Aufgaben: Länge

In Mathematik und Physik ist es wichtig, zwischen dem, was wir messen, und der Einheit, die wir verwenden, zu unterscheiden. Ordne die folgenden Begriffe in deinem Heft danach, ob sie eine Größe oder eine Maßeinheit sind:

• Länge

• Meter ($m$)

• Zentimeter ($cm$)

• Breite eines Tisches

• Kilometer ($km$)

• Entfernung zwischen zwei Städten

Um genau zu messen, müssen wir die passendste Einheit wählen. Gib an, welche Einheit des metrischen Systems ($mm$, $cm$, $m$ oder $km$) du zum Messen der folgenden Gegenstände verwenden würdest:

1. a) Die Länge einer Büroklammer.
2. b) Die Körpergröße deines besten Freundes oder deiner besten Freundin.
3. c) Die Strecke, die ein Schulbus zwischen zwei Dörfern zurücklegt.
4. d) Die Dicke des Displays eines modernen Smartphones.

Das metrische System ist ein Dezimalsystem, weil jede Einheit $10$-mal größer ist als die vorherige. Vervollständige die folgenden Gleichungen, indem du in die angegebene Einheit umrechnest:

1. a) $7\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ dm}$
2. b) $25\text{ cm} = \dots\dots\dots\text{ mm}$
3. c) $1,5\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ cm}$
4. d) $0,8\text{ dm} = \dots\dots\dots\text{ mm}$

Für große Entfernungen verwenden wir die Vielfachen des Meters. Führe die folgenden Umrechnungen durch:

1. a) $3.000\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ km}$
2. b) $450\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ hm}$
3. c) $12\text{ dam} = \dots\dots\dots\text{ m}$
4. d) $0,5\text{ km} = \dots\dots\dots\text{ hm}$

Drei Freunde vergleichen die Länge der Kabel ihrer Kopfhörer, um herauszufinden, welches am längsten ist. Die Maße sind:

• Markus: $1,2\text{ m}$

• Lea: $125\text{ cm}$

• Hugo: $11,5\text{ dm}$

Gib alle Maße in Zentimetern an und ordne sie mit dem Zeichen $<$ der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten.

Eine Etappe einer Wanderung durch den Harz ist in zwei Teilstrecken aufgeteilt. Die erste Teilstrecke ist $3\text{ km und } 450\text{ m}$ lang, die zweite $2.100\text{ m}$. Wie viele Kilometer ist die gesamte Etappe lang?

Sarah entwirft eine Hülle für ihr Tablet. Mit einem Lineal stellt sie fest, dass das Tablet $24,5\text{ cm}$ lang ist. Wenn sie an jedem der beiden Enden der Länge einen Schutzrand von $5\text{ mm}$ anbringen möchte, wie lang ist dann die Hülle insgesamt in Zentimetern?

Berechne den Umfang (die Summe aller Seitenlängen) eines Futsalfelds, das $40\text{ m}$ lang und $200\text{ dm}$ breit ist. Gib das Endergebnis in Metern an.

(Tipp: Denke daran, dass man beim Addieren von Längen alle in dieselbe Einheit umrechnen muss.)

Matteo muss für ein Technikprojekt einen Holzstreifen zuschneiden und braucht genau $4\text{ m und } 5\text{ cm}$. Um das Maß in seinem Heft in einer einzigen Einheit (Meter) zu notieren, schreibt er direkt $4,5\text{ m}$.\na) Erkläre begründet, warum Matteos Notiz falsch ist, indem du dich auf den Stellenwert jeder Ziffer im metrischen System stützt.\nb) Wie lautet die richtige Angabe des benötigten Maßes in Metern?\nc) Welche tatsächliche Länge in Zentimetern hätte der Streifen, wenn Matteo die irrtümlich notierten $4,5\text{ m}$ zuschneiden würde? Berechne den Unterschied in Zentimetern zwischen dem, was er braucht, und dem, was er zuschneiden würde.

In einer Schule soll in einem Klassenraum der Klasse 7 eine Schutzleiste angebracht werden. Der Raum ist rechteckig und $82\text{ dm}$ lang und $580\text{ cm}$ breit. Die Eingangstür ist $9\text{ dm}$ breit und bekommt selbstverständlich keine Leiste.\na) Schätze, bevor du genau rechnest, im Kopf, wie viele Meter Leiste benötigt werden, indem du die Wandlängen auf den nächsten Meter rundest. Glaubst du, dass der Kauf eines Standardpakets von $25\text{ m}$ Sockelleiste ausreicht? Begründe deine Antwort.\nb) Gib alle Maße in Metern an und berechne die genaue benötigte Länge der Leiste.\nc) Vergleiche deine Schätzung mit dem genauen Ergebnis und erkläre, ob die Schätzung für die Kaufentscheidung ausreichend war.

