzten Figur. Das Hauptteil ist ein Rechteck mit $0,8 \text{ m}$ mal $15 \text{ cm}$, an dessen vier Ecken jeweils quadratische Laschen mit $25 \text{ mm}$ Seitenlänge angeschweißt wurden. Außerdem wurde in der Mitte ein kreisförmiges Loch mit einem Flächeninhalt von $450 \text{ mm}^2$ gebohrt. Gib das Endergebnis in Quadratzentimetern an und runde auf ganze Einheiten.

Um einen Platz in „L“-Form zu pflastern, hat das Bauamt eine Skizze mit rechten Winkeln und folgenden Maßen: eine gesamte Grundseite von $60\text{ m}$, eine gesamte Höhe von $40\text{ m}$ und eine fehlende Ecke, die $25\text{ m}$ breit und $15\text{ m}$ tief ist.\nZwei Bauleiter der Gemeinde diskutieren, wie man den Flächeninhalt in Hektar ($ha$) berechnet:\n- Lauras Methode (additiv): Die Figur in zwei sich nicht überlappende Rechtecke zerlegen, den Flächeninhalt jedes Rechtecks in $\text{m}^2$ berechnen, addieren und die Summe in Hektar umrechnen.\n- Karls Methode (subtraktiv): Den Flächeninhalt des ganzen Rechtecks berechnen, das die gesamte Figur umhüllen würde ($60\text{ m} \times 40\text{ m}$), den Flächeninhalt der rechteckigen Lücke, die nicht zum Platz gehört, abziehen und das Endergebnis in Hektar umrechnen.\na) Wende beide Methoden ausführlich an und prüfe, ob sie genau zum gleichen Ergebnis führen.\nb) Untersuche und begründe, welche der beiden Methoden weniger Rechenschritte erfordert und beim Ermitteln der fehlenden Maße weniger fehleranfällig ist.\nc) Ein dritter Techniker schlägt vor, alle Seitenlängen vor dem Multiplizieren in Hektometer ($hm$) umzurechnen, um direkt Hektar zu erhalten. Begründe, ob dieser dritte Weg beim Rechnen mit Dezimalzahlen vorteilhafter oder weniger vorteilhaft ist.

Ein Unternehmen plant den Bau einer Photovoltaik-Solaranlage in Andalusien. Die regionale Umweltvorschrift verlangt, dass zum Schutz der Steppenfauna mindestens ein Drittel ($1/3$) der Gesamtfläche des Grundstücks als ökologischer Korridor ohne jede Bebauung erhalten bleibt.\nDer technische Bericht des Projekts gibt an, dass die Solarmodule $180\text{ dam}^2$ einnehmen, während die Zufahrtswege, Wechselrichter und die Umspannstation eine Fläche von $60\text{ Ar}$ belegen.\na) Modelliere die Situation mathematisch und berechne die Mindestgesamtfläche, die das Grundstück haben muss (in Hektar, $ha$), damit das Projekt die Umweltauflagen genau erfüllt.\nb) Wenn der Marktpreis für Agrarland in dieser Gegend $12\,500\text{ €}$ pro Hektar beträgt, wie hoch sind die Mindestkosten für den Erwerb des Grundstücks?\nc) Wenn ein Landwirt aus der Gegend ein angrenzendes Grundstück von $0,032\text{ km}^2$ zum Verkauf anbietet, entscheide begründet, ob dieses Grundstück für das Projekt ausreicht oder abgelehnt werden muss.