Drei Freunde vergleichen die Strecken, die sie heute Morgen beim Training für einen Spendenlauf zurückgelegt haben. Lea sagt, sie sei $4,2 \text{ km}$ gelaufen, Markus behauptet, $38 \text{ hm}$ und $15 \text{ dam}$ geschafft zu haben, und Sophie hat auf ihrer Smartwatch insgesamt $4.050 \text{ m}$ aufgezeichnet.

Ordne die drei Freunde nach der zurückgelegten Strecke vom größten zum kleinsten Wert und gib dazu alle Maße in Metern an, damit du sie vergleichen kannst.

Eine Kurierdrohne fliegt eine Strecke, die in drei Etappen unterteilt ist. In der ersten Etappe legt sie eine Strecke von $1 \text{ km}$ und $25 \text{ m}$ zurück. In der zweiten fliegt sie $85 \text{ hm}$ und $7 \text{ dam}$. In der letzten Etappe legt sie weitere $450 \text{ m}$ zurück.

Berechne die Gesamtlänge der Strecke und gib das Ergebnis in einer einzigen Einheit (Kilometer) an.

In einem Technikgeschäft wird die Größe von Monitoren durch die Länge der Bildschirmdiagonale in Zoll angegeben. Wir wissen, dass $1 \text{ Zoll} = 2,54 \text{ cm}$.

Wenn wir einen Monitor kaufen, dessen Diagonale $27 \text{ Zoll}$ misst, wie groß ist sie ungefähr in Millimetern?

Ein Tischler hat eine Holzleiste von $3 \text{ m}$ Länge. Er muss Stücke von jeweils $35 \text{ cm}$ zuschneiden, um die Beine für Hocker herzustellen.

1. a) Wie viele ganze Stücke von $35 \text{ cm}$ kann er aus der Leiste gewinnen?
2. b) Wie viele Millimeter Holz bleiben nach dem Zuschneiden übrig?

Der Umfang einer Kartbahn beträgt $0,85 \text{ km}$. Bei einem Rennen ist ein Fahrer $12$ Runden auf der Bahn gefahren.

Berechne die vom Fahrer insgesamt zurückgelegte Strecke und gib sie in mehreren Einheiten an (Kilometer, Hektometer und Dekameter).

Eine Biologin untersucht das Wachstum einer Wurzel unter dem Mikroskop. Am ersten Tag war die Wurzel $12 \text{ mm}$ lang. Nach einer Woche misst die Wurzel $4,5 \text{ cm}$.

Wie viele Mikrometer ($\mu m$) ist die Wurzel in dieser Woche insgesamt gewachsen? (Denke daran, dass $1 \text{ mm} = 1.000 \mu m$.)

Für die Installation von Glasfaser in einem Gebäude werden $3$ Kabelrollen von je $1,2 \text{ hm}$ benötigt. Wenn der Techniker bereits $245 \text{ m}$ Kabel verbraucht hat, wie viele Dekameter Kabel hat er noch zur Verfügung?

Eine Ameise läuft am Rand eines rechteckigen Tisches entlang, der $1,2 \text{ m}$ lang und $80 \text{ cm}$ breit ist. Die Ameise läuft $5$ volle Runden um den Tischrand:

1. a) Wie viele Meter legt sie insgesamt zurück?
2. b) Gib das vorherige Ergebnis in Hektometern an.

Beim Weitsprung der Sportwoche der Schule hat Hugo eine Weite von $3\text{ m und } 8\text{ cm}$ erzielt, seine Mitschülerin Daniela einen Sprung von $2\text{ m, } 7\text{ dm und } 5\text{ cm}$. Um herauszufinden, um wie viel Hugo Danielas Weite übertroffen hat, schlägt der Lehrer drei mögliche Wege vor:\n- Methode A: Beide Weiten mit Dezimalzahlen in Meter umrechnen und subtrahieren.\n- Methode B: Beide Maße als ganze Zahlen in Zentimetern angeben und subtrahieren.\n- Methode C: Direkt in gemischten Einheiten rechnen, indem man Einheiten gleicher Ordnung subtrahiert ($3\text{ m} - 2\text{ m}$ usw.) und Einheiten bei Bedarf umwandelt.\na) Löse die Subtraktion mit Methode A und Methode B und überprüfe, dass du dasselbe Ergebnis erhältst.\nb) Untersuche die Vor- und Nachteile der drei Methoden und begründe, welche du in diesem konkreten Fall am besten findest, um Rechenfehler zu vermeiden.

Das offizielle Streckenbuch einer Radetappe über Bergstraßen gibt eine geplante Gesamtlänge von $164,8\text{ km}$ an. Die Strecke ist in vier Abschnitte unterteilt:\n- Abschnitt 1 (Start und Flachstück): $42\text{ km und } 600\text{ m}$.\n- Abschnitt 2 (Bergpass): $185\text{ hm}$.\n- Abschnitt 3 (Tal): $6.400\text{ dam}$.\n- Abschnitt 4 (letzter Anstieg zum Ziel): Länge noch zu bestätigen.\nWegen unvorhergesehener Bauarbeiten im Tal muss der Veranstalter im Abschnitt 3 eine verpflichtende Umleitung von $3.250\text{ m}$ einfügen.\na) Stelle die nötigen Rechnungen in einer einheitlichen Einheit auf, um die ursprüngliche Länge von Abschnitt 4 vor den Bauarbeiten zu bestimmen, und schreibe das Ergebnis in gemischten Einheiten mit Kilometern und Metern.\nb) Modelliere die endgültige Länge der gesamten Etappe nach Einbeziehung der Umleitung und gib das Endergebnis in Hektometern an ($hm$).

Ein Wanderverein plant eine neue Rundwanderung in den Alpen. Auf der Karte (Maßstab $1:25.000$) ist die Route in drei Abschnitte unterteilt: Der erste misst $12,4$ $cm$, der zweite $85$ $mm$ und der dritte $0,06$ $dm$. Wenn ein Wanderer mit gleichbleibender Geschwindigkeit geht und jeder seiner Schritte genau $75$ $cm$ lang ist, berechne, wie viele Schritte er braucht, um die gesamte Route in Wirklichkeit zu gehen. Gib außerdem die Gesamtlänge der Route in Hektometern ($hm$) an.

In einem Nanotechnologie-Labor beobachtet ein Wissenschaftler eine Kunstfaser mit einer Dicke von $450$ Nanometern ($nm$). Für ein Experiment muss er diese Fasern nebeneinanderlegen, bis sie eine Strecke von $0,27$ Millimetern ($mm$) bedecken. Wenn man weiß, dass $1$ Mikrometer ($\mu m$) gleich $1.000$ $nm$ sind und $1$ $mm$ gleich $1.000$ $\mu m$ sind, wie viele Fasern muss der Wissenschaftler legen? Wenn jede Faser $0,002$ Euro kosten würde, wie hoch wären die Gesamtkosten der Probe?

Früher wurde in Spanien die „Vara castellana“ verwendet, die ungefähr $83,59$ $cm$ entspricht. Ein Landwirt liest in einem alten Dokument, dass sein Grundstück eine Frontlänge von $120$ Varas hat. Um die heutigen Vorschriften zu erfüllen, muss er einen Zaun aufstellen, der $15,50$ Euro pro laufendem Meter kostet. Für je $5$ Dekameter ($dam$) Zaun gewährt ihm der Händler jedoch einen Rabatt von $10\%$ auf den Preis dieser Meter. Wie viel Geld kostet es ihn, die gesamte Front seines Grundstücks einzuzäunen?

Eine Renndrohne fliegt einen Parcours in Form eines unregelmäßigen Sechsecks. Die Seitenlängen sind: $0,15$ $km$, $2,4$ $hm$, $35$ $dam$, $1.200$ $dm$, $8.500$ $cm$ und $95.000$ $mm$. Die Drohne muss insgesamt $15$ Runden des Parcours fliegen. Welche Gesamtstrecke legt die Drohne in Kilometern zurück? Wenn der Akku der Drohne für $185$ Hektometer reicht, schafft sie dann alle Runden oder ist der Akku vorher leer? Begründe deine Antwort mit Rechnungen.

Ein Mathematik-Schulbuch hat eine Gesamtdicke (ohne Einband) von $2,4$ $cm$. Wenn das Buch genau $400$ Seiten ($200$ Blätter) hat, wie dick ist ein einzelnes Blatt, angegeben in Mikrometern ($\mu m$)? Wenn ein menschliches Haar im Durchschnitt $0,08$ $mm$ dick ist, wie viele Haare müsste man übereinanderlegen, um die Dicke eines einzelnen Blatts dieses Buches zu erreichen?

Eine Designerin für Schulartikel muss $12$ gleiche runde Wimpel mit einem Zierband einfassen. Der Umfang jedes Wimpels beträgt $37,5$ Dezimeter ($dm$). Das Band wird in Rollen zu $0,5$ Hektometern ($hm$) verkauft.

1. a) Wie viele volle Rollen muss die Designerin mindestens kaufen, damit ihr kein Band fehlt?
2. b) Wie viele Zentimeter Band bleiben ihr insgesamt übrig, wenn die $12$ Wimpel fertig sind?
3. c) Wenn jeder Meter Band $1,20$ Euro kostet, wie viel kostet eine volle Rolle?

Die Entfernung zwischen zwei Städten A und B beträgt $145,6$ $km$. Genau in der Mitte der Straße, die sie verbindet, steht ein Schild, das die Entfernung zu einer dritten Stadt C angibt, die $34.500$ Meter von diesem Mittelpunkt entfernt liegt. Ein Auto fährt von A nach B und hält an, nachdem es $820$ Hektometer ($hm$) zurückgelegt hat:

1. a) Wie weit ist es dann von der Stadt B entfernt?
2. b) Wie weit ist es von dem Schild entfernt, das den Weg zur Stadt C angibt?

Gib alle Ergebnisse in Metern an.

Ein künstlicher Satellit umkreist die Erde in einer konstanten Höhe von $350$ $km$. Durch die Reibung mit der Atmosphäre verliert er jedoch jeden Tag $450$ Meter an Höhe.

1. a) In welcher Höhe in Kilometern befindet sich der Satellit nach $3$ Wochen im Orbit?
2. b) Wenn der Satellit ausfällt, sobald er unter $330$ $km$ Höhe sinkt, wie viele volle Tage kann er einsatzbereit bleiben?
3. c) Gib die Anfangshöhe des Satelliten als zusammengesetzte Angabe in Kilometern, Hektometern und Metern an.

Ein Gemeinschaftsgrundstück hat die Form eines Vierecks, und sein Umfang beträgt genau $0,15\text{ km}$. Wir kennen nicht alle Maße direkt, aber es liegen die folgenden Angaben vor:\n- Die Seite $A$ misst $35\text{ m und } 40\text{ dm}$.\n- Alle vier Seiten messen eine genaue, ganzzahlige Anzahl von Metern.\n- Die Seite $D$ hat eine Länge, die in Dekametern ($dam$) eine genaue ganze Zahl ist, und man weiß, dass sie mehr als $20\text{ m}$, aber weniger als $45\text{ m}$ misst.\n- Die Seite $B$ misst genau das Doppelte der Seite $C$.\na) Leite begründet her, welche Länge für die Seite $D$ als einzige möglich ist, indem du die Möglichkeiten ausschließt, die nicht alle Bedingungen erfüllen.\nb) Berechne mit dem gefundenen Wert für $D$ das genaue Maß der Seiten $B$ und $C$ und gib sie in zusammengesetzter Form mit Dekametern und Metern an.\nc) Überprüfe, dass die Summe der vier Seiten genau den anfänglichen Umfang in Kilometern ergibt.

Ein Team des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie markiert einen Bergpfad mit einer Gesamtlänge von $14,4\text{ km}$ zwischen zwei Hütten. Aus Sicherheitsgründen und wegen der Sichtbarkeit bei Nebel werden entlang des Weges Steinmännchen nach folgenden Regeln aufgestellt:\n- Unterer Abschnitt (die ersten $4\text{ km und } 8\text{ hm}$): Der Weg ist breit, und alle $120\text{ m}$ wird ein Steinmännchen aufgestellt.\n- Mittlerer Abschnitt (vom Ende des unteren Abschnitts bis zum Kilometerpunkt $11,2\text{ km}$ des Pfades): Alle $8\text{ dam}$ wird ein Steinmännchen aufgestellt.\n- Oberer Gipfelabschnitt (vom Kilometerpunkt $11,2\text{ km}$ bis zum Ende des Pfades): Der Pfad ist steinig, und alle $2.500\text{ cm}$ wird ein Steinmännchen aufgestellt.\nEin Steinmännchen steht am Anfang des Pfades ($0\text{ m}$), eines bei jedem Wechsel des Abschnitts und eines an der Zielhütte.\na) Berechne die genaue Länge jedes der drei Abschnitte in Metern.\nb) Bestimme die Gesamtzahl der Steinmännchen, die man braucht, um den ganzen Pfad von Anfang bis Ende zu markieren.\nc) Ein Wanderer behauptet: „Da der obere Gipfelabschnitt der kürzeste der drei ist, muss man dort sicher die wenigsten Steinmännchen tragen und aufstellen.“ Prüfe kritisch und mit Zahlen, ob seine Behauptung wahr oder falsch ist, und begründe, welche Größe das Ergebnis am stärksten beeinflusst.